MODELISATION EN VUE DU PRE-DIMENSIONNEMENT MULTI-NIVEAU DE CONVERTISSEURS STATIQUES:

Le modèle est à la base de toute démarche de conception. En électronique de puissance, plusieurs types de modélisation peuvent être adoptés. Un résumé des types de modèles mobilisables dans notre méthodologie est présenté dans cette section. En effet le pré-dimensionnement multi-niveau de convertisseurs statiques s’appuie sur des modèles représentatifs des contraintes multi physiques à considérer lors de la conception : électrique (ondulations, valeurs efficaces, moyennes et maximales des courants et tensions), pertes (composants actifs et passifs), thermique (composants actifs et passifs), volume, CEM,

Résultats de la deuxième étape : Pertes dans les composants

actifs et passifs, Dimensions géométriques des

composants utilisés, … Contraintes d’intégration 3D Thermique, CEM, … Environnement d’optimisation Environnements de simulations éléments finis

Sorties du 3ème niveau : Placement 3D optimisé des composants + Réévaluation des contraintes majeures de conception

fiabilité….. A cet effet, nous avons élaboré des modèles multi-physiques ; certains de ces modèles ont été validés par des données constructeurs, d’autres par des simulations temporelles et numériques ou des mesures expérimentales.

2.2.2.1 MODELES DEDIES A LA CONCEPTION

Ces modèles peuvent être distingués selon leur formalisme, leur précision, leur complexité en termes de développement, d’implémentation et de résolution ou encore de leur rapidité de calcul. Ces modèles peuvent être classés en trois principales familles[Ejja10] :

- Les modèles analytiques (ou symboliques) : caractérisés par des systèmes d’équations décrivant des relations directes entre des paramètres physiques d’une structure de conversion et ses performances. La plupart du temps, ces équations sont constituées à partir des fonctions continues, dérivables et leurs dérivées sont continues. Ils sont bien adaptés à un calcul rapide et sont très utiles dans une démarche d’optimisation car ils permettent de parcourir l’espace de solutions en un temps court. Ils permettent également de réaliser rapidement une analyse de sensibilité.

- Les modèles numériques : ce sont des modèles décris par des systèmes d’équations non symboliques. Ces modèles sont donc non-dérivables et peuvent être discontinus. Une optimisation sur la base de ce type de modèle nécessite des calculs itératifs faisant appel à des méthodes numériques (Newton-Raphson, Runge-Kutta,…). De plus, ces modèles sont coûteux en temps de calcul et éventuellement en taille mémoire (exemple de modèles éléments finis), ce qui les rend plus adaptés pour l’analyse (simulation) que pour la conception par optimisation.

- Les modèles semi-analytiques : c’est une combinaison de modèles analytiques et de modèles numériques. Ils sont constitués à la fois par des fonctions continues dérivables et par des fonctions dont certains paramètres sont discontinus (exemple : variation des volumes des condensateurs en fonction de leurs capacités dans une base de données constructeur). Dans certains cas, ces modèles peuvent être transformés en modèles analytiques afin de bénéficier des avantages de ces derniers. L’optimisation des convertisseurs statiques mobilise ces trois types de modèles. L’intérêt d’une approche de pré-dimensionnement multi-niveau est de bien structurer l’utilisation de ces différents modèles pour aider le concepteur à répondre, dans les meilleurs délais et avec une précision maitrisée, à des spécifications de natures multiples (montrer la faisabilité, choisir une architecture, lever un risque particulier, respecter une ou plusieurs contraintes, …).

Notons que certains modèles analytiques ou semi-analytiques sont facilement paramétrables et se prêtent bien pour une généralisation (comme les modèles de volumes et thermiques) alors que d’autres sont très dépendants du convertisseur étudié (comme les modèles CEM et de commande). Sur ce point, les approches de développement de modèles génériques et les outils d’aide à la génération automatique de modèles sont de très grande importance [AGAM99, LAFG01, Merd09, TSGM13].

2.2.2.2 MODELES DE SUBSTITUTION

L’intégration d’un modèle de type éléments finis dans l’optimisation rend celle-ci très coûteuse en temps de calcul. Pour remédier à cet inconvénient, un modèle de substitution considéré comme une représentation mathématique fidèle d’un modèle fin peut être utilisé. Un modèle de substitution est construit à partir de points supports calculés par le modèle fin.

Plusieurs modèles de substitution existent. Ils peuvent être classés en deux principales familles : les modèles d’interpolation qui passent par les points supports et les modèles d’approximation qui passent au plus près des points support.

Parmi les modèles de substitution nous pouvons citer :

- Le modèle polynomial qui consiste à représenter un ensemble de points de simulation ou de mesure par un polynôme.

- Les fonctions radiales [Bart92] qui se présentent sous forme de sommes pondérées de fonctions radiales considérant la distance par rapport aux points supports. Ces fonctions ne nécessitent pas de maillage pour la construction d’un modèle de substitution.

- Le Krigeage [Bail00, Kreu08, Krig51] qui est une méthode d’interpolation spatiale stochastique. Mathématiquement, le krigeage est une méthode d’estimation d’une fonction F(X) au point Xp connaissant m évaluations de cette fonction. La formulation générale est donnée par l’expression suivante :

( ) ∑ ( ) (Eq II.1)

Avec :

- Xi sont les points connus (mesurés, évalués),

- m est le nombre de points d’évaluations disponibles, - Wi est la pondération des points environnants.

En plus de l’évaluation de la fonction en des points donnés, le krigeage permet d’obtenir la variance de l’estimation (ou erreur standard en chaque point). Cette variance est une information importante qui peut être exploitée lors de l’optimisation pour améliorer la recherche d’un minimum global (exemple du critère Expected Improvement qui sera présenté avec les méthodes d’optimisation).

Une comparaison entre ces trois modèles de substitution (polynomial, radial et Krigeage) pour une application d’un moteur à induction a montré que le modèle Krigeage associé à un algorithme génétique conduit aux meilleures performances en termes de précision et temps de calcul [Gong11].