Soit Γ = (mi,j)i,j∈I une matrice de Coxeter. On rappelle que l’on note :
W = WΓ = < si, i ∈ I | s2i = 1, Πmi,j(si, sj) = Πmi,j(sj, si), si mi,j 6= ∞ >, B = BΓ = < si, i ∈ I | Πmi,j(si, sj) = Πmi,j(sj, si), si mi,j 6= ∞ >,
B+ = BΓ+ = < si, i ∈ I | Πmi,j(si, sj) = Πmi,j(sj, si), si mi,j 6= ∞ >+,
respectivement le groupe de Coxeter, le groupe d’Artin-Tits et le mono¨ıde d’Artin-Tits asso-ci´es `a Γ. On pose S = SΓ = {si| i ∈ I}, S = SΓ= {si | i ∈ I} et on dit que le couple (W, S) (resp. (B, S), resp. (B+, S)) est le syst`eme de Coxeter (resp. d’Artin-Tits, resp. d’Artin-Tits positif) de type Γ. Le groupe W est engendr´e, comme mono¨ıde, par S. On appelle longueur standard la longueur ℓ sur W (resp. sur B+) par rapport `a S (resp. `a S).
On dispose d’un morphisme π = πΓ : B → W qui envoie, pour tout i ∈ I, si sur si. L’application I → S, i 7→ si, est bijective (cf. [Bou68, Ch. V, n➦ 4.3]), donc il en est de mˆeme de l’application I → S, i 7→ si. D’apr`es [Tit69, Th´eor`eme 3], deux repr´esentations r´eduites sur I d’un ´el´ement w de W se d´eduisent l’une de l’autre par une suite finie de transformations — que l’on appelle relations de tresses — de la forme Πmi,j(i, j) ❀ Πmi,j(j, i), pour i, j ∈ I, i 6= j, tels que mi,j 6= ∞.
D´efinition 6.2.1 (´el´ements simples). On associe `a w ∈ W l’´el´ement w de B+repr´esent´e (sur I) par n’importe quelle repr´esentation r´eduite de w (sur I). Nous disons qu’un tel ´el´ement w est simple et nous notons, selon l’usage :
B+red= {w | w ∈ W } = {x ∈ B+| ℓ(x) = ℓ(π(x))}
(cette notation fait r´ef´erence aux repr´esentations r´eduites des ´el´ements de W ; les repr´esen-tations sur I des ´el´ements de B+ sont toutes r´eduites).
D´efinition 6.2.2 (formes normales). D’apr`es [Mic99, 2.1], il existe une unique fonction L : B+ → Bred+ telle que, pour tout (w, x) ∈ Bred+ × B+, on ait w 4 x si et seulement si w 4L(x).
Cette fonction satisfait `a L(xy) = L(xL(y)), pour tous x, y ∈ B+, et permet de d´efinir la forme normale (`a gauche) d’un ´el´ement x ∈ B+, x 6= 1, c’est-`a-dire l’unique suite (x1, . . . , xn) d’´el´ements de Bred+ telle que l’on ait x = x1· · · xn, xn 6= 1 et, pour 1 6 k 6 n − 1, xk = L(xkxk+1).
On a des r´esultats analogues en intervertissant gauche et droite.
Rappelons les notions et les propri´et´es des sous-mono¨ıdes (resp. sous-groupes) parabo-liques standard :
D´efinition 6.2.3. Soit J ⊆ I. On pose ΓJ = (mi,j)i,j∈J, et on note WJ (resp. BJ, resp. BJ+) le sous-groupe de W (resp. le sous-groupe de B, resp. le sous-mono¨ıde de B+) engendr´e par {sj | j ∈ J} (resp. par {sj | j ∈ J}). On dit que les sous-groupes WJ et BJ (resp. les sous-mono¨ıdes BJ+) sont les sous-groupes (resp. sous-mono¨ıdes) paraboliques standard de W et de B (resp. de B+).
D’apr`es [Bou68, Ch. IV, n➦ 1.8, Corollaire 1], (WJ, {sj | j ∈ J}) est un syst`eme de Coxeter de type ΓJ. L’analogue pour les mono¨ıdes d’Artin-Tits est clair, au vu de leurs pr´esentations, et H. van der Lek a ´etabli l’analogue pour les groupes d’Artin-Tits dans [vdL83, 4.13]) : le r´esultat y est d´emontr´e pour I fini, mais il implique le r´esultat g´en´eral.
6.2. Mono¨ıdes et groupes d’Artin-Tits. 45 La longueur standard sur WJ (resp. BJ+) est induite par la longueur standard sur W (resp. B+). On en d´eduit que les relev´es dans (B+J)red et dans Bred+ d’un ´el´ement de WJ co¨ıncident, d’o`u (BJ+)red= B+red∩ BJ+.
D´efinition 6.2.4 (parties sph´eriques). On dit que ΓJ est sph´erique, ou que J est sph´erique (relativement `a Γ), lorsque WJ est fini. Dans ce cas, on note rJ l’unique ´el´ement (d’ordre 2, si J 6= ∅) de plus grande longueur dans WJ, et on pose ∆J = rJ (c’est l’unique ´el´ement de plus grande longueur dans (B+J)red).
D’apr`es [BS72, Mic99], le mono¨ıde B+ est un mono¨ıde simplifiable, dans lequel les pgcd et les ppcm sont uniques, lorsqu’ils existent. De plus, deux ´el´ements de B+ ont toujours un pgcd `a droite (resp. `a gauche), et ont un ppcm `a droite (resp. `a gauche) d`es qu’ils ont un multiple `a droite (resp. `a gauche) commun.
D’apr`es [BS72, 5.7], si J est une partie non vide de I, les ´el´ements sj, j ∈ J, admettent un ppcm (`a droite ou `a gauche) si et seulement si ΓJ est sph´erique, auquel cas leur ppcm (`a droite et `a gauche) est l’´el´ement ∆J = rJ. En particulier, deux ´el´ements si et sj admettent un ppcm (`a droite ou `a gauche) si et seulement si mi,j 6= ∞, auquel cas si∨Rsj = si∨Lsj = ∆{i,j}= Πmi,j(si, sj) = Πmi,j(sj, si).
Remarques 6.2.5. Le groupe B est engendr´e (comme groupe) par B+.
Lorsque Γ est sph´erique, B est plus pr´ecis´ement le groupe des fractions de B+, c’est-`a-dire que tout ´el´ement g de B s’´ecrit sous la forme g = x−1y = x′y′−1, o`u x, y, x′, y′ ∈ B+ (cf. [BS72, 5.5]). Dans ce cas, d’apr`es [DP99, 7.5], il existe mˆeme un unique couple (x, y) ∈ (B+)2 (resp. (x′, y′) ∈ (B+)2) tel que g = x−1y et x ∧Ly = 1 (resp. g = x′y′−1 et x′∧Ry′= 1). On dit que ce couple (x, y) (resp. (x′, y′)) est une fraction irr´eductible `a gauche (resp. `a droite), et est la forme irr´eductible `a gauche (resp. `a droite) de g.
Chapitre 7
Partitions admissibles.
La notion de partition admissible d’un graphe de Coxeter a ´et´e introduite et ´etudi´ee par B. M¨uhlherr dans [M¨uh93, M¨uh94]. Dans ce chapitre, nous rappelons les d´efinitions et les principaux r´esultats qui y sont ´etablis.
Les d´efinitions et notations concernant les partitions admissibles sont regroup´ees dans la section 7.1. La section 7.2 pr´esente les principaux r´esultats de [M¨uh93] sur les partitions admissibles d’un graphe de Coxeter Γ et sur les sous-groupes du groupe de Coxeter WΓ induits par de telles partitions. Dans la section 7.3, nous rappelons des exemples trait´es dans [M¨uh93, M¨uh94].
7.1 D´efinitions.
Soit Γ = (mi,j)i,j∈I une matrice de Coxeter.
D´efinition 7.1.1 ([M¨uh93]). On dit qu’une partition ˜I de I est sph´erique (relativement `a Γ), ou, par abus de langage, est une partition sph´erique de Γ, si, pour tout α ∈ ˜I, Γα est sph´erique.
Dans ce cas, on pose ˜S = {rα| α ∈ ˜I}, et on note ˜W le sous-groupe de W engendr´e par ˜
S et ˜ℓ la longueur sur ˜W par rapport `a ˜S (le groupe ˜W est engendr´e par ˜S comme mono¨ıde, puisque les ´el´ements rα, α ∈ ˜I, sont d’ordre 2). On appelle type de la partition ˜I la matrice de Coxeter ˜Γ = ( ˜mα,β)α,β∈ ˜I, o`u ˜mα,β = |rαrβ|.
Notons que l’application ˜I → ˜S, α 7→ rα est bijective. Soient α1, . . . , αd ∈ ˜I et w = rα1· · · rαd ∈ ˜W . On dit que le mot α1· · · αd sur ˜I est compatible, ou est une repr´esentation compatible de w (relativement `a Γ) si ℓ(w) =Pd
n=1ℓ(rαn).
Remarque 7.1.2. Soit ˜I une partition sph´erique de Γ, de type ˜Γ.
1. On dispose d’un morphisme surjectif ˜ϕ = ˜ϕI˜: WΓ˜ → ˜W , donn´e par sα 7→ rα. 2. Si α1, . . . , αd ∈ ˜I et w = rα1· · · rαd ∈ ˜W , on a toujours ℓ(w) 6 Pd
n=1ℓ(rαn), avec ´egalit´e lorsque la repr´esentation Rα1· · · Rαd de w sur I, o`u Rαn est une repr´esentation r´eduite de rαn sur I (pour 1 6 n 6 d), est r´eduite.
Notation 7.1.3. Soit w ∈ W . On pose
I+(w) = {i ∈ I | ℓ(wsi) = ℓ(w) + 1}, I−(w) = {i ∈ I | ℓ(wsi) = ℓ(w) − 1}. Notons que I−(w) est une partie sph´erique de I (cf. [M¨uh93, 2.8]).
48 Chapitre 7. Partitions admissibles. D´efinition 7.1.4 ([M¨uh93]). Soit ˜I une partition de I. On dit que ˜I est une partition admissible de I (relativement `a Γ), ou, par abus de langage, est une partition admissible de Γ, si c’est une partition sph´erique de Γ telle que, pour tout (w, α) ∈ ˜W × ˜I, on ait α ⊆ I+(w) ou α ⊆ I−(w).
Remarque 7.1.5. Soient α une partie sph´erique de I et w ∈ W .
Alors, d’apr`es [M¨uh93, 2.4 et 2.8], on a α ⊆ I−(w) (resp. α ⊆ I+(w)) si et seulement si ℓ(wrα) = ℓ(w) − ℓ(rα) (resp. ℓ(wrα) = ℓ(w) + ℓ(rα)), i.e. si et seulement si w est l’´el´ement le plus long (resp. le plus court) de l’ensemble wWα.