Plusieurs travaux de recherche en plani cation de chemin génèrent des solutions a nes par morceaux. Ainsi, le robot suivant ces chemins doit s'arrêter et redémarrer fréquemment pour changer de direction, ce qui provoque un gaspillage d'énergie d'où l'importance de déterminer des solutions lisses. Plusieurs techniques de lissage ont été introduites. La première solution proposée était de générer un chemin optimal formé de segments de droites reliés tangentiellement par des arcs de cercles [Dubins, 1957].
Ces chemins, connus sous le nom de "Chemins de Dubins", n'assurent cependant pas la continuité de courbure ; comme l'a souligné Fraichard et Scheuer qui ont proposé, par la suite, une deuxième solution, appelée "CC Steer", déterminant des chemins lisses avec courbure et dérivée de courbure bornées. Cette méthode fournit une so- lution constituée de segments de lignes, des arcs circulaires et des arcs de clothoïde [Fraichard and Scheuer, 2004]. Toutefois, les clothoïdes n'ont pas d'équations simples et doivent être approximées par des splines et des polynômes d'ordre élevé, ce qui limite leur utilisation pour les applications robotiques en temps réel.
Les courbes de Bézier, les B-splines et les B-splines rationnelles non uniformes (NURBS pour Non Uniform Rational B-Splines) sont des courbes paramétriques cou- ramment utilisées dans les applications de conception assistée par ordinateur (CAO). Les caractéristiques de ces courbes ont motivé leur utilisation dans des applications de navigation robotique. Certains travaux proposent les splines d'interpolation en tant que méthode de lissage, alors que d'autres utilisent les splines d'approximation. La diérence entre ces deux techniques d'ajustement de courbes est illustrée dans la - gure 3.1. En fait, le chemin interpolé (courbe en pointillées rouge) est plus long et a des mouvements oscillatoires, plus importants, ce qui augmente, par conséquence, la courbure du chemin. Cette solution n'est pas incluse dans le polygone de contrôle (les segments de droites joignant les points de contrôle) ce qui augmente la probabilité de collision (dans un contexte de plani cation de chemin, ce polygone n' est autre que le polyligne libre des obstacles). De ce fait, nous optons pour l'approximation plutôt que l'interpolation dans la solution que nous proposons.
Figure 3.1 Courbe B-spline d'interpolation (en pointillés rouge) Vs courbe B- spline d'approximation (en bleu).
Dans ce contexte, nous citons la méthode, proposée par Li et al, qui dérive une courbe lisse, en termes de splines cubiques, évitant les obstacles à partir de la donnée
d'une suite de segments sans collision [Li et al., 2006]. Aussi, dans [Ho and Liu, 2009], une approche de plani cation de chemin lisse en utilisant le diagramme de Voronoi et les courbes de Bézier pour calculer une solution, avec courbure bornée et de lon- gueur minimale, a été présentée. Dans [Wei and Liu, 2010], les auteurs proposent une méthode de plani cation de chemin avec courbure continue dans un environnement statique en minimisant la longueur et le maximum de valeur de courbure tout au long de ce chemin. Cet algorithme utilise les algorithmes génétiques, pour l'optimisation de ces deux critères, et les fonctions η3-splines comme technique d'interpolation. Mae-
kawa et al. ont introduit un algorithme utilisant le graphe de visibilité et le recuit simulé pour générer des chemins sans collision en termes de courbes B-spline cubique [Maekawa et al., 2010]. Yang et al. [Yang et al., 2014] ont proposé une solution au pro- blème en utilisant une méthode d'exploration RRT basée sur les splines pour garantir le calcul d'un chemin contraint par une valeur de courbure limite.
Les courbes paramétriques, utilisées dans les travaux cités précédemment, ont des propriétés qui limitent leur utilisation dans les plani cateurs de chemin. Par exemple l'absence du contrôle locale pour les courbes de Bézier et le manque de exibilité pour les courbes B-splines. Ainsi, les courbes NURBS se sont montrées plus intéres- santes grâce à leurs propriétés importantes citées dans le chapitre précédent. Nous avons remarqué, également, que l'emploie des courbes NURBS pour la navigation ro- botique a été très limité. Parmi les travaux existants, nous citons [Singh et al., 2011] et [Xidias and Aspragathos, 2013] qui utilisent les courbes NURBS pour modéliser les solutions qu'ils produisent, mais sans autant donner une paramétrisation particulière ce qui les ramène à des simples B-splines.
Nous notons aussi que, durant la dernière décennie, les algorithmes génétiques (AG) sont largement utilisés pour générer des chemins pour les robots mobiles, grâce à leur forte capacité d'optimisation [Masehian and Sedighizadeh, 2007]. Mais, malgré la qua- lité de recherche rapide et élevée, les AG ont des limites tel que la convergence pré- maturée vers un optimum local. Ainsi, de nombreuses méthodes de plani cation de chemin ont été développées à travers l'adaptation ou la dé nition de nouveaux opéra- teurs génétiques [Tu and Yang, 2003,Gemeinder and Gerke, 2003,Sedighi et al., 2004, Yun et al., 2010, Tamilselvi et al., 2012, Tuncer and Yildirim, 2012, Qu et al., 2013, Ahmed and Deb, 2013]. Nous constatons aussi que ces méthodes ne prennent pas en considération les dimensions du robot en le modélisant par un simple point. Bien que
ces méthodes déterminent des chemins en minimisant essentiellement la longueur, la plupart ne parviennent pas à intégrer la continuité et la limite de courbure dans la dé nition de la fonction objectif à optimiser.
Motivés par la croissance de la demande en plani cateurs de chemin plus éminents, nous cherchons à introduire une nouvelle approche modélisant la solution par une courbe NURBS paramétrisée en employant les algorithmes génétiques. Ces derniers représentent l'approche non déterministe la plus utilisée pour résoudre le problème de plani cation de mouvement [Masehian and Sedighizadeh, 2007], ce qui justi e son choix comme un moteur d'optimisation dans notre implémentation qui sera détaillée ci-dessous.
Cette approche aborde deux questions clés de la plani cation de chemin : la conti- nuité du chemin et la contrainte de courbure maximale liée aux robots non holonomes. Les principales contributions sont : Premièrement l'adaptabilité de la méthode propo- sée qui se montre capable de trouver le chemin optimal ou quasi-optimal, en termes de longueur et sécurité à la fois et qui respecte la contrainte de courbure liée au robot considéré, indépendamment de la complexité de la scène étudiée. Deuxièmement, l'em- ploie des courbes NURBS avec une paramétrisation qui tient compte des contraintes et du résultat attendu en exploitant l'in uence de chaque paramètre de ces fonctions d'approximation.