Modes non lin´eaires

Il a ´et´e montr´e que le pompage ´energ´etique est intimement li´e `a une capture de r´esonance 1 :1 (voir [59]), l’absorbeur captant la r´esonance du milieu primaire. Ceci peut ˆetre mis en ´evidence par l’´etude des modes non lin´eaires du syst`eme non-amorti. Pour les calculer, la m´ethode de l’´equilibrage harmonique est utilis´ee. Les d´eplacements des deux oscillateurs sont alors exprim´es sous la forme ua(t) = Ucos(ωt) et qm(t) = Qcos(ωt). En introduisant ces expressions dans le syst`eme 4.12 (sans les termes d’amortissement), avec F = 0 et en n´egligeant les harmoniques sup´erieures, nous obtenons le syst`eme alg´ebrique suivant pour les amplitudes U etQ:

(−maω²+ka+S_t²k_b)U −St

Ce syst`eme peut ais´ement ˆetre r´esolu et donne les expressions suivantes pour les deux d´eplacements : trac´ees en fonction deωet apparaissent sur la figure 4.4. Compte tenu du fait que les mouvements des deux oscillateurs sont suppos´es synchrones `a la mˆeme fr´equence (capture de r´esonance 1 :1), nous appelons la solution o`u ua(t) et qm(t) sont en opposition de phase le mode non lin´eaire S11−et la solution o`u ils sont en phase le modeS11+ (notation utilis´ee g´en´eralement dans la litt´erature, voir par exemple [27, 24]).

Grˆace aux ´equations du mod`ele, l’´energieE du syst`eme global peut ˆetre d´efinie comme suit : E(ω) = 1 Nous pouvons maintenant tracer `a nouveau les solutions S11− et S11+, mais dans un di-agramme fr´equence-´energie totale visible sur la figure 4.5. Comme nous le verrons plus tard, ce mode de repr´esention est tr`es utile pour d´ecrire et comprendre le ph´enom`ene de pompage

´energ´etique. Cependant, en associant les deux oscillateurs en une grandeur d’´energie totale, la localisation de l’´energie dans l’un ou l’autre de ceux-ci n’est plus visible. Pour observer cela, il faut alors se reporter `a la premi`ere repr´esentation des modes en amplitude de la figure 4.4.

Deux commentaires peuvent d’ores et d´ej`a ˆetre faits grˆace `a ces figures :

• Sur le diagramme 4.5, nous avons globalement deux courbes qui se croisent. Une horizontale correspondant `a la caract´eristique du syst`eme primaire lin´eaire, et une courbe oblique

50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160

−2 0 2 4 6 8 10 12 14 16x 10⁻³

S11+ / Uair S11+ / Qmembrane S11− / Uair S11− / Qmembrane

Fréquence (Hz)

Amplitudededéplacement(m)

Fig. 4.4 – Modes non lin´eaires du syst`eme - Amplitudes de d´eplacement en fonction de la fr´equence.

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2

40 60 80 100 120 140 160

S11+

S11−

Fréquence(Hz)

Energie totale (log)

Fig. 4.5 – Modes non lin´eaires du syst`eme dans le diagramme ´energie-fr´equence.

pour la raideur cubique de la membrane. Lorsqu’un couplage entre les deux oscillateurs est ajout´e, ces deux caract´eristiques se lient pour former les deux modes non lin´eaires S11−

etS11+. Dans les basses ´energies, ces modes sont repr´esent´es par des droites horizontales et co¨ıncident en fait avec les modes lin´eaires du tube (ligne horizontale `a 92 Hz) et de la membrane (ligne horizontale `a 57 Hz).

• Lorsque l’on est sur la premi`ere fr´equence de r´esonance du tube, ici `a 92 Hz, deux posibilit´es existent pour le syst`eme en fonction de l’´energie. Si l’´energie est faible, le syst`eme est sur le

modeS11−. Sur cette partie du mode, l’´energie est localis´ee sur le tube, c’est donc une zone qui n’est pas int´eressante dans notre cas. Par contre, `a partir d’un certain seuil d’´energie, le syst`eme sera sur le mode S11+. Les deux oscillateurs sont dans ce cas en phase, la capture de r´esonance a eu lieu et un transfert d’´energie est donc possible. En effet, dans cette partie horizontale du mode S11+, l’´energie est partag´ee entre les deux syst`emes.

C’est surtout ensuite, si l’on suppose que le syst`eme est initialement sur un point de cette zone, que l’on peut s’attendre `a observer ce que l’on cherche, c’est-`a-dire une compl`ete localisation de l’´energie sur l’oscillateur non lin´eaire. En effet, par amortissement, l’´energie va d´ecroˆıtre. En suivant le chemin du modeS11+, le syst`eme va entrer dans la zone oblique du mode qui, comme on le voit sur la repr´esentation en amplitude, correspond `a une zone o`u l’´energie est quasiment enti`erement localis´ee sur l’absorbeur non lin´eaire. Le transfert aura donc ´et´e complet. Ces simples repr´esentations des deux premiers modes non lin´eaires font donc d´ej`a apparaˆıtre plusieurs caract´eristiques du ph´enom`ene. L’observation r´eelle de celui-ci et son explication plus compl`ete font l’objet du chapitre suivant.

Conclusion

Bas´e sur une analogie `a un syst`eme connu pour ´etudier le pompage ´energ´etique, nous avons ainsi pu mettre au point un montage exp´erimental pour observer le ph´enom`ene sur un milieu acoustique. Une mod´elisation de ce montage a ´et´e r´ealis´ee, permmettant d’aboutir `a un syst`eme

`

a deux degr´es de libert´e proche du syst`eme typique donn´e par le couplage d’un oscillateur lin´eaire

`

a un oscillateur `a raideur cubique. Ceci est d´ej`a une sorte de validation du principe du montage.

A partir de ce mod`ele, les premiers modes non lin´eaires du syst`eme ont pu ˆetre trac´es, permettant d´ej`a de comprendre une partie du ph´enom`ene et de cibler les zones int´eressantes `a atteindre. Les ph´enom`enes observ´es exp´erimentalement grˆace `a ce montage font l’objet du chapitre suivant.

Le pompage ´ energ´ etique : principaux r´ esultats exp´ erimentaux et

num´ eriques

Introduction

Le principe du dispositif exp´erimental ainsi que le mod`ele associ´e ´etant vus, nous pr´esentons dans ce chapitre les diff´erents r´esultats exp´erimentaux, ainsi que leurs comparaisons avec les r´esultats num´eriques, permettant de comprendre les caract´eristiques et le fonctionnement du ph´enom`ene de pompage ´energ´etique. Pour chaque point, les pr´esentations ne seront faites qu’avec une ou deux configurations, les ´etudes param´etriques faisant l’objet du chapitre suivant.

Les diff´erents r´egimes observ´es sous excitation harmonique seront tout d’abord abord´es, suivis des comportements en oscillations libres et de l’´etude des r´eponses fr´equentielles.

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5.1 Les diff´ erents r´ egimes observ´ es sous excitation sinuso¨ıdale

Dans cette partie, nous nous int´eressons au comportement du syt`eme sous excitation si-nuso¨ıdale `a la fr´equence du premier mode acoustique du tube. En raison de la pr´esence d’une non-lin´earit´e, plusieurs types de comportements sont observ´es en fonction de l’amplitude de l’ex-citation. Ces diff´erents r´egimes ont ´et´e mesur´es avec de nombreuses configurations de membrane, cependant ceux-ci sont toujours qualitativement similaires, c’est-`a-dire que les m´ecanismes et les explications sont toujours les mˆemes. Ainsi, seules deux configurations seront pr´esent´ees, ce qui repr´esente d´ej`a un grand nombre de figures. Chaque mesure sera ´egalement suivie de la simula-tion associ´ee, afin de comparer le mod`ele `a l’exp´erience. Ces deux configurations sont donc :

• configuration 1 : L= 2 m,R= 2 cm, h= 0.18 mm,f₁ = 62 Hz,

• configuration 2 : L= 2 m,R= 3 cm, h= 0.39 mm,f₁ = 73 Hz.