R´ esum´ e ´ etendu en fran¸ cais
2. MODELISATION GEOMETRIQUE DE CAMERAS GRAND ANGLE
´epipolaires en droites. Pourtant, cette proc´edure casse l’uniformit´e de bruit et d’information dans l’image a cause d’une dilatation de certaines parties et d’une contraction des autres.
Donc notre bute est de d´evelopper une approche `a la mod´elisation g´eom´etrique, telle qui nous permet de traiter avec facilit´ee des images d’une g´eom´etrie complexe.
Fusion des capteurs L’utilisation de modalit´es diff´erentes et de mesures d´ecorr´el´ees r´eduit l’impact du bruit et augmente la robustesse g´en´erale du syst`eme. Les deux modalit´es les plus utilis´ees avec des cameras sont la centrale inertielle et l’odom´etrie des roues, s’il s’agit d’un robot mobile. L’odom´etrie a une plus mauvaise pr´ecision angulaire et une meilleure pr´ecision de mesure de distance que la centrale inertielle. La mesure de distance a un rˆole particulier pour la perception visuelle car dans le cas monoculaire, la vision ne donne pas de mesures de longueur et donc il faut avoir une autre source de r´ef´erence m´etrique.
1.4 Structure du document
Ce r´esum´e ´etendu est cens´e d’´eclairer les r´esultats principales de ce travail. Sa structure est la suivante.
Mod´elisation g´eom´etrique Le nouveau mod`ele est pr´esente et sep propri´et´es g´eom´etriques sont analys´ees. Le mod`ele inverse analytique est d´ecrite. Finalement la projection des droites est analys´e et les ´equations implicites des courbes ´epipolaires sont montr´ees.
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Etalonnage Principalement, les r´esultats num´eriques d’´etalonnage de ce mod`ele sont pr´esent´es. Le mod`ele est compare avec d’autres mod`eles de l’´etat de l’art pour des optiques diff´erentes. Aussi, la probl´ematique d’´etalonnage extrins`eque des robots mobiles ´equip´es d’une camera est trait´ee.
Correspondance st´er´eo directe Les ´equations des courbes ´epipolaires sont employ´ees pour calculer la correspondance st´er´eo entre deux images fisheye sans les rectifier.Des testes quantitatives sur des donn´ees synth´etiques ainsi que r´eelles sont donn´ees.
Localisation visuelle Des m´ethodes de recalage d’images directes sont utiliser pour compl´eter le syst`eme de localisation visuelle. En faisant le recalage et la reconstruction alternativement, on obtient un syst`eme de odom´etrie visuelle. Un syst`eme de localisation et le r´esultats de ses testes avec des donn´ees r´eelles sont pr´esont´es.
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Modelisation geometrique de cameras grand angle
La premi`ere ´etape pour monter un syst`eme de perception visuelle serait de mod´eliser les camera. Comme nous avons choisi les cameras fisheye comme mat´eriel, il nous faut un mod`ele qui capte bien les distorsion g´eom´etriques, introduites par l’optique, et qui en mˆeme temps soit analytiquement simple. Nous avons propos´e un mod`ele qui est base sur le mod`ele unifies (aussi dit mod`ele sph´erique). Le nouveau mod`ele est d´efini par les ´equations suivantes:
m = x αρ + (1 − α)z y αρ + (1 − α)z 1 ρ =pβ(x2+ y2) + z2 p = Km (C.1)
178 APPENDIX C. R ´ESUM ´E ´ETENDU EN FRANC¸ AIS
Les deux param`etres de distorsion sont α ∈ [0, 1] et β > 0. Il est requis que αρ+(1−α)z > 0. K est la matrice de projection qui contient les param`etres intrins`eques fu, fv, u0, v0.
2.1 Surface de projection
Pour analyser ce mod`ele, on introduit la notion de surface de projection. Cette surface est d´efinie par une ´equation avec les coordonn´ees 3D.
Cette notion peut ˆetre appliqu´ee `a une grande vari´et´e de mod`eles de projection avec de types de distorsion diff´erents. Soit η : R3 → R
+ une fonction homog`ene de degr´e 1:
∀λ ∈ R+ η(λX) = λη(X) (C.2)
Le mod`ele de projection est d´efini de la fa¸con suivante:
m = x η(X) y η(X) 1 (C.3)
Alors, la surface de projection est d´efini comme:
η(X) = 1 (C.4)
N’importe quelle fonction η defini un mod`ele de projection avec de propri´et´es diff´erentes. Pour le mod`ele propos´e, η(X) = 1 m`ene `a:
αpβ(x2+ y2) + z2+ (1 − α)z = 1 (C.5)
En rempla¸cant 1 − α par γ et x2+ y2 par r2, on peut arriver `a la forme suivante:
α2βr2+ (α − γ)z2+ 2γz = 1 (C.6)
Cette ´equation sera utile pour calculer le mod`ele inverse et des ´equations de droites projet´ees.
2.2 Mod`ele inverse
Soit f : R3\0 → R2 le mod`ele de projection d´efini par (C.1). Soit f−1
: R2 → R3 l’inverse de
droite de f:
f(f−1(m)) = m (C.7)
ou, autrement dit, f ◦ f−1 = I. On cherche un diff´eomorphisme entre les points de l’image et les directions dans le champ visuel de la camera. Or, les points sur la surface de projection se projettent sur l’image orthogonalement. Alors, f−1 peut ˆetre d´efini comme:
f−1:x y 7→ x y z(x, y) (C.8)
On obtient z(x, y) en r´esolvant (C.6) et en choisissant la bonne solution parmi deux. Le r´esulta est (avec r =px2+ y2):
z = 1 − α
2βr2
2. MODELISATION GEOMETRIQUE DE CAMERAS GRAND ANGLE 179
Figure C.1: Droite a avec l’origine de projection O d´efinissent plan L. L’intersection entre L et P d´efinissent courbe c. En projetant c orthogonalement sur le plan normal on obtient la projection de a.
2.3 Straight Line Projection
Avec la notion de surface de projection, on peut montrer que les droites se projettent comme des sections coniques. Etant donn´´ e droite a, soit L le plan d´efini par a et O (Fig. C.1). L’´equation de L est de la forme suivante:
Ax + By + Cz = 0 (C.10)
Pour trouver l’image de la droite, d’abord on doit projeter celle-derni`ere sur la surface de projection. Pour ¸ca, on cherche l’intersection c entre L et P . En prenant (C.6) et (C.10) on obtient le syst`eme d’´equations suivant:
(
Ax + By + Cz = 0
α2β(x2+ y2) + (α − γ)z2+ 2γz = 1
(C.11)
L’´etape suivant est de projeter c orthogonalement sur le plan normal. C’est `a dire, on doit exclure la coordonn´ee z du syst`eme d’´equations. Si C = 0, alors l’image de la droite est une droite qui passe par le centre d’image:
Ax + By = 0 (C.12)
Si C 6= 0, alors on peut exprimer z de la premi`ere ´equation:
z = −Ax + By
C (C.13)
et le substituer dans la deuxi`eme:
α2β(x2+ y2) + (α − γ) Ax + By C
2
− 2γAx + By
C = 1 (C.14)
Donc, on a un polynˆome en x et y de degr´e deux, qui d´efini une section conique.
Epipolar Curve Equation On peut calculer analytiquement les expressions pour les co- efficients des ´equations de courbes ´epipolaires dans le cas d’un syst`eme st´er´eo calibr´e. Con- sid´erons deux cameras avec les mod`eles de projection ´etalonn´es f1 et f2. La transformation
180 APPENDIX C. R ´ESUM ´E ´ETENDU EN FRANC¸ AIS
Figure C.2: Un syst`eme st´er´eo ´etalonn´e. 1R2 et1t2d´efinissent la transformation entre les rep`eres des cameras (une matrice de rotation et un vecteur de translation); X est un point reconstruit; la droite l est d´efinie par X et le center de projection O1 de la premi`ere camera. Le plan H passe par O2et l. La courbe c est l’intersection entre H et la surface de projection P . Pour obtenir la courbe ´epipolaire, on doit exclure la coordonn´ee z de l’´equation de c.
vecteur de translation 1t2 (voir Fig. C.2). Le plan ´epipolaire H dans le rep`ere O2 est d´efini
par l’´equation suivante:
1XT
1[1t2]×1R2X = 0 (C.15)
L’´etape finale est de remplacer x et y par leurs expressions en fonction de u et v:
x = u − u0 fu
y = v − v0 fv
(C.16)
pour produire un polynˆome de la forme suivante:
kuuu2+ kuvuv + kvvv2+ kuu + kvv + k1= 0 (C.17)
2.4 Conclusions
Les mod`eles de projection fisheye existants montrent des combinaisons diff´erentes d’avantages et d’inconvenances. Mais aucun d’entre eux n’est pas compl`etement universel car certains ne sont pas assez pr´ecis ou ne vont que pour une famille d’optique limit´ee, pendant que d’autres ne sont pas analytiquement inversibles et coˆuteux du point de vue computationnel. Dans ce travail, nous proposons un nouveau mod`ele de projection ainsi qu’obtenons des r´esultats important sur les propri´et´es g´eom´etriques de ce mod`ele. Le contributions principales sont d´ecrites ci-dessous.
Mod`ele unifi´e am´elior´e En augmentant le Mod`ele Unifi´e, on obtien un mod`ele, qui est analytiquement ´el´egant et simple, et pourtant approche plus pr´ecis´ement les vraies optiques fisheye, grˆace `a un degr´e de libert´e suppl´ementaire. Les r´esultat quantitatives, d´ecrits dans la section 3, montrent que le mod`ele propos´e rend une fonction de distorsion additionnelle inutile mˆeme pour les optiques fisheye avec une distorsion importante.
Surface de projection Cette notion est un outil efficace d’analyse des propri´et´es g´eom´etriques des mod`eles de projection. En utilisant ce concept, nous avons trouv´e les expressions analy- tiques du mod`ele inverse, ainsi que montr´e que ce mod`ele de projection est capable d’approcher toute surface de projection de degr´e deux.