Dans l’espoir de supprimer `a la fois les modes `a ´energie nulle et l’instabilit´e de tension, les auteurs de [WEN 94] et [SWE 94] ont propos´e un f ltrage spatial des vitesses, nomm´e
≪conservative smoothing scheme≫, af n d’´eliminer les oscillations de longueur d’onde proche de la distance entre les particules. Ce f ltre a ´et´e ´etendu par Randles et Libersky [RAN 96] en dimension 3 : b − →vi = −→vi +α " ∑Nv j=1mjWi j−→vj ∑Nv j=1mjWi j − −→vi # (1.37) o`u 0 <α <0.5 est un param`etre r´eglant l’intensit´e du f ltrage. Eff cace pour certains probl`emes, la m´ethode entraine souvent une dissipation importante d’´energie qui la rend inutilisable en pratique. De plus, elle n’est eff cace que pour une discr´etisation f ne et, mˆeme dans ce cas, ne fait que retarder l’apparition des instabilit´es. Ce proc´ed´e est ´egalement connu sous le nom de f ltre de Balsara.
Dans une approche similaire, Monaghan et al. [MON 00] ont propos´e l’introduction d’efforts artif ciels sur chaque nœud SPH, `a l’image de la pression visqueuse pr´esent´ee dans le paragraphe 1.3.3. L’id´ee ´etait ´egalement de retarder l’apparition des instabilit´es num´eriques, modes libres et instabilit´e de tension. Cependant, l’approche ne semble pas fonctionner pour des discr´etisations grossi`eres puisque dans ce cas, les efforts artif ciels
perturbent le comportement d’ensemble de la structure. De plus, elle introduit dans le mod`ele des param`etres suppl´ementaires qu’il est diff cile de choisir.
Finalement, l’une des m´ethodes les plus abouties est probablement celle propos´ee par Dyka [DYK 95], [DYK 97]. Af n de supprimer l’instabilit´e en tension, l’auteur a propos´e l’introduction dans le mod`ele d’un seconde type de point, intitul´e≪stress point≫ (SP). Contrairement aux nœuds SPH qui transportent une quantit´e de mati`ere, ce sont unique-ment des points de calcul des d´eformations et des contraintes. Ils sont donc similaires aux points de Gauss en EF. Ainsi, un calcul utilisant la m´ethode des SP peut ˆetre sch´ematis´e de la fac¸on suivante : `a partir des grandeurs cin´ematiques connues aux nœuds SPH, les d´eformations et les contraintes sont calcul´ees sur les SP et, f nalement, les ´equations d’´equilibre sont r´esolues de nouveau sur les nœuds SPH. La m´ethode a ´et´e ´etendue aux dimensions 2 et 3 par Randles et Libersky [RAN 96]. Certains auteurs ont remarqu´e que la m´ethode des SP permettait ´egalement de supprimer les modes `a ´energie nulle [VIG 00].
1.4.2.2 Stabilit´e des m´ethodes sans maillage [BEL 00]
Le travail pr´esent´e dans [BEL 00] constitue l’´etude la plus approfondie r´ealis´ee sur la stabilit´e des m´ethodes sans maillage. Elle a permis d’identif er clairement les diff´erentes instabilit´es et de v´erif er l’eff cacit´e des solutions propos´ees dans la litt´erature. Notam-ment, l’utilisation des SP a ´et´e ´etudi´ee avec soin af n d’´etablir clairement si la m´ethode permettait de supprimer `a la fois les modes libres et l’instabilit´e de tension. Jusqu’`a la publication de ce travail, ce point n’´etait pas clairement ´etabli.
L’´etude propos´ee dans [BEL 00] est men´ee aussi bien pour les formulations fortes que pour les formulations faibles. En effet, les auteurs montrent, comme d´ecrit dans le paragraphe 1.2.3, que la m´ethode SPH est ´equivalente `a une m´ethode faible utilisant une int´egration nodale, mis `a part sur les bords du domaine. La conclusion est la mˆeme en cas d’utilisation de SP. Cela permet aux auteurs de proposer une ´etude de stabilit´e
≪unif ´ee≫des m´ethodes sans maillage.
Leur travail a conf rm´e l’existence de deux instabilit´es num´eriques distinctes dues `a la discr´etisation des ´equations par une m´ethode sans maillage :
• la pr´esence de modes `a ´energie nulle ´equivalents aux modes de Hourglass en EF. Ils sont dus `a une sous-int´egration des ´equations de la forme faible (nombre de points de Gauss insuff sant en EF, int´egration nodale en EFG) et de l’approximation int´egrale 1.11 en SPH.
• l’instabilit´e de tension d´ecrite par [SWE 95].
Dans cette r´ef´erence, 4 conf gurations ont ´et´e ´etudi´ees en d´etails : • une formulation lagrangienne r´eactualis´ee :
−
→v(−→x) =
∑
Nv j=1φ(−→x − −→xj, h)−→vj (1.38) o`u −→x est le vecteur position dans la conf guration courante (coordonn´ees spatiales) etφla fonction de forme dite ≪eul´erienne≫. Dans ce cas l’analyse de stabilit´e de
Application `a la m´ecanique des structures
von Neumann montre `a la fois une instabilit´e en pr´esence de contraintes de tension et la pr´esence de modes libres. L’instabilit´e en tension est d’autant plus importante que le taille du support de la fonction noyau est faible.
• une formulation lagrangienne totale : −
→v(−→X) =
∑
Nv j=1Φ(−→X−−→Xj, h)−→vj (1.39) o`u −→X est le vecteur position dans la conf guration initiale (coordonn´ees mat´erielles) etΦla fonction de forme dite≪lagrangienne≫. Dans ce cas, l’´etude ne r´ev`ele plus d’instabilit´e en tension car, contrairement au cas eul´erien, la stabilit´e du syst`eme ne d´epend plus des contraintes qui lui sont appliqu´ees. Cependant, les modes `a ´energie nulle existent toujours mais sont fortement r´eduits. Cela s’explique par le fait que la conf guration de r´ef´erence, qui est la conf guration initiale, n’´evolue pas au cours du calcul. Ainsi, les modes `a ´energie nulle ne peuvent plus affecter le calcul des fonctions de forme, ce qui limite leur d´eveloppement.
Remarque : dans le cas d’une formulation lagrangienne totale, la forme du support de la fonction noyau change au cours du temps dans la configuration courante. Un support sph´erique peut ainsi ˆetre fortement d´eform´e. Cela rappelle la m´ethode ASPH (Adaptative SPH) [OWE 98] qui repose sur une forme lagrangienne r´eactualis´ee dans laquelle le support se d´eforme en suivant la mati`ere. Bien plus stable que la m´ethode SPH classique, cette m´ethode n’est pas sans rappeler la d´eformation de la fonction support obtenue avec la formulation lagrangienne totale.
• une formulation lagrangienne r´eactualis´ee avec SP. Dans ce cas, les modes a ´energie nulle sont supprim´es et l’instabilit´e en tension d´epend de la taille du support de la fonction noyau. Pour des supports de petite taille, le syst`eme est stable ce qui n’est plus le cas pour des supports plus grand.
• une formulation lagrangienne totale avec SP. Le syst`eme n’exhibe alors plus aucune instabilit´e num´erique.
Les auteurs montrent donc que l’utilisation d’une formulation lagrangienne totale permet de s’affranchir de l’instabilit´e en tension. De plus, l’ajout de SP permet de contenir les modes `a ´energie nulle. Cependant, en dimensions 2 et 3, les auteurs montrent que l’eff -cacit´e de cette stabilisation d´epend de la position des SP. Pour un maillage r´egulier bas´e sur des quadrilat`eres, le plus simple est de positionner les SP au centre de chaque cellule comme sur la f gure 1.5(a). Les auteurs de [BEL 00] ont cependant montr´e qu’il existait alors toujours un mode `a ´energie nulle pouvant se d´evelopper. Ils pr´econisent l’utilisation de deux SP par cellule ou plus, voir la f gure 1.5(b). L’inf uence du nombre et de la po-sition des SP sur la pr´ecision de la m´ethode n’est pas encore bien maˆıtris´ee. Dans le cas d’une discr´etisation non r´eguli`ere, il est n´ecessaire d’utiliser un diagramme de Vorono¨ı et de placer les SP au centre des triangles de Delaunay associ´es.
(a) 1 SP par cellule : mode libre (b) 2 ou 4 SP par cellule