O objetivo da segunda etapa da análise é examinar o impacto de um conjunto de variáveis explicativas hipotéticas sobre os escores de eficiência úteis obtidos na etapa anterior. Foram empregados os modelos de regressão Quantílica e o OLS – Ordinary Least Squares (Minimos Quadrados Ordinários), pressupondo que as variáveis explicativas apenas afetam o processo de produção através da probabilidade de ser mais ou menos eficiente, mas não a fronteira eficiente.
Num primeiro momento, utilizou de métodos de regressão OLS, tal como realizado nos estudos de Ralston, Wright e Garden (2001), Fortin e Leclerc (2011) e Fu (2013). Os escores de eficiência úteis obtidos na primeira etapa da análise são regredidos em um conjunto de variáveis explicativas usando para o modelo de regressão OLS (Eq. 25):
𝛿̃𝑖 = 𝛼 + 𝛽𝑍𝑖+ 𝜀𝑖, 𝑖 = 1, . . . , 𝑛 (25) Onde α é um termo constante; β é um vetor de parâmetros a serem estimados; 𝑍𝐼 é um vetor de variáveis explicativas específicas que se espera que afetem a eficiência da i DMU; e 𝜀𝑖 é um termo de erro assumido como N (0, 𝜎𝜀2) distribuído com trunção direita em (1 – α – 𝛽𝑍𝑖). A partir das variáveis explicativas, estima-se a seguinte especificação do modelo de regressão OLS para estudar os determinantes da eficiência social (Eq. 26):
𝛿̃𝑖𝑆 = 𝛼 + 𝛽1𝑣1𝑖,𝑡+ 𝛽2𝑣2𝑖,𝑡+ 𝛽3𝑣3𝑖,𝑡 + 𝛽4𝑣4𝑖,𝑡+ 𝛽5𝑣5𝑖,𝑡 + 𝛽6𝑣6𝑖,𝑡+ 𝛽7𝑣7𝑖,𝑡+ 𝛽8𝑣8𝑖,𝑡 +
𝛽9𝑣9𝑖,𝑡+ 𝜀𝑖, (26)
Onde a variável dependente 𝛿̃𝑖𝑆refere-se ao escore de eficiência social útil da primeira etapa da i DMU; α é um termo constante; 𝛽1; 𝛽2; ... 𝛽9 são os parâmetros a serem estimados; 𝑣1𝑖,𝑡 é a concentração urbana da i DMU no período t; 𝑣2𝑖,𝑡 é o tamanho com relação ao ativo da i DMU no período t; 𝑣3𝑖,𝑡 é o tamanho com relação ao número de membros da i DMU no período t; 𝑣4𝑖,𝑡 é a adequação do capital da i DMU no período t; 𝑣5𝑖,𝑡 é o número de postos de serviço da i DMU no período t; 𝑣6𝑖,𝑡 é a localização regional da i DMU no período t; 𝑣6𝑖,𝑡 é a poupança por membro da i DMU no período t; 𝑣7𝑖,𝑡 é a localização regional da i DMU no período t; 𝑣8𝑖,𝑡 é a incorporação da i DMU no período t; 𝑣9𝑖,𝑡 é a idade da i DMU no período t; e 𝜀𝑖 é um termo de erro.
Já com relação à eficiência econômica, a partir das variáveis explicativas, estima-se a seguinte especificação do modelo de regressão OLS para estudar os determinantes (Eq. 27):
𝛿̃𝑖𝐸 = 𝛼 + 𝛽1𝑣1𝑖,𝑡+ 𝛽2𝑣2𝑖,𝑡 + 𝛽3𝑣3𝑖,𝑡+ 𝛽4𝑣4𝑖,𝑡+ 𝛽5𝑣5𝑖,𝑡 + 𝛽6𝑣6𝑖,𝑡+ 𝛽7𝑣7𝑖,𝑡+ 𝛽8𝑣8𝑖,𝑡 +
Onde a variável dependente 𝛿̃𝑖𝐸refere-se ao escore de eficiência econômica útil da primeira etapa da i DMU; α é um termo constante; 𝛽1; 𝛽2; ... 𝛽9 são os parâmetros a serem estimados; 𝑣1𝑖,𝑡 é a concentração urbana da i DMU no período t; 𝑣2𝑖,𝑡 é o tamanho com relação ao ativo da i DMU no período t; 𝑣3𝑖,𝑡 é o tamanho com relação ao número de membros da i DMU no período t; 𝑣4𝑖,𝑡 é a adequação do capital da i DMU no período t; 𝑣5𝑖,𝑡 é o número de postos de serviço da i DMU no período t; 𝑣6𝑖,𝑡 é a localização regional da i DMU no período t; 𝑣6𝑖,𝑡 é a poupança por membro da i DMU no período t; 𝑣7𝑖,𝑡 é a localização regional da i DMU no período t; 𝑣8𝑖,𝑡 é a incorporação da i DMU no período t; 𝑣9𝑖,𝑡 é a idade da i DMU no período t; e 𝜀𝑖 é um termo de erro.
Por fim, com base nas variáveis explicativas, estima-se a seguinte especificação do modelo de regressão OLS para estudar os determinantes da eficiência socioeconômica (Eq. 28): 𝛿̃𝑖𝑆𝐸 = 𝛼 + 𝛽1𝑣1𝑖,𝑡+ 𝛽2𝑣2𝑖,𝑡+ 𝛽3𝑣3𝑖,𝑡+ 𝛽4𝑣4𝑖,𝑡+ 𝛽5𝑣5𝑖,𝑡+ 𝛽6𝑣6𝑖,𝑡+ 𝛽7𝑣7𝑖,𝑡+
𝛽8𝑣8𝑖,𝑡+ 𝛽9𝑣9𝑖,𝑡 + 𝜀𝑖, (28)
Onde a variável dependente 𝛿̃𝑖𝑆𝐸refere-se ao escore de eficiência socioeconômica útil da primeira etapa da i DMU; α é um termo constante; 𝛽1; 𝛽2; ... 𝛽9 são os parâmetros a serem estimados; 𝑣1𝑖,𝑡 é a concentração urbana da i DMU no período t; 𝑣2𝑖,𝑡 é o tamanho com relação ao ativo da i DMU no período t; 𝑣3𝑖,𝑡 é o tamanho com relação ao número de membros da i DMU no período t; 𝑣4𝑖,𝑡 é a adequação do capital da i DMU no período t; 𝑣5𝑖,𝑡 é o número de postos de serviço da i DMU no período t; 𝑣6𝑖,𝑡 é a localização regional da i DMU no período t; 𝑣6𝑖,𝑡 é a poupança por membro da i DMU no período t; 𝑣7𝑖,𝑡 é a localização regional da i DMU no período t; 𝑣8𝑖,𝑡 é a incorporação da i DMU no período t; 𝑣9𝑖,𝑡 é a idade da i DMU no período t; e 𝜀𝑖 é um termo de erro.
Porém, ao rodar os modelos ocorreram problemas nos testes de robustez, indicando heterocedasticidade e rejeitando a normalidade, assim invalidando a análise dos fatores ambientais sobre a eficiência por meio deste modelo. Nesse sentido, Campos (2011) sugere o modelo de regressão quantílica para alcançar resultados robustos em dados com essas características e assim superar as limitações impostas nos modelos de regressão clássicos, dentre eles a pressuposição de homocedasticidade, a sensibilidade a outliers e possíveis falhas quando a variável resposta ser assimétrica. O autor revela, ainda, que essa técnica permite apresentar as características de toda a distribuição condicional de uma variável dependente por meio de um conjunto de variáveis independentes.
Também, a regressão quantílica pode ser particularmente útil no contexto de análises de eficiência, conforme verificado nos estudos de Campos (2011) e Costa et al. (2015). Ibrahim et al. (2016) descreve o modelo da regressão quantílica, em que, dada uma variável real aleatória a ser avaliada Y que é caracterizada pela função de distribuição F (y) = Pr (Y ≤ y), onde o quantil θ de Y é definido como 𝑄𝑌(θ)= inf {y : F(y) ≥ θ. A regressão quantílica transforma essencialmente a função de distribuição condicional 𝐹𝑌/𝑋(y) na função de quantil condicional 𝑄𝑌/𝑋(θ) = inf {y: 𝐹𝑌/𝑋(y) ≥θ, segmentando-a. Com o uso de quantis previamente definidos, esses segmentos descrevem a distribuição cumulativa da variável dependente condicional Y dadas as várias realizações da variável explicativa X.
O modelo de regressão quantílica pode ser escrito na configuração mais simples com um regressor exógeno como
𝑌𝑖 = 𝜂𝜃𝑋𝑖 + 𝜀𝜃𝑖 (29)
Para estimar 𝜂𝜃, Koenker e Bassett (1978) resolvem o seguinte problema de otimização:
𝑚𝑖𝑛𝜂𝜃∑ 𝜌𝑖 𝜃(𝜀𝜃𝑖)𝜀𝜃𝑖 (30)
Onde
𝜌𝜃𝜀𝜃𝑖 = {𝜃𝜀𝜃𝑖 𝑠𝑒 𝜀𝜃𝑖 ≥ 0
(𝜃 − 1)𝜀𝜃𝑖 𝑠𝑒 𝜀𝜃𝑖 < 0 (31)
é conhecido como a função de verificação. A solução fornece uma estimativa do parâmetro de interesse, isto é,
𝜂̂𝜃 = arg min ∑ 𝜌𝑖 𝜃(𝜀𝜃𝑖)𝜀𝜃𝑖 (32)
e, portanto, permite estimar a função quantil condicional do Modelo 1, dada por
𝑄𝜃(𝑌𝑖|𝑋𝑖) = 𝜂̂𝜃𝑋𝑖 (33)
Utilizou-se, também, o método de bootstrap, proposto por Song, Ritov, Härdle (2012) possibilitando maior confiabilidade nas inferências realizadas a partir dos resultados das análises estatísticas, tendo por base o estudo de Costa et al. (2015).
Para se avaliar a significância estatística das diferenças entre os grupos utilizou-se o teste de Wald, procedimento descrito por Hao e Naiman (2007), de modo a verificar a existência de diferenças significativas entre os diferentes quantis na relação entre a variável dependente e as variáveis explicativas. Esse teste então mostra a pertinência na utilização desse modelo, conforme realizado no estudo de Costa et al. (2015).