Mots sur les ordres linéaires dénombrables et dispersés

C • 2−→ 1^a • C • 2−→ 1^a • C • 2−→ 1^a • C . . .

|

Figure 2.8 – Un automate B sur les ordinaux dénombrables de langage

A^ω((aA^ω)^∗+ (aA^ω)^ω) où A = {a, b} est l’alphabet de l’automate, et un chemin

acceptant deA où C est le chemin de la Figure 2.6

les mots de Aω, grâce à la transition 2−→ 1 et le fait que l’état 2 soit final, après^a

avoir lu un mot de Aω, on peut lire un nombre fini de fois un mot de aAω. On reconnaît ainsi un mot de Aω(aAω)^∗. On peut aussi le faire un nombre infini de fois grâce à la transition ({1, 2}, 3) et le fait que l’état 3 soit final. Un exemple d’un chemin C⁰ avec un tel comportement est en bas de la Figure 2.8. Par C on désigne le chemin représenté dans la Figure 2.6. Dans ce cas les états 1 et

2 se répéteront infiniment souvent. En d’autres termes cofc−(C⁰) = {1, 2}, ce

qui justifie l’emploi de la transition ({1, 2}, 3). On reconnaît ainsi un mot u de Aω(aAω)ω, (ab)ω(a(ab)ω)ω= ((ab)ωa)ω plus précisément. C’est un mot de rang rp(u) = 2.

La classe des langages rationnels de A] est fermée par complémentation, et

donc par intersection et différence, puisque ces deux dernières s’expriment avec l’union et la complémentation.

Théorème 2.3.13 (Büchi). Soit A un alphabet fini et soient A et B deux

au-tomates sur les ordinaux dénombrables. Il existe des auau-tomates sur les ordinaux dénombrables de langages L(A )C

, L(A ) ∩ L(B) et L(A ) \ L(B).

2.3.4 Mots sur les ordres linéaires dénombrables et

dis-persés

Les automates sur les ordres linéaires dénombrables et dispersés ont été définis par Bruyère et Carton dans [26]. C’est une généralisation des automates sur les ordinaux dénombrables. En plus des transitions limites à gauche, Bruyère et Carton ont introduit les transitions limites à droite. Leur mode d’emploi est symétrique à celui des transitions limites à gauche. Ainsi, un automate sur les ordres linéaires dénombrables et dispersés correspond à celui introduit à la Définition 2.3.1 où l’ensemble des transitions est restreint aux transitions séquentielles successeurs, limites à gauche et limites à droite.

2.3 - Automates 2 - Langages Rationnels

Exemple 2.3.14. L’automateA représenté sur la Figure 2.9 est le suivant : A = ({0, 1, 2, 3}, {a, b}, E, {0}, {3})

E = Eseq= Esucc∪ ElimG∪ ElimD

E_succ= {1−→ 1, 1^a −→ 1, 1^b −→ 2, 1^a −→ 2, 2^b −→ 2, 2^a −→ 2}^b ElimG= {({2}, 3)} ElimD = {(0, {1})} 1 2 0 3 {2} → 3 0 → {1} a, b a, b a, b

Figure 2.9 – Un automate sur les ordres linéaires

Un chemin dans un automate A = (Q, A, E, I, F ) sur les ordres linéaires

dénombrables et dispersés est une suite de transitions de E indicée par un ordre linéaire. Les transitions d’un tel chemin sont soit des transitions successeurs

Eseq, des transitions limites à gauche ElimG ou des transitions limite à droite

ElimD. Dans un chemin γ = (tj)j∈J de A , pour un ordre linéaire J, une

tran-sition tj = P → p est une transition limite à gauche si et seulement si j n’a

pas de prédécesseur et n’est pas le minimum de J . Dans ce cas, P = cofj−(γ). Symétriquement, une transition tj= p → P est une transition limite à droite si et seulement si j n’a pas de successeur et n’est pas le maximum de J . Dans ce cas, P = cof_j+(γ) où cof_j+(γ) est l’ensemble cofinal à droite de γ en j. Il est défini symétriquement à l’ensemble cofinal gauche de la manière suivante :

cof_j+(γ) = {q : pour tout i > j, il existe i⁰∈ J tel que j < i⁰< i et q ∈ Qi0}

Cette notion est utilisée dans la suite dans une suite d’ensembles d’états indicée par −ω.

SoitA = (Q, A, E, I, F ) un automate sur les ordres linéaires dénombrables

et dispersés. L’ensemble des chemins γ étiquetés par des mots de A^de contenus

C(γ) dansA est le plus petit ensemble qui satisfait les conditions suivantes : — pour tout p ∈ Q,  est un chemin de p à p étiqueté par  de contenu {p}

dansA ;

— pour toute transition t = (p, a, q) ∈ Eseq, t est un chemin de p à q étiqueté

par a de contenu {p, q} dansA ;

— pour toute suite finie (γi)i≤k de chemins consécutifs dans A , avec k ≥

1, respectivement étiquetés par u0, . . . , uk de p0, . . . , pk à q0, . . . , qk de contenus (C(γi))i≤k,Q

i≤kγiest un chemin de p0à qkétiqueté parQ

i≤kui

— pour toute suite (γ_i)_i∈ω de chemins consécutifs dans A respectivement étiquetés par (u_i)_i∈ω de contenus C = (C(γ_i))_i∈ωet pour toute transition

t = cof_ω−(C) → q ∈ ElimG, (Q

i∈ωγi)t est un chemin de la source de γ₀à

q étiqueté parQ

i∈ωui de contenu (∪i∈ωC(γi)) ∪ {q} dansA ;

— symétriquement, pour toute suite (γi)i∈−ω de chemins consécutifs dans

A respectivement étiquetés par (ui)i∈−ω de contenus C = (C(γi))i∈−ω

et pour toute transition t = q → cof_−ω+(C) ∈ ElimD, t(Q

i∈−ωγi) est

un chemin de q à la destination de γ0 étiqueté par Q

i∈−ωui de contenu (∪i∈−ωC(γi)) ∪ {q} dansA .

La définition donnée ci-dessus n’est pas exactement celle donnée par Bruyère et Carton dans [26]. Nous l’avons adapté pour qu’elle soit facilement générali-sable à la définition de chemin d’un automate sur les posets série-parallèles transfinis. Dans [26], un chemin d’étiquette u sur un automate sur les ordres linéaires dénombrables et dispersés est plutôt une suite (qj)_{i∈ ˆI} d’états.

Exemple 2.3.15. Reprenons l’automateA de l’Exemple 2.3.14 représenté dans

la Figure 2.9. Le langage de A est le langage de Aζ ou de manière équivalente A^−ωAω. Un chemin γ deA est dessiné sur la Figure 2.6. Il s’agit de γ = t·γ0·t0

où t est la transition limite à droite (0, {1}),

γ⁰= (1 −→ 1 1^a −→ 1)^{b −ω}1 −→ 2(2^a −→ 2 2^b −→ 2)^a ω

et t⁰ est la transition limite à gauche ({2}, 3). Il existe bien un chemin dans

• 1 −→ 1^a • 1−→ 1^b • 1 −→ 2^a • 2−→ 2^b • 1 −→ 2^a . . . | c • ({2}, 3) . . . | c0 • (0, {1})

Figure 2.10 – Un chemin acceptant de l’automate représenté dans la Figure 2.9, étiqueté par (ab)ζ

A entre 1 et 1 étiqueté par a ou b. Ce chemin est de contenu {1}. Le facteur (1 −→ 1 1^a −→ 1)^b −ωde γ⁰ est une −ω-suite de chemins consécutifs dont chacun est de contenu C = {1}^−ω. Ainsi, l’ensemble cofinal à droite de C dans la coupure c⁰ = −ω est cof_c0 +(C) = {1}. Puisque t ∈ E_limD alors t · (1 −→ 1 1^a −→ 1)^b −ω

est un chemin de 0 à 1 dansA étiqueté par (ab)−ω. Symétriquement, on peut déduire que (2 −→ 2 2^b −→ 2)^a ω·t0est un chemin de 2 à 3 dansA étiqueté par (ba)ω. Puisque 0 est un état initial et 3 un état final alors γ est un chemin acceptant deA et (ab)−ωa(ba)ω= (ab)^ζ ∈ L(A ). Remarquons que si la transition 1 a

−→ 2

(resp. 1 −→ 2) est supprimée alors le langage de l’automate sera A^b −ωbAω (resp. A^−ωaAω).

Théorème 2.3.16 ([26]). Soit L ⊆ Aun langage sur un alphabet A fini. Alors L ∈ Rat(A) si et seulement s’il existe un automate sur les ordres linéaires

dénombrables et dispersésA tel que L = L(A ).

Exemple 2.3.17. Soit A l’automate de la Figure 2.11. Le langage de A sans

ses transitions limites est a(ba)^∗. En ajoutant seulement la transition limite à gauche {1, 2} → 2 on reconnaît a(ba)\. Symétriquement, en ajoutant seulement

2.3 - Automates 2 - Langages Rationnels

la transition limite à droite 1 → {1, 2} on reconnaît (ab)^−\a. Ainsi, a(ba)\∪ (ab)^−\a ⊆ L(A ). La ω-suite de chemins consécutifs (2 b

−

→ 1 1 −→ 2)^a ω suivie de la transition limite à gauche {1, 2} → 2 forme un chemin de 2 à 2 étiqueté par (ba)ω dans A . On précédant ce chemin de la transition 1 a

−→ 2 on obtient

un chemin γ acceptant dans A étiqueté par a(ba)ω. Similairement, la −ω-suite de chemins consécutifs (γ_i)_i∈−ω où, pour tout i ∈ −ω, γ_i = γ, précédée de la

transition limite à droite 1 → {1, 2} est un chemin acceptant dans A étiqueté

par (a(ba)ω)^−ω. Le langage de l’automate A est L(A ) = a  b.

1 2

{1, 2} → 2 1 → {1, 2}

a

b

Figure 2.11 – Un automate sur les ordres linéaires dénombrables et dispersés de langage a  b.

Rispal et Carton ont prouvé dans [75] que la classe des langages rationnels

de A^ est fermée par complémentation. Ainsi :

Théorème 2.3.18 ([75]). Soit A un alphabet fini et soient A et B deux

au-tomates sur les ordres linéaires dénombrables et dispersés. Il existe des auto-mate sur les ordres linéaires dénombrables et dispersés de langages L(A )C

,

L(A ) ∩ L(B) et L(A ) \ L(B).

Il a été montré dans [33] que la question de l’existence d’un chemin entre deux états d’un automate est décidable en temps polynomial. On peut en déduire le théorème suivant :

Théorème 2.3.19 ([33]). Soit A un automate sur les ordres linéaires

dénom-brables et dispersés. Alors, la question L(A ) = ∅ est décidable.

Grâce aux deux théorèmes précédents et notamment à l’effectivité du Théo-rème 2.3.18, on peut déduire aussi le théoThéo-rème suivant :

Théorème 2.3.20 ([27]). Soit A et B deux automates sur les ordres linéaires

dénombrables et dispersés. Alors, la question L(A ) = L(B) est décidable.

En effet, L(A ) = L(B) si et seulement si (L(A ) ∩ L(B)C

) ∪ (L(A )C

∩

L(B)) = ∅. Ce théorème a été néanmoins prouvé dans [27], avant que la preuve

de la fermeture de Rat(A^) par complémentation ne soit trouvée.