Fig. 7.5 – Cercle des corr´elations.
7.5
La morphom´etrie
7.5.1
Le taux de croissance
L’´equation de croissance de Karl Ludwig von Bertalanffy (biologiste autrichien, 1901-1972), est une formule math´ematique permettant d’exprimer la croissance des poissons ([4], [53], [99], [129]) mais qui peut aussi s’appliquer aux mollusques ([2], [7], [102]). L’interˆet majeur d’une telle formule est d’obtenir le taux de croissance d’une population, c’est-`a-dire l’augmentation de la taille en fonction du temps ([2], [52], [82], [90], [121]).
7.5.1.1 L’´equation de von Bertalanffy
Si l’on suppose que le taux de croissance d’un organisme diminue avec l’ˆage, alors en faisant le graphe de la vitesse de croissance dl
dt contre la longueur l, une droite d´ecroissante est obtenue.
Lorsque cette droite coupera l’axe des X alors la vitesse de croissance sera nulle c’est-`a-dire que la longueur maximale L∞ est atteinte. Cette ´equation lin´eaire s’´ecrit y = ax + b o`u y = dl
dt
et x = l. La vitesse de croissance diminuant avec l’ˆage, a sera n´egatif.
En y = 0 on a b = −ax or on sait qu’en x = L∞on a y = 0 donc b = −aL∞. Si l’on note a = −K
(K > 0) alors K est le taux de croissance et on obtient l’´equation diff´erentielle suivante : dl
dt = K(L∞− l)
Grˆace `a cette ´equation diff´erentielle, il est facile de se ramener `a la formule de croissance de von Bertalanffy (1938 [122]). Alors :
dl
dt = K(L∞− l) dl
OrR 1
xdx = ln(x) donc la formule suivante est obtenue :
−ln(L∞− l) = Kt + cte
en multipliant par -1 et en prenant l’exponentielle : L∞− l = cte.e−Kt
En t = t0, l’ˆage o`u l = 0 alors cte = L∞eKt0 d’o`u l = L∞− L∞eKt0e−Kt et donc
lt = L∞1 − e−K(t−t0)
7.5.1.2 Calcul de L∞ et K
Le graphe de Ford-Walford ([38], [123]) est le trac´e de la taille au temps t + 1 contre la taille au temps t. Il permet de calculer L∞ et K ([34], [52], [121]). En ´ecrivant la formule sous forme r´ecursive alors : lt+1 = L∞ 1 − e−K(t+1−t0) = L∞1 − e−K(t−t0)e−K lt+1− lt = L∞(1 − e−K(t−t0)e−K) − L∞ 1 − e−K(t−t0) = L∞− L∞e−K(t−t0)e−K − L∞+ L∞e−K(t−t0) = L∞e−K(t−t0) 1 − e−K lt+1 = L∞e−K(t−t0) 1 − e−K + lt or lt= L∞− L∞e−K(t−t0) donc L∞e−K(t−t0) = L∞− lt lt+1 = (L∞− lt) 1 − e−K + lt = L∞ 1 − e−K − l t 1 − e−K + lt = L∞(1 − e−K) − l t+ e−Klt+ lt = L∞(1 − e−K) + e−Klt
Comme L∞ et K sont constants alors en notant a = L∞(1 − e−K) et b = e−K on obtient la
droite lt+1 = a + blt. Cette droite coupera la 1`ere bissectrice en lt= lt+1 c’est-`a-dire en L∞, donc
L∞= a + bL∞ L∞(1 − b) = a L∞= a 1 − b et K = −ln(b)
Donc en estimant les param`etres de la droite de r´egression lt+1 = a + blt, on pourra facilement
7.5. LA MORPHOM ´ETRIE 71
7.5.2
La relation longueur-poids
L’utilisation de la r´egression (Partie III, Section 7.2) est aussi tr´es r´epandue dans l’´etude des poissons (et d’autres animaux) pour estimer la relation longueur-poids ([40], [44], [59], [72], [79], [80], [83], [92], [103], [114], [129]). L’´egalit´e la plus utilis´ee pour ajuster la forme de la relation est
W = aLb
qui peut se r´e´ecrire sous la forme logarithmique [50] suivante : ln(W ) = ln(a) + b.ln(L) 7.5.2.1 Croissance allom´etrique
La plupart des animaux grandissent en accroissant leur volume tout en gardant leurs pro- portions. Th´eoriquement, un animal qui double son poids multiplira sa longueur par seulement 1.26 (car 1.263 = 2). Une telle croissance, dans laquelle les formes sont conserv´ees parce que toutes les composantes grandissent au mˆeme taux, est appel´ee croissance isom´etrique.
Mais pour la plupart des organismes, la croissance n’est pas toujours uniforme, il y a des p´eriodes o`u la croissance est plus rapide, en g´en´eral durant les premi`eres ann´ees de vie. De plus toutes les parties du corps ne grandissent pas toujours de la mˆeme mani`ere. Dans ce cas on parlera de croissance allom´etrique.
Si il y a deux distances lin´eaires x et y avec des taux de croissances de dx dt et
dy
dt et que y s’accroit
plus vite que x alors :
dy/dt y = b dx/dt x o`u b > 1. Cela donne : 1 ydy = b 1 xdx en int´egrant des deux cot´es on obtient :
ln(y) = b.ln(x) + cte en prenant l’exponentielle :
y = cte.xb
Dans le cas de la relation longueur-volume (ou longueur-poids), on sait que la formule de conservation de la forme est V = L3. Donc, dans ce cas, une relation d’isom´etrie sera observ´ee
si l’on a b = 3. Si b < 3 on parlera d’allom´etrie n´egative, et si b > 3 on parlera d’allom´etrie positive ([42], [43], [50]).
7.5.2.2 Extension
De mani`ere ´equivalente, ce mod`ele peut ˆetre utilis´e pour ´etudier les relations longueur- largeur, longueur-profondeur, longueur-´epaisseur et longueur-longueur ant´erieur ([7], [40], [42], [43], [53], [97], [99], [105]). Cependant dans ce cas, une conservation des proportions ´equivaudra `a b = 1.
7.5.3
Les landmarks
Les landmarks, ou points homologues, sont des points qui sont suppos´es ˆetre homologues, au point de vue phylog´enique, d’un individu `a l’autre. De bons landmarks seront situ´es dans des coins, des angles, ou des structures tr´es petites qui peuvent ˆetre consid´er´ees comme des points. Le logiciel tpsDig de James F. Rohlf (t´el´echargeable sur le site Stony Brook [187]) a ´et´e con¸cu sp´ecialement pour calculer les coordonn´ees 2D `a partir d’une image de l’individu `a ´etudier. Les fichiers obtenus peuvent ensuite directement ˆetre utiliser dans le logiciel PAST (PAlaeontological STatistics), logiciel gratuit con¸cu pour l’´etude de donn´ees morphom´etriques ([188]).
A partir de ces landmarks, la taille d’un individu peut ˆetre consid´er´ee comme la somme des distances au carr´e de tous les landmarks par rapport au centre, c’est-`a-dire :
CS(centroid size) = s
X
i
(x − xi)2+ (y − yi)2
Lors de la digitalisation des points, les individus ne sont pas toujours positionn´es dans la mˆeme orientation ou position. De plus les tailles des individus ne sont pas les mˆemes, ce qui pose un probl`eme pour comparer les points. L’ajustement procruste ou superimposition est une m´ethode qui translate, ajuste, et tourne toutes les formes afin de minimiser la distance entre les landmarks correspondants. Cet ajustement permet donc de pouvoir ´etudier les formes en enlevant les probl`emes de rotation et de taille.
Fig.7.6 – Graphe des landmarks avant traitement et graphe des landmarks apr´es l’ajustement procrustes.
Apr´es avoir appliqu´e l’ajustement procruste, il est possible d’´etudier les formes en utilisant l’analyse en composantes principales, ou bien l’analyse par classification hi´erarchique ([50], [117], [116]).
Chapitre 8
M´ethodes en traitement du signal
8.1
Les signaux
Un signal est une s´erie temporelle `a valeur r´eelle indic´ee par des entiers. Il est caract´eris´e par :
– sa tendance ;
– ses fr´equences (ph´enom`ene qui se r´ep`ete `a intervalle fixe) ;
– son autocorr´elation (ce qui se passe au temps t d´epend de ce qui s’est pass´e au temps t − ∆t) ;
– ses ´ev`enements, `a savoir : – la transition,
– l’appartition d’un sous-signal, – la disparition d’un sous-signal.
Il faut toujours savoir d’o`u vient le signal ´etudi´e pour l’analyser correctement.
Analyser un signal `a partir de son graphe uniquement est loin de permettre d’acc´eder `a toutes les informations qu’il contient. Il est n´ecessaire de le transformer, c’est-`a-dire d’en donner une autre repr´esentation, qui fasse apparaˆıtre plus clairement telle ou telle caract´eristique. La transform´ee de Fourier, la DCT, et l’analyse en ondelettes sont de telles transformations. Plus loin, on trouvera quelques rappels rapides sur ces m´ethodes ([26], [185], [194], [195]) et dont une partie est tir´ee du cours de master ”Advanced Signal Processing” du Professeur Vandergheynst de L’EPFL.
8.1.1
Les signaux al´eatoires
Un signal al´eatoire est un signal qui varie al´eatoirement en fonction du temps, en particu- lier sa valeur `a un instant t ne peut pas ˆetre pr´edite. En pratique, tous les signaux ne sont pas parfaitement pr´evisibles. Ceci am`ene `a ´etudier les caract´eristiques principales des signaux al´eatoires et les bases de probabilit´es n´ecessaires `a cette ´etude. Les notions les plus importantes dans l’´etude d’un signal sont : la moyenne, la fonction d’autocorr´elation, la densit´e spectrale (transform´ee de Fourier de sa fonction d’autocorr´elation) et les bruits blancs ([196]).
8.1.2
Histogramme et densit´e de probabilit´e
La densit´e de probabilit´e repr´esente la statistique des amplitudes du signal `a un instant donn´e. L’histogramme des valeurs prises par le signal permettra ensuite d’estimer sa densit´e de probabilit´e, `a l’aide de lois connues ([198]).
8.1.3
La fonction d’autocorr´elation
La fonction d’autocorr´elation d’un signal f (t) mesure la corr´elation entre les valeurs f (t1)
et f (t2) du signal `a deux temps donn´es. C’est la corr´elation crois´ee d’un signal par lui-mˆeme.
L’autocorr´elation permet de d´etecter des r´egularit´es, des profils r´ep´et´es dans un signal, comme un signal p´eriodique perturb´e par beaucoup de bruit. Si la diff´erence entre t1 et t2 est not´ee τ
alors la fonction d’autocorr´elation est donn´ee par :
Rf(τ ) = E[f (t)f (t + τ )]
Une de ses propri´et´es est qu’elle est sym´etrique et atteindra son pic `a l’origine ([185]).
8.1.4
Les bruits blancs
Un signal dont les variables al´eatoires qui le composent sont ind´ependantes les unes des autres et suivent la mˆeme loi, est appel´e bruit blanc. C’est un signal tr´es riche fr´equentiellement, ce qui signifie que sa densit´e spectrale sera constante. Toutes les fr´equences sont pr´esentes sur toute la longueur du signal. La caract´eristique essentielle de ce signal est qu’il ne poss`ede une corr´elation significative qu’en τ = 0. C’est un signal dit sans m´emoire. Sa fonction d’auto- corr´elation aura donc la forme d’une impulsion de Dirac `a l’origine ([196], [197]).