D’après la section «L’incertitude de mesure» on peut conclure que :
⌅ Il est toujours délicat pour l’utilisateur de faire le bon compromis entre incertitude de mesure et résolution spatiale.
Les éléments doivent être suffisamment petits pour que le modèle cinématique (ici linéaire) puisse correctement approximer la déformation réelle dans l’image. Les maillages de simulations calculées par éléments finis sont raffinés à des endroits où on s’attend à de forts gradients en déplacement/déforma- tion/contrainte. Dans ces travaux on cherche à identifier des paramètres de loi de comportement élastique en utilisant un seul maillage EF, celui optimisé pour la simulation. Cela limite les erreurs de projection pour la comparaison des résultats de mesure avec celles de la simulation. Comme on se retrouve avec des petits éléments aux endroits de forts gradients, les incertitudes de mesure sont élevées. La section3.2.3conclut sur le fait que des grands éléments sont nécessaires pour garder les incertitudes suffisamment faibles. Autrement dit, les éléments nécessitent suffisamment de pixels ou d’information, en terme de gradient d’image, pour calculer un déplacement avec peu d’incertitudes.
L’idée principale de notre approche est donc d’augmenter le nombre de pixels par élément en rajoutant des images en champ proche. Certes, l’image en champ proche ne couvre pas toute la région du maillage, mais cela n’est pas forcément impératif. De plus, une autre caméra couvre, à l’échelle lointaine, toute la structure. La mesure de champs par CIN sera donc améliorée localement sur la zone imagée en champ proche.
L’exemple suivant illustre le gain en incertitudes de mesure avec une telle démarche. Deux images sont comparées : une image à l’échelle lointaine et une à l’échelle proche. Le facteur d’agrandissement entre les deux images est de 10. L’image f (x) des exemples précédents sert d’image en champ proche. Pour générer l’image en champ lointain, par exemple avec une discrétisation plus faible, chaque pixel résulte de l’agrégation (binning) de 10 pixels de l’image en champ proche (coarse graining). Par la suite, la dynamique de la nouvelle image est ajustée à la même dynamique de 0 à 255 niveaux de gris (car l’utilisateur ajuste toujours le dispositif optique afin d’obtenir une dynamique maximale dans l’image). L’image en champ lointain contient dix fois moins de pixels que l’image en champ proche, concrètement 1000 au lieu de 10000. La figure1.27montre les extraits de la même zone dans les deux images.
On cherche à utiliser un seul maillage, celui de la simulation, pour la mesure par corrélation pour des images de chaque échelle. La taille d’élément est donc dix fois plus élevée à l’échelle proche. On impose à l’image «déformée», comme vu précédement, un déplacement de type translation sub-pixel compris entre 0 et 1 pixel par pas de 0,02 pixel. On corrèle l’image initiale avec les images translatées et on calcule l’écart-type du champ de déplacement mesuré. La mesure à partir de la CIN-EF se fait pour cet exemple avec des éléments de taille 4, 8, 16, 32 pour l’échelle lointaine et 40, 80, 160 et 320 px par élément pour l’échelle proche. Les figures1.28et1.29montrent les résultats en terme d’erreur aléatoire. Pour les grandes tailles d’éléments, le gain est de l’ordre de grandeur de 3. En diminuant la taille des éléments, le gain atteint environ 30.
⌅Comme attendu, la mesure en champ proche conduit à moins d’incertitude de mesure que la mesure en champ lointain. Les gains sont particulièrement significatifs lorsque le nombre de pixels par élément
3. Bornert et al.[2009] montrent que l’erreur de modèle (mismatch error) est proportionnelle à@2u
@x2 pour un modèle cinéma- tique bi-linéaire.
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FIGURE1.27 – Image à l’échelle lointaine générée (en bas) à partir de l’image à l’échelle proche (en haut).
Le niveau de gris d’un pixel de l’image bas est la moyenne sur dix pixels de l’image du haut. Ensuite la dynamique est ajustée.
en champ lointain deviennent faible. Ce type de situation se produira forcément dans les régions à forts gradients qui sont des régions potentiellement intéressantes pour l’identification.
FIGURE1.28 – Erreur aléatoire pour les images en champ lointain (gauche) pour des tailles d’éléments de 4
et 8 px et en champ proche pour les tailles de 40 et 80 px. L’écart-type (en y) et le déplacement (en x) sont exprimés en pixel.
FIGURE1.29 – Erreur aléatoire pour les images en champ lointain (gauche) pour des tailles d’éléments de 16 et 32 px et en champ proche pour les tailles de 160 et 320 px. L’écart-type (en y) et le déplacement (en x) sont exprimés en pixel.
4 Conclusion
Ce chapitre présente tout d’abord les principales méthodes de mesure de champs cinématiques. Parmi celles-ci, la corrélation d’images numériques présente de nombreux avantages (toutes les échelles, objets non plans, mesure hors plan).
La CIN réclame toutefois un compromis de la part de l’utilisateur entre une bonne représentation de la ci- nématique et une haute fiabilité de la mesure (donc peu d’incertitude de mesure). Pour identifier des para- mètres de matériaux à haute rigidité, c’est-à-dire des matériaux qui se déforment très peu avant d’atteindre leur limite élastique, il est important de connaitre les incertitudes de mesure afin que le signal de «mesure» ne se noie pas dans les incertitudes. Aussi, dans ce chapitre, les différents types d’erreur de mesure ont été décrits. On montre que ces dernières dépendent fortement de la richesse de l’information (de la texture) dans la zone d’intérêt (ZOI) ou dans l’élément. Plus la ZOI/l’élément contient de pixels, plus l’incertitude de mesure diminue. Par contre, un champ de mesure peu discrétisé (c’est-à-dire avec peu d’éléments) ne permet pas une bonne représentation de la déformation réelle de l’image (erreur de modèle cinématique devient prépondérante).
Grâce à l’interpolation cinématique par éléments finis, la CIN-EF permet de diminuer le niveau des incerti- tudes de mesure par rapport à la méthode «subset-based» [Hild and Roux,2012]. De plus, elle n’induira pas d’erreur de reprojection lors de la comparaison avec une simulation EF.
Dans ce chapitre, au travers d’une simple analyse 1D, nous avons montré qu’une mesure en champ proche (zoom sur une région donnée) augmente de manière significative la qualité de la mesure. Dans le chapitre suivant, la méthode de recalage par éléments finis (FEMU) et ses récents développements sont détaillés. Cette méthode utilise, classiquement, en entrée des mesures de champs obtenues par exemple par cor- rélation d’images. Maitriser les erreurs de mesures permettra de maitriser les erreurs sur les paramètres à
identifier. Nous montrerons dans l’intérêt une mesure supplémentaire en champ proche. Une analyse des différentes sources d’incertitudes sur les paramètres constitutifs sera aussi proposée.
Identification de paramètres constitutifs à
partir de corrélation d’images
Sommaire
1 Methodes d’identification à partir de mesure de champs. . . 46