d′ 1 // d′ 0 // R d1 v // V ϕ R d1 // d0 // T α // A où ϕ est le morphisme composé V → A×Tδ pr1
→ A ; les trois carrés sont cartésiens. Puisque ϕ est plat et de présentation finie son image est un ouvert ; ce morphisme se factorise donc en V −→ Uψ −→ A, où ψ est fidèlement plat de présentation finieι et où ι est une immersion ouverte. Comme d1 est surjectif, le morphisme α se factorise lui aussi par ι, soit α = ιu ; on obtient finalement le diagramme
R′ d′ 2 d′ 1 // d′ 0 // R d1 v // V ψ R d1 // d0 // T u // U
Il s’agit de montrer que u : T → U représente le quotient T/R. Or, ψ est un morphisme fppf, et les trois carrés du diagramme sont cartésiens (pour le carré de droite, {ψv, ud1}, il faut se souvenir que {ιψv, ιud1} = {ϕv, αd1} est cartésien, et que ι est un monomorphisme !). Il suffit donc de montrer que v : R → V représente le quotient pour la ligne du haut. Or, le lemme A.1.4 montre que ce quotient est donné par d0 : R → T ; le morphisme v se factorise donc en R d0
→ T → V , et il reste à voir que w est un isomorphisme.w
On a signalé plus haut que v est schématiquement dominant ; cela implique que w l’est aussi. Par ailleurs, Le morphisme w : T → V est une section du morphisme composé V → A × T → T , lequel est séparé puisque δ : V → A × T est une immersion et que A×T → T est affine ; w est donc une immersion fermée. Mais une immersion fermée schématiquement dominante est un isomorphisme.
A.4 Troisième démonstration du théorème 4.1.1, par L.
Moret-Bailly
Pour un schéma X sur un corps k, on définit le nombre géométrique de com-posantes connexes de X, n′(X) comme le nombre de composantes connexes de X⊗kΩ pour une (quelconque) extension algébriquement close Ω de k [EGA IV2, 4.5].
A.4.1 Lemme. Soit f : T → S un morphisme surjectif de présentation fi-nie, avec S quasi-compact. Le nombre géométrique de composantes connexes des fibres Ts= f−1(s), pour s parcourant S, est une famille bornée, i.e. m(f ) = max(n′(Ts), s∈ S) est fini.
Démonstration. On peut supposer que S est affine, puis que f provient, par un changement de base S → S0, d’un morphisme f0: T0→ S0où S0est noethérien et f0 de type fini ; on aura alors m(f ) ≤ m(f0) ; on peut donc supposer que S est affine et noethérien. En vertu de [EGA IV3, 9.7.8], pour tout s ∈ S, il existe un ouvert U contenant s tel que pour tout s′ ∈ U ∩ ¯s, on ait n′(Ts′) = n′(Ts). Un raisonnement classique par récurrence noethérienne permet alors de construire une partition finie (Sα) de S par des sous-schémas localement fermés de S, telle que les applications s 7→ n′(Ts) soient constantes sur chaque Sα; pour plus de détails, voir [EGA I, OI, 2.5.2].
On reprend dans la suite les hypothèses du théorème4.1.1; en particulier, f : T → S est un morphisme plat de présentation finie. On raisonne par récurrence sur m(f ).
A.4.2 Lemme. Si m(f ) = 1, alors le quotient T /R est isomorphe à S. Démonstration. Les fibres de T ×ST → T sont géométriquement connexes, et rencontrent R puisque la relation d’équivalence contient la diagonale ; mais R est un ouvert fermé de T ×ST , donc R = T×ST ; comme f est fidèlement plat quasi compact, la suite T ×ST //// T // S est exacte, i.e. on a T /R = S. A.4.3. Supposons que f admette une section g : S → T . Le saturé de g est un ouvert fermé U de T , puisqu’il est défini par le carré cartésien
U // R d T S×ST g×1 // T ×ST
Notons V l’ouvert fermé complémentaire, de sorte que T = U ⊔ V . Notons RU et RV les relations induites par R sur U et V respectivement. On vérifie formellement que RU = U×SU et donc que le quotient U/RU est isomorphe à S. D’autre part, chacune des fibres Tsrencontre U puisque U contient la section g ; on en déduit l’inégalité stricte m(V → S) < m(T → S). L’hypothèse de récurrence entraîne que le quotient V/RV est un schéma étale et séparé sur S, et on peut conclure que T /R = U/RU ⊔ V/RV est lui aussi un schéma étale et séparé sur S.
A.4.4. Cas général. On utilise l’universalité des faisceaux T /R sur SchS, ce qui signifie ceci : pour un morphisme S′
→ S, le faisceau sur SchS′ déduit de T /R par image réciproque est isomorphe au faisceau S′
×S T /S′
×S R ; il est, en particulier, canoniquement muni d’une donnée de descente relative S′
→ S. Appliquons au problème initial sur S, le changement de base T → S ; au-dessus de T le morphisme f acquiert une section ; d’après le point précédent, le faisceau devient donc représentable par un schéma étale et séparé sur T , donc quasi-affine sur T , et ce schéma est muni d’une donnée de descente relative à T → S . Mais d’après ([SGA 1, IX, 4.1, p.182]), une donnée de descente sur un tel schéma est effective, autrement dit, le schéma en question provient de S.
Références
[BLR90] S. Bosch, W. Lütkebhomert, M. Raynaud, Néron Models, Er-gebnisse der Math. (3), vol. 21, Springer-Verlag, (1990).
[CS86] G. Cornell, J. H. Silverman,Arthmetic Goemetry Springer (1986).
[DG] M. Demazure, P. Gabriel, Groupes algébriques, Masson (1970). [FAG] B. Fantechi, L. Göttsche, L. Illusie, S. L. Kleiman, N. Nit-sure, A. Vistoli, Fundamental Algebraic Geometry, Math. Sur-veys, vol.123, AMS, (2005).
[Fév69] P. Février, Propriétés de l’anneau K⊗kK pour une extension de corps k → K, Mémoire de DEA, Université de Paris VI (non publié), (1969).
[Knu71] D. Knutson, Algebraic Spaces, LNM vol. 203, Springer-Verlag (1971).
[LMB] G. Laumon, L. Moret-Bailly, Champs algébriques, Springer-Verlag (2000).
[Ray67] M. Raynaud, Passage au quotient par une relation d’équivalence plate, pp.78-85 in : Proc.Conf.Local Fields (Driebergen) (éd T.A. Springer), (1967).
[Ray70] M. Raynaud, Anneaux henséliens, LNM 169, Springer, (1970). [Rom11] M. Romagny, Composantes connexes et irréductibles en familles,
Manuscripta math. 136, 1-32, (2011).
[Sza] T. Szamuely, Galois Groups and Fundamental Groups, Cambridge Uni. Press(2009)
Sigles
[A] N. Bourbaki, Algèbre, ch. 4 à 7. Masson, (1981). Translated into English as Algebra II. Springer, (2003).
[AC] N. Bourbaki, Algèbre commutative. Translated into English as Commutative Algebra, chap. 1–7. Springer, (1989).
[TG] N. Bourbaki, Topologie générale, chap. 1 à 4, Masson, (1990). [EGA I] A. Grothendieck, J. Dieudonné, Éléments de géométrie
al-gébrique I, Grundleheren Math. Wiss., vol. 166, Springer-Verlag (1971).
[EGA II] A. Grothendieck, J. Dieudonné Éléments de Géométrie algé-brique, II : Étude globale élémentaire de quelques classes de mor-phismes, Publ. Math. IHÉS no 8 (1961).
[EGA III] A. Grothendieck, J. Dieudonné Éléments de Géométrie algé-brique, III : Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Publ. Math. IHÉS no 11 (1961) et 17 (1963).
[EGA IV1] A. Grothendieck, J. Dieudonné Éléments de Géométrie algé-brique Publ. Math. IHÉS no. 20, (1964).
[EGA IV2] A. Grothendieck, J. Dieudonné Éléments de Géométrie algé-brique Publ. Math. IHÉS no. 24, (1965).
[EGA IV3] A. Grothendieck, J. Dieudonné Éléments de Géométrie algé-brique Publ. Math. IHÉS no. 28, (1966).
[EGA IV4] A. Grothendieck, J. Dieudonné Éléments de Géométrie algé-brique Publ. Math. IHÉS no. 32, (1967).
[SGA 1] A. Grothendieck, Revêtements étales et groupe fondamental, Do-cuments mathématiques no3, Soc. Math. France (2003).
[SGA 3] M. Demazure, A. Grothendieck, Schémas en groupes, Docu-ments mathématiques no7, Soc. Math. France, (2011).
[SGA 4] M. Artin, A. Grothendieck, J.-L. Verdier, Théorie des topos et cohomologie étale des schémas (vol. II), Lect. Notes in Math. vol. 270, Springer-Verlag (1972).
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