L’algorithme du slope seeking pr´esente des taux de convergence qui sont diff´erents selon la position courante sur la carte statique, comme on peut s’en convaincre sur les r´esultats de la figure 4-8 en comparant les ´evolutions temporelles de α selon que le point de d´epart se situe sur le plateau ou en dehors. En effet, le taux de convergence est plus important dans le cas d’un rapport cyclique initial αt=0 = 15� (situ´e en dehors du plateau) que dans le cas o`u αt=0 = 65� (situ´e sur le plateau). Cette diff´erence s’explique par les forts gradients ∂Δ
∂α(α) rencontr´es par l’algorithme lorsqu’il parcourt la carte statique dans le sens des rapports cycliques croissants. Dans le sens inverse, les gradients rencontr´es sont au contraire faibles, comparativement, du fait de la pr´esence du plateau. Lors d’une variation de l’angle de braquage du volet, la carte statique est modifi´ee et, plus pr´ecis´ement, elle est d´ecal´ee vers la droite lorsque δ augmente ou vers la gauche lorsque δ diminue (voir figure 4-9). Ainsi, lors d’une diminution du braquage, l’algorithme va s’adapter moins vite que lors d’une augmentation. Afin de compenser le manque de gradient lorsque le braquage diminue, l’id´ee consiste `a augmenter le gain K (voir figure 4-4) simultan´ement. D’un autre cˆot´e, le gain ne doit pas ˆetre trop fort `a l’approche de la valeur optimale pour ne pas d´estabiliser le syst`eme boucl´e et provoquer des oscillations de la commande autour de cette valeur. Pour r´egler le gain K en tenant compte de ces crit`eres, on impl´emente un r´egulateur `a logique floue qui adapte le gain en fonction de la valeur du gradient local estim´e de la carte statique. Le principe de l’impl´ementation de ce r´egulateur `a logique floue est pr´esent´e succinctement sur la figure 4-10. Le r´egulateur se contente d’adapter la valeur du gain, not´e KF L, en fonction de la valeur du gradient translat´e ξ + ξref.
Fig. 4-10 – Principe du r´eglage du gain par le r´egulateur flou en fonction du gradient translat´e ξ + ξref.
Les valeurs extrˆemes K1 et K2 prises par le gain sont ´evidemment n´egatives puisque l’on cherche `a tendre vers un minimum (minimum de distance Δ0�9). Afin de compenser le manque de gradient lorsque l’algorithme se trouve sur le plateau de la carte statique, K2 est sup´erieur en valeur absolue `a K1. De plus, afin de stabiliser l’algorithme une fois converg´e, le gain est r´eduit `a z´ero lorsque le gradient translat´e est ´egal `a 0 (i.e. ξ + ξref = 0). Les caract´eristiques du r´egulateur flou sont report´ees
Modification du slope seeking en int´egrant un gain adaptatif 83 en annexe. La figure 4-11 pr´esente les r´esultats de la boucle ferm´ee pour les cas avec (AG) et sans (CG) gain adaptatif. Le gain constant est ´egal `a 1. Le volet est braqu´e `a 20◦ et la vitesse de l’´ecoulement amont est de 24�5 m.s−1.
(a) (b)
Fig. 4-11 – Comparaison entre le contrˆole par slope seeking avec un gain constant et celui avec un gain adaptatif pour des rapports cycliques initiaux (a) de 15�, (b) 50� et 65� (U∞= 24�5 m.s�1; δ = 20◦; fact= 30 Hz ;
fexc= 2 Hz ; aexc= 10� ; Pf= 7 bar).
Sur le cas de la figure 4-11(a), l’algorithme d´emarre `a αt=0 = 15�, c’est-`a-dire en-dehors du plateau de la carte d’´equilibre. Ainsi, il n’y a pas de diff´erence quant au taux de convergence entre le cas avec gain adaptatif et le cas sans. On note un faible ´ecart entre les valeurs finales des deux diff´erents cas ; la boucle de contrˆole converge vers α = 32� dans le cas avec gain adaptatif, et vers 35� avec gain constant. On consid`ere que cette diff´erence n’est pas significative et provient d’une r´ep´etabilit´e imparfaite de l’exp´erience. Sur le cas de la figure 4-11(b), l’algorithme d´emarre depuis le plateau de la carte statique, soit αt=0 = 50�, soit αt=0 = 65�. La diff´erence de taux de convergence est dans ce cas significative, puisque le r´egulateur `a logique floue augmente le gain de la boucle quand celui-ci reste constant dans le cas de l’algorithme classique. Cela permet d’aboutir `a un temps de convergence quasiment identique que ce soit dans le cas d’une augmentation ou d’une diminution du rapport cyclique. Pour conclure sur la construction de l’algorithme de contrˆole du rapport cyclique et fixer les id´ees, la figure 4-12 pr´esente le sch´ema-bloc du slope seeking appliqu´e dans notre cas en int´egrant le gain adaptatif.
Fig. 4-12 – Sch´ema-bloc du slope seeking avec gain adaptatif.
La variable de commande du syst`eme est le rapport cyclique α, la variable de sortie ´etant la distance au recollement, not´ee Δ, et d´efinie pr´ec´edemment. L’estimation du gradient local se fait classiquement par modulation-d´emodulation. Le r´eglage du gradient de r´ef´erence est fait de telle sorte que l’´ecoulement est tout juste recoll´e sur l’ensemble du volet. Pour un braquage δ = 20◦et une vitesse
84 Contrˆole en boucle ferm´ee du d´ecollement par optimisation du �cµ�
amont de 24�5 m.s−1, cela ´equivaut `a un rapport cyclique d’environ 35� (d´etermin´e au chapitre 3) lorsque le coefficient de quantit´e de mouvement en r´egime continu (i.e. α = 100�) est de 3�. La modification principale concerne le gain de la boucle, gain qui est adapt´e par un r´egulateur `a logique floue en fonction de la valeur du gradient translat´e ξ + ξref. Le r´egulateur augmente le gain lorsque le gradient translat´e est positif, i.e. lorsque le gradient local ξ est faible, ce qui est le cas sur le plateau de la carte statique, afin d’obtenir le mˆeme taux de convergence de l’algorithme quelle que soit la direction de l’optimisation5.
4.3.2 Adaptation du rapport cyclique lors d’une variation de l’angle de braquage
La figure 4-13 pr´esente l’´evolution de l’angle de braquage δ et du rapport cyclique α lorsque celui-ci est contrˆol´e soit par slope seeking avec un gain constant, soit par slope seeking avec gain adaptatif. Une augmentation et une diminution du braquage sont successivement impos´ees au syst`eme. Elles supposent une variation de la vitesse de l’´ecoulement amont ; la vitesse n’est pas acquise en temps-r´eel mais on note qu’elle varie d’environ 6 m.s−1 entre 20 et 35◦, sachant que la soufflerie est r´egl´ee pour avoir 24�5 m.s−1 `a δ = 20◦. Le taux de braquage du volet est de 2◦/s, que ce soit en mont´ee ou en descente. L’algorithme classique et l’algorithme modifi´e du slope seeking montrent les mˆemes propri´et´es de convergence lorsqu’il s’agit du recollement de l’´ecoulement pour δ = 20◦ et de l’augmentation de l’angle de braquage jusqu’`a 35◦. L’avantage du gain adaptatif est mis en ´evidence lors de la diminution de l’angle de braquage ; en effet, dans le cas d’un gain constant, l’algorithme est en retard quant au suivi de l’angle de braquage, tandis qu’il suit cette diminution sans retard dans le cas d’un gain adaptatif. On constate donc que, par l’ajout d’un gain adaptatif, on a am´elior´e les performances de l’algorithme lors d’une diminution du rapport cyclique, c’est-`a-dire lorsque l’on cherche `a diminuer la quantit´e de mouvement inject´ee au fluide tout en maintenant l’´ecoulement attach´e.
Lors de la phase d’augmentation de l’angle de braquage, on constate que l’algorithme suit mais avec un temps de retard. Pour comprendre d’o`u vient ce retard, on trace sur la figure 4-14 l’´evolution temporelle de la distance Δ0�9(sortie du syst`eme) lors de l’aller-retour du braquage δ de la figure 4-13, le rapport cyclique ´etant contrˆol´e par le slope seeking, soit avec gain adaptatif, soit sans. Cette distance est repr´esent´ee de fa¸con brute et, pour plus de clart´e, liss´ee par un filtre de Savitsky-Golay (lissage a posteriori sans retard). La boucle ferm´ee est enclench´ee `a t = 5 s.
(a) (b)
Fig. 4-13 – ´Evolution temporelle de l’angle de braquage δ et du rapport cyclique α , ce dernier ´etant contrˆol´e par slope seeking avec (a) gain constant ou (b) gain adaptatif (δ = 20 � 35 � 20◦; U∞= 24�5 m.s�1; fact= 30 Hz ;
fexc= 2 Hz ; aexc= 10� ; Pf= 7 bar).
Modification du slope seeking en int´egrant un gain adaptatif 85 La distance Δ0�9 commence logiquement par diminuer `a partir de t = 5 s, comme c’´etait le cas sur la figure 4-9 (o`u toutefois le point de d´epart ´etait fix´e `a αt=0 = 15� contre αt=0 = 20� dans le cas pr´esent). Lorsque l’angle de braquage commence `a augmenter `a t = 16 s, l’algorithme ne r´eagit pas imm´ediatement et on note une augmentation de la distance Δ0�9; toutefois elle diminue avant d’at-teindre son niveau initial (avant le d´emarrage de l’algorithme pour t < 5 s) grˆace `a l’augmentation du rapport cyclique op´er´e par la boucle ferm´ee. Cette augmentation n’est pas assez rapide pour maintenir l’´ecoulement compl`etement attach´e durant le braquage du volet. L’algorithme permet toutefois de le recoller enti`erement puisque la distance Δ0�9 revient `a son minimum `a t = 25 s, l’angle de braquage se stabilisant `a 35◦ `a t = 24 s, soit 1 seconde de retard en bout de course.
(a) (b)
Fig. 4-14 – ´Evolution temporelle de la distance Δ0�9sur le cas de contrˆole du rapport cyclique α par slope seeking int´egrant un gain constant ou un gain adaptatif. La distance est repr´esent´ee de fa¸con (a) brute ou (b) liss´ee par
un filtre de Savitsky-Golay ; l’´evolution temporelle du braquage est ajout´ee ; notez le changement d’´echelle sur Δ0�9entre (a) et (b) (δ = 20 � 35 � 20◦; U∞= 24�5 m.s�1; fact= 30 Hz ; fexc= 2 Hz ; aexc= 10� ; Pf= 7 bar).
Lorsque l’angle de braquage diminue de 35 `a 20◦, la distance Δ0�9 reste `a sa valeur minimale, ce qui signifie que l’´ecoulement est bien maintenu attach´e malgr´e la diminution du coefficient de quantit´e de mouvement (par la diminution du rapport cyclique α). L’algorithme est donc en mesure de r´eduire le rapport cyclique tout en garantissant que l’´ecoulement reste attach´e sur le volet.
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