Il existe diff´erentes approches pour la mod´elisation des textiles qui peuvent ˆetre class´ees selon l’´echelle de l’´etude [15]. Nous devons `a Hagege [15] un ´etat de l’art sur la mod´elisation des textiles techniques et tricot´es. Les mod`eles microscopiques s’int´eressent `a la mod´elisation de la m`eche fibreuse et de son comportement. Les mod`eles analytiques sont employ´es dans l’´etude des pr´eimpr´egn´es et les mod`eles num´eriques dans le cas des m`eches s`eches. Ces mod`eles sont souvent difficiles `a mettre en œuvre et les temps de calcul sont longs [15]. L’´echelle m´esoscopique est d´edi´ee `a l’´etude de la cellule ´el´ementaire repr´esentative (CER) en consid´erant la m`eche comme un mat´eriau continu. Les mod`eles macroscopiques ´etudient l’ensemble du textile et sont essentiellement d´edi´es `a la mod´elisation pour la mise en œuvre de composites. Nous nous int´eressons ici essentiellement `a la mod´elisation des textiles tricot´es. Les premiers mod`eles proviennent du milieu textile et consistent `a d´ecrire g´eom´etriquement la maille. Par la suite, les auteurs se sont int´eress´es `a la mod´elisation m´ecanique de la maille au repos en consid´erant les efforts internes au tricot. Des approches similaires ont ´et´e suivies pour mod´eliser le comportement des tricots sollicit´es en traction. Des mod`eles analytiques et num´eriques ont ´egalement ´et´e mis au point pour la simulation du formage du textile lors de la mise en œuvre du composite.
1.5.1 Mod´elisation g´eom´etrique de la maille
Ces mod`eles consistent `a d´ecrire math´ematiquement la configuration de la maille `a partir des param`etres g´eom´etriques des tricots en d´efinissant une g´eom´etrie id´ealis´ee proche de la forme de la maille observ´ee. Les premiers mod`eles sont issus du milieu textile et ont pour objectif d’obtenir la configuration de la maille `a partir des param`etres du tricot. Ces param`etres sont g´en´eralement le diam`etre de la m`eche, la hauteur et la largeur de le maille (ou la densit´e de mailles par colonne et par rang´ee). Par la suite, ces mod`eles ont pu ˆetre int´egr´es dans des mod`eles de pr´ediction des propri´et´es m´ecaniques du composite puisqu’ils permettaient d’obtenir l’orientation des fibres dans le mat´eriau. Le mod`ele le plus connu est celui de Leaf et Glaskin [51]. Il a ´et´e int´egr´e dans des mod`eles de pr´ediction des propri´et´es ´elastiques des composites par Ramakrishna et Huang [12, 52, 53] que nous d´ecrirons plus pr´ecis´ement au paragraphe 1.6. Il d´ecrit math´ematiquement la forme id´ealis´ee d’une maille compos´ee de quatre arcs de cercles (Figure 1.30.a) `a partir des param`etres du tricot qui sont la densit´e de mailles par colonne, la densit´e de mailles par rang´ee et le diam`etre de la m`eche.
D’autres auteurs ont propos´e des mod`eles ´equivalents destin´es `a d´efinir la distribution des fibres dans le composite. Rudd et al. [38] pr´esentent un mod`ele g´eom´etrique 2D de tricot jersey permettant d’obtenir l’orientation de la m`eche dans le composite pour pr´edire ses propri´et´es m´ecaniques. La structure de la maille se compose de segments de droite et d’arcs de cercle et la g´eom´etrie est calcul´ee `a partir de la hauteur, la largeur et le rayon de la boucle (respectivement H, P et r sur le sch´ema de la figure 1.30.b) Leur mod`ele ne prend pas en compte le croisement entre les mailles. Dans la mˆeme optique, Ruan et al. ont d´evelopp´e un mod`ele g´eom´etrique d’un tricot jersey compos´e d’arcs de cercles et de segments mais prenant en compte l’entremˆelement des mailles (Figure 1.30.c) et un mod`ele g´eom´etrique d’un tricot cˆote [11].
(a) (b)
(c)
Figure 1.30 − Repr´esentation g´eom´etrique d’un tricot jersey par le mod`ele de (a) Leaf et Glaskin [51], (b) Rudd et al. [38] et (c) Ruan et al.[11]
1.5.2 Mod´elisation m´ecanique de la maille
Une autre approche consiste `a mod´eliser la maille jersey en prenant en compte les forces et couples qui s’exercent sur la maille lorsqu’elle est `a son ´etat d’´equilibre. Le tricot est consid´er´e comme une s´erie de boucles entremˆel´ees produisant des efforts de r´eactions entre elles au niveau des zones de contact entre les mailles adjacentes. Dans le but de pr´edire les param`etres g´eom´etriques des tricots en fonction des caract´eristiques de la fibre, diff´erents auteurs du domaine du textile ont suivi cette approche [54, 55, 56, 57, 58]. L’´etat d’´equilibre de la maille est consid´er´e lorsque aucune force ext´erieure n’est exerc´ee sur le tricot et que les forces internes au tricot sont en ´equilibre. Lorsque le tricot est `a l’´etat relax´e, il est suppos´e qu’il n’existe aucune tension dans le fil et que seules des forces de flexion g´en´er´ees par le fil qui tend `a se redresser persistent, d´eterminant la configuration de la maille. Les efforts entraˆınant la flexion du fil sont cr´e´es par l’interaction entre les mailles adjacentes. En isolant une maille, cette
interaction est repr´esent´ee par un effort dans la zone de contact. Le fil est consid´er´e comme un cylindre ´elastique homog`ene. Postle et Munden [54, 55] ont suivi cette approche en 2 dimensions, en assimilant les efforts de r´eaction `a une force horizontale localis´ee en un point (Figure 1.31.a) et en 3 dimensions en assimilant ces efforts `a une force horizontale et `a un couple agissant selon un axe perpendiculaire au plan du tricot. Le mod`ele permet d’obtenir les diff´erentes configurations possibles de la maille en fonction du rapport entre la longueur de fil par maille et le diam`etre du fil (l/dm) qu’ils d´eterminent exp´erimentalement. Shanahan
et Postle [56] ont utilis´e le mˆeme mod`ele (Figure 1.31). Dans leur cas le rapport l/dm est
d´etermin´e th´eoriquement en consid´erant la configuration de la maille la plus stable, c’est `a dire celle qui n´ecessite le minimum d’´energie pour rester `a son ´etat d’´equilibre.
(a) (b)
Figure 1.31 − Repr´esentation de la force appliqu´ee sur la maille `a l’´etat de relax´e dans le mod`ele de (a) Postle et Munden en 2D [54], (b) de Shanahan et Postle en 3D [56]
Hepworth et al. [57] ont suivi la mˆeme d´emarche sur une g´eom´etrie de maille tridimension- nelle. Dans leur cas, les efforts produits dans la zone de contact entre deux mailles adjacentes sont assimil´es `a deux forces r´esultantes concentr´ees en deux points de la zone de contact. Ils prennent ´egalement en compte les efforts au niveau des zones de contact lorsque la maille est serr´ee en configuration de blocage (lorsque les pieds d’une mˆeme maille sont en contact ou lorsque la tˆete d’une maille est en contact avec les pieds de la maille adjacente).
1.5.3 Mod´elisation du comportement de textiles tricot´es
1.5.3.1 Mod`eles analytiques
Diff´erentes ´etudes ont ´et´e consacr´ees `a la mod´elisation analytique du comportement de textiles tricot´es en traction uniaxiale et biaxiale. Ces ´etudes sont bas´ees sur le fait que la d´eformation du tricot est due au changement de configuration de la maille par flexion du fil. Les premi`eres ´etudes proviennent du milieu textile. MacRory et al. [59] proposent un mod`ele th´eorique pour repr´esenter la d´eformation d’un tricot jersey lorsqu’il est sollicit´e en traction biaxiale en prenant en compte le frottement entre les mailles adjacentes et la g´eom´etrie de la
zone de contact. Shanahan et Postle [60, 61] ont utilis´e l’approche de mod´elisation m´ecanique de la maille pour d´eterminer la courbe initiale d’effort-d´eformation d’un jersey en laine. La mod´elisation dans la direction rang´ee du tricot [60] est bas´ee sur le mod`ele 2D de Postle et Munden de la figure 1.31.a. La mod´elisation dans la direction colonne [61] est bas´ee sur leur mod`ele 3D de maille au repos de la figure 1.31.b. Dans les deux cas, les courbes d’effort-d´eformation sont obtenues en faisant varier les valeurs de l’effort P appliqu´e sur la maille. Les valeurs obtenues en direction rang´ee sont en accord avec l’exp´erience. Dans le cas de la traction colonne, les courbes th´eoriques se situent en dessous des courbes exp´erimentales puisque le frottement entre les mailles adjacentes n’a pas ´et´e pris en compte. Cette ´etude a permis de mettre en ´evidence l’influence du frottement entre les m`eches.
Par la suite, les propri´et´es d’effort-d´eformation de textiles tricot´es techniques pour des applications composites ont ´et´e ´etudi´ees. Hong, Ara´ujo et al. [21, 62] ont suivi une approche similaire `a celle de Shanahan et Postle en proposant une analyse th´eorique bas´ee sur la th´eorie de l’´elasticit´e pour pr´edire la premi`ere phase du comportement en traction des tricots jersey avant blocage des mailles qui correspond `a la d´eformation structurale de la maille (Figure 1.20.a) dans les directions colonne et rang´ee d’un tricot jersey `a base de fibres de verre. Leur analyse s’effectue en isolant un quart de maille (Figure 1.32). la configuration au repos est calcul´ee `a partir des param`etres g´eom´etriques de la maille. Dans leur mod`ele, la d´eformation est impos´ee en augmentant la hauteur ou la largeur de maille et les courbes d’effort-d´eformation sont obtenues en calculant l’effort qui doit ˆetre appliqu´e `a la maille pour obtenir la nouvelle configuration. Les r´esultats qu’ils obtiennent sont en bon accord avec l’exp´erience.
Figure 1.32 − Repr´esentation de la CER et des forces appliqu´es sur le quart de maille isol´e du mod`ele de Ara´ujo [21]
Lim et al. se sont int´eress´es `a la mod´elisation analytique de la formabilit´e des textiles tricot´es par emboutissage et ´etirage [24, 25, 26, 27].
1.5.3.2 Mod`eles num´eriques
Wu et al. [63] et Ara´ujo et al. [64] proposent un mod`ele ´el´ements finis, dans lequel la maille est repr´esent´ee en 2D par une structure en treillis hexagonale. Ce mod`ele permet de caract´eriser le comportement en traction du textile et ´egalement de simuler la d´eformation dans le plan du tricot dans une ou plusieurs directions et la d´eformation hors plan, pour simuler par exemple le drapage du tricot dans un moule avec une forme h´emisph´erique. Hagege
[15] a mis au point un mod`ele permettant de caract´eriser num´eriquement le comportement m´ecanique en grande transformations d’une maille jersey `a partir de sa mod´elisation ´el´ements finis 3D. Ce mod`ele vise `a s’inscrire dans une d´emarche de simulation de la formabilit´e par emboutissage des renforts tricot´es analogue `a celle des textiles tiss´es [65].