Module de exion

4.1.2.1 Module de exion théorique

Figure 4.2  Courbes du module de exion κ en fonction du paramètre , obtenues grâce à l'équation (4.4) pour trois valeurs de K.

Au vu de la discussion du chapitre 2, on s'attend à ce que les liaisons covalentes dénies par l'in- troduction de patchs présentent une résistance en exion. Les polymères linéaires de notre modèle seront donc, en fonction des paramètres choisis, plus ou moins semiexibles. Pour caractériser leur rigidité d'un point de vue mécanique, on s'intéresse d'abord à la réponse d'une chaîne en exion en l'absence de uctuations thermiques. La conformation d'une chaîne à l'équilibre mécanique, ce qui correspond au minimum de l'énergie totale, est réalisée quand tous les monomères sont alignés. Les équations développées nous indiquent que la distance d'équilibre entre monomères 2req est

solution de l'équation C0

c(2req) + Cp0(2(req− R)) = 0, R étant la distance entre un patch et le centre

de la particule à laquelle il est attaché. Pour notre modèle de chaîne de polymères, nous avons C_c0(rij) = −12a

12

r13 ij et C

0

p(rpq) = Krpq qui nous mène à

R = req−

6a12 213_Kr13

eq

(4.3) Pour garantir que la taille des monomères soit égale à a, on xe req = 0.5a. Cela impose R =

0.5a − _Ka6 , où l'on voit que R dépend linéairement du rapport _K. Ces paramètres étant calculés, on peut obtenir la valeur du module de exion κ grâce à l'équation (2.19)

κ = 3a − 36 

2

On remarque que le module de exion théorique κ dépend des deux variables  et K. Nous avons représenté sur la gure 4.2 la courbe κ(, K) en fonction de  pour trois valeurs de K (K = 200kBT

a2 ,

K = 2000kBT

a2 et K =

20000kBT

a2 ).

Comme κ(, K) est non monotone, nous n'avons accès, pour chaque valeur de K, qu'à un intervalle limité [0, κmax] de valeurs. Pour pouvoir accéder à une large gamme de modules de

exion, il faut utiliser de grandes valeurs de K, ce qui garantit également que les patchs des interactions covalentes restent proches, condition indispensable à la cohérence de la simulation. Mais utiliser de grandes valeurs de K pose des problèmes de stabilité algorithmique. Il sera donc nécessaire de trouver un compromis entre ces deux contraintes. Pour toutes ces raisons, nous avons choisi de prendre K = 2000kBT

a2 . Cela nous permet d'aller jusqu'à la valeur max = 83kBT, soit un

module de exion théorique maximum égal à κmax = 124kBT a.

4.1.2.2 Module de exion numérique

Figure 4.3  Courbe de exion obtenue pour N = 29 et une déection ∆y = 0.01a. Les croix rouges représentent les points numériques et la courbe noire représente le t obtenu grâce à l'équation (4.5)

Pour valider notre modèle numérique, nous allons chercher à accéder numériquement au module de exion des chaînes en eectuant un test à trois points en l'absence de uctuations thermiques. Nous commençons par placer les monomères à leurs positions d'équilibres (req = 0.5aet θeq = 0).

Nous obtenons une chaîne linéaire de longueur Na, N étant le nombre de monomères. Pour eectuer le test à trois points, on place le polymère de sorte qu'il soit aligné avec l'axe ~x. On déplace ensuite le monomère situé au milieu de la chaîne d'une distance ∆y suivant l'axe ~y, tout en maintenant les monomères de bout de chaîne attachés à l'axe ~x (y = z = 0). A noter que les monomères de bout de chaîne doivent pouvoir se déplacer librement le long de l'axe ~x pour éviter de coupler la exion avec un étirement de la chaîne qui introduirait une très forte contribution à la variation d'énergie,

étant données la valeur (large) du paramètre K. On rappelle que la théorie des poutres prédit qu'un cylindre rigide soumis à un test à trois points doit prendre la forme dénie par l'équation suivante : y = F 12κ|x 3_{| −} F L 8κx 2 _(4.5)

avec F la force exercée au centre du cylindre et x et y les positions de la ligne neutre. On com- pare cette expression avec les données numériques sur la gure 4.3 et on trouve une excellente concordance nous permettant d'obtenir une valeur numérique de κ

L'équation (4.5) n'est valable que dans une limite de réponse linéaire (exion inniment faible) et pour des chaînes de tailles susamment grandes pour que l'approximation continue puisse s'appliquer. Pour tester les eets non linéaires, nous commençons par utiliser diérentes valeurs de déection ∆y à une longueur de chaîne xée (N = 29). La gure 4.4 montre les mesures numériques de κ en fonction de ∆y pour deux valeurs de ,  = 1 et  = 15 (Dans la section suivante, nous préciserons comment nos unités sont choisies. Notre unité d'énergie sera kBT = ₄₀1 eV,

l'énergie thermique à température ambiante. C'est dans cette unité que les valeurs de  sont donc à interpréter. Le test de exion que l'on décrit ici, est cependant bien eectué en l'absence de uctuations thermiques.) Il est à noter que, sur cette gure, l'échelle des valeurs de κ est très étirée et que les uctuations de la mesure restent très faibles dans toute la gamme de ∆y explorée. Pour une déection de ∆y = a à  = 1, l'erreur relative n'est que de 0.7%. Nous prendrons, dans nos tests, une déection ∆y = 0.01a.

(a)  = 1 (b)  = 15

Figure 4.4  Module de exion κ trouvé grâce à l'équation (4.5) en fonction du déplacement ∆y pour une chaîne de N = 29 monomères

Pour qualier l'eet de la taille des chaînes, on mesure les valeurs de κ pour diérents N et deux valeurs de  ( = 1kBT et  = 15kBT). Les résultats sont présentés sur la gure 4.5. Ici

théorique pour les petites valeurs de N ce qui est manifestement un eet de discrétisation. Cela dit, la convergence vers une valeur limite avec N croissant est très rapide et l'on trouve déjà pour N = 19 une erreur relative de 0.8% dans le cas où  = kBT0 et de 0.1% dans le cas où  = 15kBT0.

(a)  = kBT0 (b)  = 15kBT0

Figure 4.5  Module de exion κ en fonction du nombre de monomères N qui composent le polymère pour une deection ∆y = 0.01a

Le test à trois points nous permet clairement d'accèder à la réponse linéaire pour N = 19 et ∆y = 0.01a. Nous avons donc mesuré κ pour diérents  avec ces paramètres. Les données sont reportées gure 4.6 et comparées avec la prédiction théorique du module de exion. Nous obtenons un excellent accord entre la théorie et le test à trois points.

Figure 4.6  Module de exion κ en fonction de . La courbe en trait plein correspond à la théorie et les croix correspondent aux tests de exion à 3 points