2.5 Fonctions super-harmoniques
2.5.3 Modi…cation de Poisson
Proposition 2.5.9 On suppose que v est p-super-harmonique dans et que D : Alors la modi…cation de Poisson
V =P (v; D) = v dans D h dans D
est p-super-harmonique dans ; p-harmonique dansD, et V v. De plus, si v est locallement borné, alors
Z
G
jrVjpdx Z
G
jrvjpdx
pour D G :
2.5.4 Sommabilité des fonctions p-super-harmoniques illi-mitées
On a vu que l’ensemble F =fx2 v(x) =1g tel quev est une fonction p-super-harmonique, et ne contient aucun ensemble ouvert (la proposition 51).
F est vide, dans le cas où p > net a mesure de Lebsgue nulle dans tous les cas.
On va étudier la fonction p-super-harmonique
vk=vk(x) = minfv(x); kg;k = 1;2;3; :::
vk est locallement borné, alors Z
<jrvkjp 2rvk;r > dx>0
pour tout non-négative 2 C01( ) et aussi les estimations des super-solutions faibles sont valables.
Théorème 2.5.10 Si v est p-super-harmonique dans ; alors Z
D
jvjqdx <1
quand D et 0 q < n(p 1) (n p) dans le cas 1< p n:
Dans le cas oùp > n la fonction v est continue.
Chapitre 3
Solutions périodiques pour les équations de Rayleigh
p-Laplacien
3.1 Equation de Rayleigh
L’équation de Rayleigh est une équation di¤érentielle ordinaire non-linéaire de la forme :
x00+f(x0) +g(x) = e(t); x0 = dx dt
tel que les fonctions f; g; esont continues et la fonction e(t) est périodique.
L’équation de Rayleigh décrit un système typique non-linéaire avec un degré de liberté, tel qu’il admet l’auto-oscillation. Cette équation est nommée d’après Lord Rayleigh, qui a étudié les équations de ce type associé au problème dans la théorie de l’acoustique (voir [11]).
Il y a de nombreux d’études concernent l’éxistence et l’unicité des conditions pour une cycle limitée de l’équation de Rayleigh, sous ces conditions l’auto-oscillation s’est produit.
Le problème des solutions périodiques est aussi étudiée dans di¤érentes gé-néralisations de l’équation de Rayleigh.
Et dans ce chapitre on va étudier l’éxistence des solutions périodiques pour les équations de Rayleigh type P-Laplacien de la forme
'p(x0(t)) 0+f(t; x0(t (t))) +g(t; x(t (t))) =e(t) (3.1) 26
tels que p >1 et 'p :R!R avec 'p(s) =jsjp 2s pours6= 0 et'p(0) = 0; f; g sont des fonctions continues dé…nies dansR2 et périodiques pourt avecf(t; :) = f(t+ 2 ; :); g(t; :) = g(t+ 2 ; :); f(t;0) = 0 pour t 2 R, e; et sont des fonctions continues périodiques dé…nies dansR de période 2 et
Z2 0
e(t)dt= 0.
Par l’utilisation du théorème de degré topologique et un peut de l’analyse, on obtient les conditions su¢ santes pour l’éxistence des solutions périodiques de l’équation(3:1):
soient CT1 =CT1 [0; T] =fx2C1[0; T]; x(0) =x(T); x0(0) = x0(T); T >0g: 'p(x0(t)) 0 =f(t; x; x0); x(0) =x(T); x0(0) =x0(T) (3.2) avecF 2C(R3;R).
3.2 Existence des solutions périodiques pour les équations de Rayleigh p-Laplacien
Lemme 3.2.1 Soit un ouvert borné de CT1; on suppose que (i) Pour chaque 2]0;1[ le problème
'p(x0(t)) 0 = f(t; x; x0); x(0) =x(T); x0(0) =x0(T) (3.3) n’a pas de solution dans @ :
(ii) L’équation
z(a) = 1 T
ZT 0
f(t; a;0)dt = 0; (3.4)
n’a pas de solution dans @ \R.
(iii) Le degré topologique de Brouwer de z;
d(z; \R;0)6= 0: (3.5)
Alors (3:2) a au moins une solution périodique dans :
Dé…nition 3.2.2 Soit un domaine deRn:On dit qu’une fonction f : Rm !R dé…nit par (x; u)!f(x; u) de Carathéodory si
u!f(x; u)
3. Solutions périodiques pour les équations de Rayleigh p-Laplacien28
continue pour presque tout x 2 ; et x ! f(x; u) est mesurable pour tout u2Rm:
Soit f une fonction de Carathéodory, et soit une fonction u : ! Rm, on peut dé…nir une autre fonction par la composition z(u) (x) = f(x; u(x)):
z est l’opérateur de Nemytskii.
preuve du lemme (voir [18]). Soit
'p(x0) 0 = Nf(x) + (1 )QNf(x); x(0) =x(T); x0(0) =x0(T) (3.6) tel queNf :CT1 !Rn est l’opérateur de Nemytski def; etQ:CT !CT qui est dé…nit par h! T1
RT 0
h(s)ds:
Donc 'p(x0) 0 = f(t; x; x0)+(1 ) T1 RT 0
f(s; x(s); x0(s))ds ; x(0) =x(T); x0(0) = x0(T)
Pour 2]0;1], on observe que six est une solution de (3:3), ou une solution de (3:6): on a nécessairement
QNf(x) = 1 T
ZT 0
f(s; x(s); x0(s))ds = 0: (3.7) Donc(3:3)et (3:6) ont les mêmes solutions pour 2]0;1]:
f est une carathéodory donc N :CT1 [0;1]!L1 dé…nit par
N(x; ) = Nf(x) + (1 )QNf(x) (3.8) est continue et l’image des ensembles bornés par N sont des ensembles équi-intégrables.
On dé…nit :P :CT1 !CT1 u!u(0) et
H(h) (t) = 1 T
ZT 0
h(s)ds; h2CT:
Alors on peut obtenir que si y 2 CT1 est une solution de l’équation 'p(y0) 0 = F (y), alors y satisfait l’équation :
y=P y+QNf(x) +K(Nf(x)) (3.9)
tel que l’opérateurK :CT !CT1 est dé…nit par :
K(h) (t) =H 'p[a((I Q)h) +H((I Q)h)] (t); h2CT eta :CT !R:
donc
'p(x0(t)) 0 = Nf(t; x; x0) + (1 )QNf(t; x; x0) ,
x(t) = P x+QNf(t; x; x0) + (K [ Nf(t; x; x0) + (1 )QNf(t; x; x0)]) (x)
= P x+QNf(t; x; x0) + (K [ Nf(t; x; x0) +QNf(t; x; x0) QNf(t; x; x0)]) (x): d’après(3:7)
x(t) =P x+QNf (t; x; x0) + (K [ Nf(t; x; x0) QNf (t; x; x0)]) (x) x(t) =P x+QNf(t; x; x0) + (K [ (I Q)Nf(t; x; x0)]) (x) = Gf(x; ) (3.10) donc
(3:6),(3:10) (3.11)
L’hypothèse (i) assure que (3:10) n’a pas de solution pour (x; ) 2 @ ]0;1]: Pour = 0 on a
(3:6), 'p(x0) 0 = 0Nf(x) + (1 0)QNf(x); x(0) =x(T); x0(0) =x0(T) , 'p(x0) 0 =QNf(x); x(0) =x(T); x0(0) =x0(T)
(3:6), 'p(x0) 0 = 1 T
ZT 0
f(s; x(s); x0(s))ds; x(0) =x(T); x0(0) =x0(T) (3.12) Et sif est une solution de ce problème, d’après(3:7) il faut que
ZT 0
f(s; x(s); x0(s))ds = 0 (3.13)
donc 'p(x0) 0 = 0)'(x0) =c)x0 ='p1(c)
3. Solutions périodiques pour les équations de Rayleigh p-Laplacien30
tel que c est une contante réelle.
) ZT
0
x0(t)dt= ZT
0
'p1(c)dt ) x(t)jT0 = 'p1(c)t T
0
) x(T) x(0) ='p1(c)T ) 0 ='p1(c)T
) 'p1(c) = 0:
Zt 0
x0(t)dt = Zt
0
'p1(c)dt Zt
0
x0(t)dt = Zt
0
0dt
)x(t) = x(0) =d tel que d est une constante.
Doncx0(t) ='p1(c) = 0 et x(t) =d:
D’où
(3:13), ZT
0
f(s; d;0)ds= 0
d’après l’hypothèse (ii), on a x = d =2 @ : donc on a pour tout 2 [0;1]; on a prouvé que ?? n’a pas de solution 8(x; ) 2 @ [0;1] donc on a pour tout 2[0;1]le degré topologique de Leray-SchauderdLS(I Gf(:; ); ;0)est bien dé…nit, et par l’invariance d’homotopie dudLS on a
dLS(I Gf(:;1); ;0) =dLS(I Gf(:;0); ;0) (3.14) On a d’après(3:11)
x=Gf (x; ), 'p(x0) 0 = f(t; x; x0) + (1 )Qf(t; x; x0) donc
x=Gf(x;1), 'p(x0) 0 =f(t; x; x0)
x=Gf(x;1) (3.15)
c’est à dire (3:2) , (3:15) et (3:14) implique que (3:15) a une solution si dLS(I Gf (:;1); ;0)6= 0. On va le démontrer.
On a
Gf(x;0) =P x+QNfx+K(0) (3.16) K(0) = H 'p[a((I Q) 0) +H((I Q) 0)] (t)
K(0) = H 'p[0 +H(0)] (t) K(0) = H(0) (t) =
Zt 0
0dt = 0:
D’où
Gf(x;0) =P x+QNfx donc
x Gf(x;0) =x P x 1 T
ZT 0
f(s; x(s); x0(s))ds dLS(I Gf(:;0); ;0) = ( 1)ndB(z; \Rn;0)
tel quedBest le degré de Brouwer, d’après l’hypothèse (iii) ledB(z; \Rn;0)6= 0donc (3:15) qui est équivalente à (3:2)a une solution.
Théorème 3.2.3 On suppose qu’il existe des constantes positives K; D; M tels que :
(H1) jf(t; x)j K pour (t; x)2R R:
(H2) xg (t; x)>0 et jg(t; x)j> K pour jxj> D et t2R: (H3) g(t; x)> M; pour x D et t2R.
Alors l’équation(3:1) a au moins une solution périodique de période 2 : Preuve. On considère l’équation
'p(x0(t)) 0+ f(t; x0(t (t)))+ g(t; x(t (t))) = e(t) 2]0;1[ (3.17) Soit x(t)2C21 une solution arbitraire de l’équation (3:17):On intègre les deux cotés de l’équation (3:17), et on note quex0(0) =x0(2 ) on a
(3:17) , f(t; x0(t (t))) + g(t; x(t (t))) + 'p(x0(t)) 0 = e(t);
(3:17) , Z2 0
ff(t; x0(t (t))) +g(t; x(t (t)))gdt+ Z2
0
'p(x0(t)) 0dt= Z2
0
e(t)dt:
3. Solutions périodiques pour les équations de Rayleigh p-Laplacien32
On sait que
Z2 0
e(t)dt= 0;
et Z2
0
'p(x0(t)) 0dt= 'p(x0(t)) 2
0 ='p(x0(2 )) 'p(x0(0)) ='p(x0(2 )) 'p(x0(2 )) = 0 carx0(2 ) =x0(0):
Donc Z2
0
ff(t; x0(t (t))) +g(t; x(t (t)))gdt = 0
d’où Z2
0
ff(t; x0(t (t))) +g(t; x(t (t)))gdt = 0 (3.18) x(0) = x(2 ) ) 9t0 2 [0;2 ] tel que x0(t0) = 0 (théorème des accroissements
…nis)
Zt t0
'p(x0(s)) 0ds = 'p(x0(s)) tt
0
Zt t0
'p(x0(s)) 0ds = 'p(x0(t)) 'p(x0(t0)) Zt
t0
'p(x0(s)) 0ds = 'p(x0(t)) 'p(0) ='p(0) = 0 Zt
t0
'p(x0(s)) 0ds = 'p(x0(t)):
'p(x0(t)) = Zt t0
'p(x0(s)) 0ds
'p(x0(t)) Z2
0
'p(x0(s)) 0ds
cart>0 ett0 2[0:2 ] donc t0 2 On va démontrer qu’il existe une constante D1 >0 tel que
Z2
3. Solutions périodiques pour les équations de Rayleigh p-Laplacien34
tel que D1 = max (
M; sup
t2[0;2 ];jxj Djg(t; x)j )
,d’où l’inégalité (3:20) est réalisée.
En remplaçant l’inégalité (3:20) dans (3:19) on aura : 'p(x0(t)) 4 D1 + 4 K+ 2 max
t2[0;2 ]je(t)j=M1 Par la monotonocité de 'p, on aura :
'p(x0(t)) M1 ) 9M2 >0 tel que 8t2R jx0(t)j M2 (3:21)) 9t1 2]0;2 [ tel que
f(t1; x0(t1 (t1))) +g(t1; x(t1 (t1))) = 0
) f(t1; x0(t1 (t1))) =g(t1; x(t1 (t1))) ) j f(t1; x0(t1 (t1)))j=jg(t1; x(t1 (t1)))j D’après(H1); jg(t1; x(t1 (t1)))j=j f(t1; x0(t1 (t1)))j K
D’après (H2), jg(t; x)j > K pour jxj > D et t 2 R, alors, dans ce cas on a jg(t; x)j K pourjxj D ett 2Rdonc jx(t1 (t1))j D:
x(t) périodique de période2 , alors t1 (t1) = 2n +t2; t2 2]0;2 [; n est un entier teljx(t2)j D .
Donc pour tout t2R; Zt t2
x0(s)ds = x(t) x(t2)
jx(t)j = x(t2) + Zt t2
x0(s)ds
jx(t)j jx(t2)j+ Zt t2
M2ds
jx(t)j D+ 2 M2 =M3 (3.24)
Soit =fx2C21 (R;R) tels que jxj M3 + 1;jx0j M2+ 1g:
Quand x(t) 2 @ \R, x(t) = M3 + 1 ou x(t) = M3 1; de (3:10) on a
3. Solutions périodiques pour les équations de Rayleigh p-Laplacien36
y: [0;1]!Rn y(t) = 0 sont des fonctions continues
En utilisant l’invariance par homotopie du degré topologique on aura d(H(0; :); \R; y(0)) =d(H(1; :); \R; y(1))
d 0
@ 1 2
Z2 0
g(t; x)dt; \R;0 1
A=d(x; \R;0) d(z; \R;0) = d(x; \R;0)6= 0 donc la condition (iii) est satisfaite.
D’après le lemme précédent, il existe au moins une solution périodique de période 2 :
Théorème 3.2.4 On suppose qu’il existe des constantes positives K; D; M tels que :
(H1) jf(t; x)j K pour (t; x)2R R:
(H2) xg (t; x)>0 et jg(t; x)j> K pour jxj> D et t2R: (H3) g(t; x) M; pour x>D et t2R.
Alors l’équation(3:1) a au moins une solution périodique de période 2 : Comme application, on considère l’équation suivante :
'p(x0(t)) 0 + costsinx0(t sint) + arctan x(t sint)
1 + cos2t = cos (t) (3.25) avec f(t; x) = costsinx; g(t; x) = arctan1+cosx 2t; (t) = (t) = sint et e(t) = cost: Et on choisit K = 1; D > 2 etM = 2:
On peut véri…er les conditions du théorème 3.2.3. (H1) est réalisée parce que jf(t; x)j = jcos (1)j jsin (x)j 1;8(t; x) 2 R R. C’est clair que (H2) et (H3) sont réalisées (d’après le graphe de la fonctiong(t; x) = arctan1+cosx 2t);du théo-rème 3.2.3 l’équation(3:25) a au moins une solution périodique de période2 :
Chapitre 4
Solutions périodiques pour
l’équation P-Laplacien neutrale de Rayleigh avec retard
Soient 1 < p < 1 une constante réelle, q est le conjugué de p, c’est à dire
1
p +1q = 1, et'p :R!R une application dé…nit par 'p(u) =jujp 2u: Alors 'p est un homéomorphisme de R avec l’inverse 'q(u) = jujq 2u: Dans ce chapitre on va étudier l’éxistence des solutions périodiques pour l’équation de Rayleigh avec retard suivante :
'p(x(t) cx(t ))0 0+f(x0(t)) +g(x(t (t))) =e(t) (4.1) tels quef; g; e sont des fonctions continues de R vers R; et e sont de période T,T une constante positive ;c; sont des constantes réelles tel que jcj 6= 1:
4.1 Préliminaire
SoitCT =fx:x2 C(R;R); x(t+T) = x(t)gavec la normekxk1 = max
t2[0;w]jx(t)j; CT1 =fx:x2 C1(R;R); x(t+T) =x(t)gavec la normekxk= maxfkxk1;kx0k1g: C’est clair queCT etCT1 sont des espaces de Banach. Dans la suite, on notek:kp
la norme de Lp dans CT; c’est à dire kxkp = 0
@ ZT
0
jx(t)jpdt 1 A
1 p
; et on dé…nit l’opérateur linéaire A comme suit :A:CT !CT;(Ax) (t) =x(t) cx(t ):
38
Lemme 4.1.1 Si jcj 6= 1, alors A a un inverse borné continue dans CT; et
ai = 1; les inégalités suivantes sont satis-faites pour chaque p >1 :
4. Solutions périodiques pour l’équation P-Laplacien neutrale de
La même démonstration pour jcj>1:
Lemme 4.1.4 On suppose que a >0; b >0 et 0< p 1: Alors
(iii) Le degré topologique de Brouwer de z
d(z; \R;0)6= 0 (4.7)
Alors (4:5) a au moins une solution périodique dans :
4.2 L’éxistence des solutions périodiques
Alors (4:1) a au moins une solution périodique de période T si : 2 (1 +jcj)r1 rp11 +T 1 +r2 rp11 +T Pour tout 2]0;1[; on considère l’équation suivante :
'p(x(t) cx(t ))0 0+ f(x0(t)) + g(x(t (t))) = e(t) (4.8) Soit x(t) une solution périodique de(4:8)de période T;donc
ZT
4. Solutions périodiques pour l’équation P-Laplacien neutrale de
Rayleigh avec retard 42
f est une fonction continue d’après le théorème de V.I.M, 9 2 [0; T] tel que
g(x( ( ))) = 1
de(A3);9 > d; tel que :
4. Solutions périodiques pour l’équation P-Laplacien neutrale de
(Ax) (t) 'p(Ax)0(t) 0 = (Ax) (t) [f(x0(t)) +g(x(t (t))) e(t)]
4. Solutions périodiques pour l’équation P-Laplacien neutrale de
kAx0kpp (1 +jcj)kxk1
On peut a¢ rmer qu’il existe une constante R1 >0; tel que
kx0kp R1 (4.26)
4. Solutions périodiques pour l’équation P-Laplacien neutrale de
par l’analyse élémentaire , il existe une constante h > 0 indépendante de ; tel que
kAx0kpp 2 (1 +jcj)h
4. Solutions périodiques pour l’équation P-Laplacien neutrale de
Rayleigh avec retard 50
de(4:30);(4:34) on peut voir que(4:26) est vraie.
(2) Le cas de 1< p <2sous cet état on a 0< p 1<1 et p11 >1:
Il existe une constante h1 >0, tel que (1 +u)p11 1 + 1 + 1
d’après(4:27) on a
4. Solutions périodiques pour l’équation P-Laplacien neutrale de
de(4:15), il existe une constante R3 >0tel que
kx0kp R3 (4.40)
de(4:26) on a ZT
0
'p((Ax0) (t))0 dt T K+T1pRp1 1+T gR4 + ZT
0
je(t)jdt =R5 (4.42)
avecgR4 = max
jsj R4jg(s)j:
C’est clair qu’il existe un entiert1 2]0; T[ tel que 'p((Ax0) (t1)) = 0: Alors, pour toutt 2[0; T], on a
'p((Ax0) (t)) = Zt t1
'p((Ax0) (t))0 ds ZT
0
'p((Ax0) (s))0 ds R5
(Ax0) (t) ='q 'p(Ax0) (t) 'q(R5) donc
maxt2R j(Ax0) (t)j max
t2R'q(R5) ='q(R5) ) kAx0k1 'q(R5) =jR5jq 2R5 =Rq5 1:
kAx0k1 R5q 1 (4.43)
On a
kx0k1 = A 1Ax0
1
de(1) du lemme 4.1.1 on trouve
kx0k1 kAx0k j1 jcjj de(4:43) on a
kx0k1 Rq5 1
j1 jcjj =R6 (4.44)
Soit y(t) = (Ax) (t), alors(4:8)est équivalente à
'p(y0(t)) 0 + f A 1y 0(t) + g A 1y (t (t)) = e(t) (4.45)
4. Solutions périodiques pour l’équation P-Laplacien neutrale de
Rayleigh avec retard 54
Donc, si y est une solution périodiquqe de période T de (4:45), alors x =A 1y est une solution périodique de période T de(4:8):
Soit
F (y) (t) =e(t) f A 1y 0(t) g A 1y (t (t)) (4.46) alors(4:45) est(4:5).f etg sont des fonctions etAa un inverse continu, on peut voir que F :CT1 ! CT dans (4:46) est continue et l’image d’un ensemble borné parF est un ensemble borné.
Soient R7 = 2 (1 +jcj) maxfR4; R6; dg; =fy2CT1 :kyk< R7g:
jxj=jA 1yj 2 maxfR4; R6; dg> dde(A2)on ag(A 1y)> K+r1r3(A 1y)p 1 >
0
donc g(A 1y)6= 0 dans @ \R.
Soit H(y; ) = ( A 1y) + (1 )F (y); y 2@ \R; 2[0;1];alors on a A 1y H(y; ) = A 1y 2 (1 ) A 1y g A 1y
on a (A 1y)2 >0) (A 1y)2 <0 et(1 )>0) (1 )<0 et de (A2)on a si
A 1y < d)g A 1y < K <0) A 1y g A 1y >0 sinon
A 1y > d)g A 1y > K+r1r3 A 1y p 1 >0) A 1y g A 1y >0 donc (A 1y)H(y; )<0c’est à dire (A 1y)H(y; )6= 0 dans @ \R: En utilisant l’invariance par homotopie du degré topologique on trouve
d(F; @ \R;0) =d A 1y; @ \R;0 =sgn(c 1)6= 0:
Donc pour(4:45), tous les condition du lemme 4.1.4 sont satisfaites. Par le lemme 4.1.4, on résulte que
'p(y0(t)) 0+f A 1y 0(t) +g A 1y (t (t)) =e(t) (4.47) a au moins une solution y périodique de période T . Donc, x = A 1y est une solution périodique de périodeT de(4:1):
La même démonstration pour :
Théorème 4.2.2 On suppose que f(0) = RT 0
e(t)dt = 0 et qu’il existe des constantes r1 >0; r2 >0; r3 >0; K >0 et d >0 tels que :
(A1) jf(x)j K+r1jxjp 1;8x2R;
(A2) g(x)> K pour x > d et g(x)< K r1r3xp 1 pour x < d;
(A3) lim
x! 1 jg(x)j
xp 1 =r1r2;
Alors(4:1)a au moins une solution périodique de période T si : 2 (1 +jcj)r1 rp11 +T 1 +r2 rp11 +T
p 1
<j1 jcjjp; r= max 1 r2; 1
r3 :
4. Solutions périodiques pour l’équation P-Laplacien neutrale de
Rayleigh avec retard 56
Exemple 4.2.3 On considère l’équation suivante : '3
On va véri…er les conditions du théorème 4.2.1.
(A1)
(A3)
On a véri…é les conditions du théorème 4.2.1, donc(4:48)a au moins une solution périodique de période 1.
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