Modules de Tate

On xe ici un nombre premier ` tel que (`,car(k)) = 1.

3.5.1 Rappels sur le caractère cyclotomique. Pour tout entier m premier à car(k), l'action deG_ksur le groupe des racinesm-èmes de l'unitéµ_m(¯k)fournit un homomorphisme

χm :Gk −→Aut(µm) = (Z/mZ)^× =GL1(Z/mZ)

qui est continu puisqu'il se factorise par Gal(k(µ_m)/k). Cette factorisation est d'ailleurs injective et permet parfois de calculer Gal(k(µ_m)/k). Un résultat classique arme par exemple que si k =Q, χm induit un isomorphismeGal(Q(µm)/Q) ∼

−→(Z/mZ)^×.

Si l'on considère µ_m = Gm[m] comme le groupe des points de m-torsion du groupe multiplicatifGm(qui est aussi une courbe algébrique), on comprend alors l'intérêt d'étudier l'action de Galois surE[m] pour une courbe elliptique, qui d'après le corollaire 3.2.5 est ici une représentation linéaire de G_k

ρE,m :G_k−→Aut(E[m])'GL2(Z/mZ).

Notons que l'isomorphisme ci-dessus n'a rien de canonique puisqu'il dépend du choix d'une Z/mZ-base deE[m], mais sa classe de conjugaison est canonique. Une diculté dans l'étude deρ_E,m est que la théorie des représentations linéaires de groupes à valeurs dans un anneau comme Z/mZ est a priori compliquée. Néanmoins, on peut produire des représentations linéaires sur des corps de caractéristique0en regardant toutes les puissances d'un premier

` à la fois.

Pour le cas de Gm, on regarde le système projectif

· · · −→µ_`^{n (−)}

`

−→µ_{`</sub><sup>n−1</sup> −→ · · · −→µ<sub>`} et on pose T`G^m := lim

←−n

µ`<sup>n</sup> la limite projective de ce système. Un élément de T`G^m est donc un système compatible de racines de l'unité (ζ_n)_n avec ζ_n ∈ µ<sub>`</sub><sup>n</sup> et ζ<sub>n</sub><sup>`</sup> =ζn−1. Alors T<sub>`</sub>Gm est naturellement un Z`-module libre de rang 1, et un élément (ζ_n)_n en forme une base si et seulement si ζ1 6= 1. Le groupe de Galois Gk agit continûment sur T`G<sup>m</sup> si on munit ce dernier de la topologie produit. Cette action est donnée par une représentation Z`-linéaire

χ`<sup>∞</sup> :Gk−→Aut<sub>Z`</sub>(T`G<sup>m</sup>) = Z<sup>×</sup>` =GL1(Z^`).

3.5.2 Module de Tate de E. Appliquons la même idée à E. Considérons le système projectif

· · · −→ E[`<sup>n</sup>]−→ E<sup>[`]E</sup> [`<sup>n−1</sup>]−→ · · · −→ E[`]

et posons T_`E := lim

←−n

E[`<sup>n</sup>] la limite projective de ce système. Un élément de T<sub>`</sub>E est donc un système compatible de points de torsion (P_n)_n avec P_n∈ E[`<sup>n</sup>] et [`]_EP_n=P_n−1. Alors T_{`</sub>E est naturellement unZ`-module libre de rang2, et une paire d'éléments{(P_n)_n,(Q_n)_n} en forme uneZ`-base si et seulement si{P<sub>1</sub>, Q<sub>1</sub>}est uneF`-base deE[`]. L'action du groupe de Galois G<sub>k</sub> surT<sub>`}Gm est donnée par une représentation Z`-linéaire continue

ρE,`<sup>∞</sup> :Gk−→Aut<sub>Z`</sub>(T`E)'GL2(Z<sup>`</sup>).

En inversant ` (ie en tensorisant par Q`) on obtient une représentation G_k −→ GL2(Q`) sur un corps de caractéristique nulle, qui est continue pour la topologie `-adique. Cette représentation contient beaucoup d'information arithmétique, par exemple on verra com-ment on retrouve le nombre de points de E lorsque k est ni, ou comment on en tire la fonction L deE si k=Q.

Exercice. Montrer que T<sub>`</sub>E = Hom<sub>Z</sub>(Q`/Z`,E).

Remarque. Le module de Tate a aussi une motivation topologique. En eet, sik =C etE =C/Λ, on voit queT<sub>`</sub>E =Z`⊗_ZΛ (exercice). Or, puisqueC est simplement connexe, on a π₁(E, O) = Λ et a fortiori H₁(E,Z) = π₁(E, O)_ab = Λ. Ainsi T<sub>`</sub>E joue le rôle, sur un corps quelconque, du groupe d'homologie H<sub>1</sub>(E,Z<sup>`</sup>). En fait, ceci est plus qu'une analogie, on peut en eet dénir une topologie appelée topologie étale sur les schémas dont la cohomologie des faisceaux fournit des analogues de l'homologie usuelle en topologie. Le module de Tate T_`E est, de fait, le premier groupe d'homologie étale de E.

La construction du module de Tate est fonctorielle en E en le sens suivant. Un homo-morphisme ϕ : E −→ E⁰ envoie E[`<sup>n</sup>] dans E<sup>0</sup>[`ⁿ], donc induit à la limite une application Z`-linéaire T<sub>`</sub>ϕ : T_{`</sub>E −→ T<sub>`}E⁰. La composition T_{`</sub>ϕˆ◦T<sub>`}ϕ est donc la multiplication par deg(ϕ).

Exercice. À l'aide du deuxième exercice de la section 3.4, montrer que les accouple-ments de Weile<sub>`</sub><sup>n</sup>(−,−)fournissent une applicationZ`-bilinéaire alternée et non dégénérée

e(−,−) : T_{`</sub>E ×T<sub>`}E −→T_`Gm,

et que si ϕ : E −→ E⁰ est une isogénie alors les applications Z-linéaires T_{`</sub>ϕ et T<sub>`}ϕˆ sont adjointes l'une de l'autre.

3.5.3 Théorème. Avec les notations ci-dessus,

i) L'application Z`-linéaire Z`⊗_Z Hom(E,E⁰) −→ Hom_{Z`</sub>(T<sub>`}E, T_`E⁰) est injective. En particulier, le groupe abélien Hom(E,E⁰) est libre de rang au plus 4.

ii) Pour tout ϕ∈End(E), on a dans Z` les égalités

det(T_{`</sub>ϕ) = deg(ϕ) et tr(T<sub>`}ϕ) =t(ϕ) := 1 + deg(ϕ)−deg(id−ϕ).

iii) Le polynômeX²−t(ϕ)X+ deg(ϕ)∈Z[X]annule ϕdans l'anneau End(E). De plus, son discriminant t(ϕ)²−4 deg(ϕ) est négatif.

Démonstration. i) Soit x = Pr

i=1α_i ⊗ϕ_i un élément de Z` ⊗_Z Hom(E,E⁰). Notons Φ le sous-groupe de Hom(E,E⁰) engendré par ϕ₁,· · · , ϕ_r, et notons Φ^sat son saturé déni par

Φ^sat := (Q⊗Φ)∩Hom(E,E⁰) ={ϕ∈Hom(E,E⁰), ∃m∈N, ϕ◦[m]E ∈Φ}.

(Rappelons que leZ-module Hom(E,E⁰) est sans torsion, donc s'envoie injectivement dans Q⊗_ZHom(E,E⁰)). AlorsΦ^sat est un groupe libre de type ni. En eet, d'après le corollaire 3.2.6, l'application deg dénit une forme quadratique dénie positive sur R⊗Φ telle que deg_|Φsat\{0} >1, ce qui signie que Φ^sat est discret dans l'espace euclidien R⊗Φ. Prenons donc une base ψ₁,· · ·, ψ_s de Φ^sat et écrivons l'élément x sous la forme x=Ps

i=1β_i⊗ψ_i. Supposons maintenant que Ps

i=1βiT`ψi = 0 dans Hom<sub>Z`</sub>(T`E, T`E⁰). Pour n xé, ap-proximonsβ_ipar un entierb_i ∈Ntel quev_`(β_i−b_i)>n, et posonsψ :=Ps

i=1b_iψ_i ∈Φ^sat. Le fait queT_{`</sub>ψ envoieT<sub>`}E dans`<sup>n</sup>T<sub>`</sub>E⁰ signie queψinduit l'application nulleE[`<sup>n</sup>]−→ E<sup>0</sup>[`ⁿ], et donc que ψ se factorise enψ⁰◦[`<sup>n</sup>] (cf exercice du paragraphe 3.2.3). Par dénition de Φ<sup>sat</sup>, on a ψ<sup>0</sup> ∈ Φ<sup>sat</sup>, et en l'écrivant dans la base des ψ<sub>i</sub> on constate que que `ⁿ|b_i et ψ⁰ = P

i(`<sup>−n</sup>b<sub>i</sub>)ψ<sub>i</sub>. Il s'ensuit que `ⁿ|β_i dans Z`. Faisant maintenant varier n, on voit que βi = 0 pour tout i.

ii) Choisissons une Z`-base P•, Q• de T<sub>`</sub>E, et notons a b

c d

la matrice de T_{`</sub>ϕ dans cette base. En notant additivement l'accouplement de Weil surT<sub>`}E (ie en identiantT_`Gm

à Z^`), on calcule.

deg(ϕ)e(P•, Q•) = e(deg(ϕ)·P•, Q•) =e(T_{`</sub>ϕˆ◦T<sub>`}ϕ(P•), Q•) =e(T_{`</sub>ϕ(P•), T<sub>`}ϕˆ◦(Q•))

= e(aP• +cQ•, bP•+dQ•) = (ad−bc)e(P•, Q•)

Comme e(P•, Q•) est nécessairement non nul dans T<sub>`</sub>Gm = Z`, on en déduit deg(ϕ) = ad −bc = det(T_{`</sub>ϕ) comme voulu. La formule pour tr(T<sub>`}ϕ) découle alors de la formule tr(A) = 1 +det(A)−det(I₂−A)valable pour toute matrice 2×2.

iii) D'après le ii), le polynômef(X) =X²−t(ϕ)X+det(ϕ)est le polynôme caractéris-tique de T_{`</sub>ϕ∈EndZ`(T_{`</sub>E). Le théorème de Cayley-Hamilton implique donc que f(T<sub>`}) = 0 dans EndZ`(T<sub>`}E), puis le point i) appliqué à E⁰ =E implique que f(ϕ) = 0 dans End(E). Pour voir que le discriminant de f est négatif, il sut de voir que f(x) > 0 pour tout x∈R. Par continuité, il sut de le vérier pour x= ^r_s ∈Q et on est donc améné à mon-trer la positivité de r²−t(ϕ)rs+ deg(ϕ)s². Or, puisque f(X) =det(X−T<sub>`</sub>ϕ), on a dans Z` l'égalité r² −t(ϕ)rs+ deg(ϕ)s² =det(r−sT<sub>`</sub>ϕ). Mais d'après le ii) de la proposition, on a det(r−sT`ϕ) = deg(r−sϕ)>0.

3.5.4 Fonction zêta sur un corps ni. SoitV une variété dénie surFq. Notons|V(Fqⁿ)|

le nombre de points deV à valeurs dansF^qn. An de chercher les propriétés combinatoires de ces entiers, il serait naturel de former une série génératrice du typeP

n∈N^∗|V(Fqⁿ)|Tⁿ⁻¹.

Néanmoins, il s'avère plus judicieux d'utiliser la variante suivante, dont la dérivée

Pour comprendre cette normalisation, il faut réarranger cette dénition selon les points fermés du schéma associé à V qui, dans notre langage, correspondent aux orbites de G_Fq agissant sur V = V(¯Fq). Notons V l'ensemble des points fermés et, pour x ∈ V, notons Si l'on pose formellement T =q^−s, on obtient une expression

ζ_{V /Fq}(s) := Y

x∈V

1 1−q_x^−s

qui est un analogue clair de la fonction zêta de Riemann. C'est un bon exercice de mon-trer que |V(F^qn)| = O(q^n.dim(V)) (en utilisant le lemme de normalisation de Noether ou une récurrence sur dim(V)), et on en déduit facilement que le produit ci-dessus converge normalement pour <(s)>dim(V).

Exemple. Z(Aⁿ/F^q, T) = _1−q¹nT,Z(Pⁿ/F^q, T) = Qn ¹ i=0(1−qⁱT).

Avant de calculer la fonction zêta d'une courbe elliptique, voici un exercice utile.

Exercice. Soit R une Q-algèbre etA∈Md(R) une matriced×d. On a dans R[[T]]

Démonstration. Soit φq l'endomorphisme de Frobenius deE. On a déjà vu quea=q+ 1−

|E(Fq)|= deg(φ_q) + 1−deg(1−φ_q), donc d'après le ii) du théorème 3.5.3 on aa=tr(T_{`</sub>φ<sub>q</sub>). De même, puisque φ<sub>q</sub><sup>n</sup> =φ<sup>n</sup><sub>q</sub>, on a |E(Fq<sup>n</sup>)|= 1 +q<sup>n</sup>−tr(T<sub>`}φⁿ_q)pour tout n >1. Comme le polynôme caractéristique det(T −T`φq)estT²−aT+q, on déduit la formule donnée pour Z(E/Fq, T) à l'aide de l'exercice précédent. L'équation fonctionnelle se vérie facilement.

Par ailleurs, le iii) du théorème 3.5.3 nous dit que le discriminant de T² −aT + q est négatif, donc ses racinesα, βdansCsont conjuguées (par la conjugaison complexe). Comme αβ =q, on en déduit que |α|=|β|=q¹².

Remarque. La fonction ζ de E est donc une fonction méromorphe sur Cde la forme ζE/Fq(s) = 1−aq^−s+q^1−2s

(1−q^−s)(1−q^1−s),

qui satisfait la même équation fonctionnelle ζ_E/Fq(s) = ζ_E/Fq(1−s) que la fonction xi de Riemann (une variante de zêta). Le fait que les racines du polynôme au numérateur de Z(E/Fq, T) soient de modulesq¹² se traduit par le fait que les zéros deζ_E/Fq(s) sont sur la droite <(s) = ¹₂, ce qui constitue un analogue frappant de l'hypothèse de Riemann.

Conjectures de Weil. Lorsque V est une variété projective et lisse de dimension n, Weil avait conjecturé que la fonction zêta devait avoir la forme

Z(V /Fq, T) = P₁(T)· · ·P2n−1(T)

P0(T)· · ·P2n(T) , avecP_i(T)∈Z[T],

devait satisfaire l'équation fonctionnelle Z(V /F^q,1/qⁿT) = ±q^χn2T^χZ(V /F^q, T) pour un certain entier χ, et que les racines de P_i(T) dans C devaient être de module qⁱ² pour tout i. Une des raisons de croire à la forme rationnelle deZ(V /Fq, T)venait du fait queE(Fqⁿ) est l'ensemble des points xes du Frobenius φⁿ_q, et donc, par analogie avec les formules de comptage de points xes en topologie, on pouvait s'attendre à ce que le cardinal de E(Fqⁿ) soit donné par la trace de φⁿ_q sur l'espace vectoriel gradué fourni par une bonne théorie cohomologique. L'équation fonctionnelle était censée découler d'une dualité de type Poincaré. La théorie cohomologique putative a été développée par Grothendieck et son école, et appelée cohomologie étale `-adique. Ils ont montré la rationnalité et l'équation fonctionnelle. La partie hypothèse de Riemann des conjectures de Weil (l'estimation des modules des racines) a été prouvée par Deligne en munissant la cohomologie`-adique d'une théorie des poids, ce qui lui a valu la médaille Fields.