3.3 Modulation à Étalement de spectre
3.3.1 Modulations multiporteuses
Le concept de modulation multiporteuses a pour origine celui de multiplexage fré-quentiel, connu sous l’acronyme anglais FDM pour Frequency Division Multiplex.
Notons que les contraintes de la transmission par CPL sont d’émettre le signal à un niveau plus faible que possible tout en gardant un fort débit pour les usagers. A cet effet nous allons étudier l’OFDM pour voir si cette modulation multiporteuse répond aux contraintes de la transmission par CPL.
Conception d’un réseau de communication par CPL : cas du campus de l’UAC 3.3.1.1 Principe de base de l’OFDM
Un principe élémentaire pour accroître un débit d’un facteur n est d’émettre simul-tanément des données sur n sous-porteuses, chacune modulée à bas débit.
Afin d’alléger les écritures mathématiques, nous considérons la transmission pen-dant une seule durée-symboleTScar le mécanisme de transmission se répète de façon semblable pour chaque symbole.
La transmission, sur une porteusefk, d’un symboleAk s’écrit :
Sk(t) = R(Ak.ej2πfkt) (3.3.1)
Cette expression définie le signal transmit sur une porteuse avec :t ∈[0, TS]etRla partie réelle d’un nombre complexe. Les valeurs de Ak sont des nombres complexes choisis dans un ensemble fini de valeurs complexes possibles (par exemple en QPSK, Ak peut prendre les valeurs (1+j)√2 , (−1+j)√2 , (1−j)√2 avec j le nombre imaginaire tel que j2 =−1comme indiqué à la figure 3.3.3).
FIGURE3.3.3 – Constellation d’une modulation parallèle QPSK [47]
On cherche à transmettre simultanément sur plusieurs porteuses appelées sous-porteuses ou sub-carriers (en anglais). Cela revient à considérer différents indices k et à sommer l’ensemble des signaux pour obtenir le signal transmis s (t) :
S(t) =
Nc−1
X
k=0
Sk(t) (3.3.2)
Réalisé par william KODJIA 45
avec Nc nombre de sous-porteuses utilisées (on numérote les sous-porteuses de 0àNc−1).
En combinant les équations (3.3.1) et (3.3.2), on peut écrire :
S(t) =R
Pour chaque valeur de k,Akreprésente le symbole transmis sur la porteuse fk. De cette façon, on transmet simultanément un ensemble de symboles
A0, A1, A2, ..., ANc−1.
Appelons Ts la durée symbole, c’est-à-dire le temps qui sépare deux symboles successifs, alors ∆f = T1
S représente l’écart inter-porteuse. On peut donc écrire :
fk=f0 +k.∆f (3.3.4)
En remplaçant cette expression defkdans l’équation 3.3.3 on a :
S(t) =R ej2πf0t
Le premier facteurej2πf0tcorrespond à une transposition de fréquence d’émission.
Le dernier facteur de l’équation 3.3.5 correspond à l’enveloppe complexe du signal modulé S(t) relativement à la porteuse f0. Ce facteur est l’expression analogique du signal multiporteuse (signal modulé S(t)). Ce dernier est un signal en bande de base.
Un signal en bande de base est un signal qui n’a pas subit une modification de la fréquence d’émission (par une modulation de fréquence par exemple).
Si on considère un échantillonnage du signal en bande de base, il faut au moins Nc valeurs de S(t) pour identifier les Nc symboles Ak. On peut prendre un nombre d’échantillonnage N de sorte que, N > Nc. On a donc un échantillon an tous les TNS.
Conception d’un réseau de communication par CPL : cas du campus de l’UAC Avec n l’indice de l’échantillon variant de0àN −1,comme l’indique la figure 3.3.4 :
FIGURE 3.3.4 – Exemple de transmission de trois symboles OFDM avec visualisation des symboles fréquentiels et temporels [47]
Dans cette figure, il y a trois symboles fréquentiels dont la somme donne le signal modulé S(t), Conformément au principe de la transmission OFDM.
Les symbolesAksont appelés symboles fréquenciels. On utilise la Transformée de Fourier Discrète inverse pour quitter le domaine fréquentiel pour passer au domaine temporel. Les symboles an sont appelés symboles temporels. L’ensemble des sym-boles fréquentiels transmis pendant la duréeTS est appelé un symbole OFDM.
La différence entre symbolesAket symbole OFDM est la suivante : les symbolesAk sont des nombres complexes définis à partir de constellation d’état binaire tandis que le symbole OFDM est un regroupement deNcsymboles regroupés surNcporteuses et transmis pendant la durée symboleTS. La figure 3.3.5 représente le spectre du signal OFDM.
FIGURE3.3.5 – Spectre d’un signal OFDM [47]
On obtient l’expression numérique du signal multiporteuse, en considérant la valeur
Réalisé par william KODJIA 47
du dernier facteur de l’équation 3.3.5 pourt= nTNS :
an=
N−1
X
k=0
Ak.e(j2πk∆fnTsN ) (3.3.6)
En remplaçant∆f par son expression dans l’équation précédente on a :
an =
N−1
X
k=0
Ak.e(j2πk)Nn (3.3.7)
On peut écrire :
[a0, a1, a2, ..., aN−1] =T F D−1[A0, A1, A2, ..., AN−1] (3.3.8)
Cette TFDI est la base du principe d’une chaîne de transmission parallèle et illus-trée à la figure 3.3.6.
FIGURE3.3.6 – Principe d’une chaîne de transmission OFDM [47]
Cette transmission en parallèle peut se faire de manière très simple en calculant les valeurs de an à l’aide d’une TFD inverse. Puis, en procédant à une conversion numérique-analogique (qui contient implicitement un filtre), et enfin en procédant à une transposition en fréquence àf0.
Conception d’un réseau de communication par CPL : cas du campus de l’UAC
La transformation parallèle-série permet de disposer d’une succession de symboles temporels qui sont émis successivement après une conversion numérique-analogique, puis une transposition en fréquence.
À la réception, la première opération consiste à filtrer le signal pour éliminer les par-ties hors de la bande considérée, puis à le transposer en bande de base. On procède ensuite à un échantillonnage à la fréquence TN
S, ce qui donne un échantillon tous le TNS. Après avoir procédé à une conversion analogique numérique, on reçoit le même signal S(t) dans l’espace temporel puis on fait une TFD pour retrouver le même signal S(t) dans le domaine fréquentiel. Et enfin on procède à une transformation parallèle-série (P/S).
3.3.1.2 Porteuses Orthogonales et Caractéristique de OFDM
L’efficacité spectrale notéeηse définit comme le débit binaire transmis par unité de fréquence.
η= D
B avec D= 1
TB (3.3.9)
Dans une transmission de type OFDM, le choix de l’écartement entre les porteuses va influer sur cette efficacité spectrale.
Plus l’écart entre porteuses est grand, plus la bande passante nécessaire pour transmettre un même débit est grande, plus l’efficacité spectrale diminue.
Pour garantir une efficacité spectrale optimale, il faut que les fréquences des porteuses soient les plus proches possibles, tout en garantissant une absence d’inter-férence entre les informations qu’elles transportent afin que le récepteur soit capable de retrouver ces informations.
Cette condition d’orthogonalité est vérifiée si le spectre de chaque porteuse est nul aux fréquences des autres porteuses (en utilisant une impulsion de Dirac par exemple).
Ce spectre dépend de S(f) =T F [s(t)].
On parle de condition d’orthogonalité des porteuses pour désigner la nomination anglaise “Orthogonal Frequency”. En ce qui concerne la transformation parallèle / série
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ou celle série / parallèle, on parle de “Division Multiplexing”. D’où l’appellation anglaise
“Orthogonal Frequency Division Multiplexing”.
Le facteur∆f = T1
S est l’écart inter-porteuse minimal qui garantit à la fois l’orthogo-nalité entre les porteuses et une efficacité spectrale optimale.
Notons que, lorsque la mise en forme de la condition d’orthogonalité est une fonc-tion de Dirac, les filtres en récepfonc-tion sont des intégrateurs sur la durée de l’impulsion.
Cet écart inter-porteuse peut aussi être vu comme la rapidité de la modulation OFDM, car elle se définit comme suit :
R = 1
TS = 1
n.TB (3.3.10)
La rapidité de modulation est un paramètre qui caractérise une modulation.
Le débit de la transmission OFDM se définit comme suit :
Du = Nu
T +δ.log2M (3.3.11)
Du : Débit utile
Nu : Nombre de sous-porteuses utiles T : Durée d’un symbole
δ : Durée d’un intervalle de garde M : Nombres d’état de la modulation
3.3.1.3 Intervalle de Garde
L’intervalle de garde est le délai introduit entre la transmission de deux symboles OFDM consécutifs. Il est utilisé dans les systèmes de transmissions terrestres afin de réduire l’étalement des retards dus aux échos multiples (multitrajets). A des fins de synchronisation plus simples, on place dans cet intervalle de garde une copie de la fin du symbole OFDM à transmettre. On le nomme alors le préfixe cyclique.
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Au vue de tous les types de modulations présentées, nous préconisons la modulation multiporteuse OFDM. Puisque le milieu de propagation du signal CPL étant fortement perturbé, l’OFDM permet de supprimer très simplement l’influence des trajets multiples qui est un des problèmes majeurs des modulations monoporteuses lorsque le débit de transmission augmente. De plus en utilisant plusieurs porteuses, le signal est injecté sur plusieurs fréquences à la fois et si l’une d’elles est atténuée le signal passera quand même grâce à l’émission simultanée.
Pour organiser l’accès de plusieurs usagers à une seule ressource, un problème se pose : c’est le problème d’accès multiple. Pour résoudre ce problème, une utilisation efficace des ressources disponibles s’avère nécessaire : c’est le multiplexage.