4. Mod` eles pour les ressources
4.2 Mod´elisation de l’eau dans le sol
rencontr´es pendant les tests du prototype 2 de simulateur.
Historiquement, c’est d’ailleurs ainsi que tout a commenc´e. Les mod`eles de res-sources expos´es ici ont ´et´e d´evelopp´es les premiers suite `a l’observation des prototypes. C’est seulement apr`es que la n´ecessit´e d’un formalisme minimal de synchronisation de la simulation, non seulement pour les ressources mais pour toutes les informations circulant entre les Mod`eles, nous est clairement apparue.
4.2 Mod´elisation de l’eau dans le sol
Compte-tenu de notre focalisation sur les plantes et leur interaction avec l’envi-ronnement biophysique, la mod´elisation du cycle de l’eau, et plus sp´ecifiquement du comportement de l’eau dans le sol, ´etait indispensable.
Cependant, notre but n’´etait pas d’´etudier sp´ecifiquement un mod`ele d´etaill´e et pleinement r´ealiste de sol, mais plutˆot d’int´egrer certaines notions cl´es dans un mod`ele simplif´e pour ´etudier les possibilit´es d’interaction. En ce sens, cette partie de la th`ese d´ecrit seulement un mod`ele tr`es simpliste et qui serait `a d´evelopper bien davantage pour des applications pratiques.
4.2.1 Equation de Richards
L’´equation fondamentale d´ecrivant l’´evolution du contenu en eau du sol dans des conditions non-satur´ees est l’´equation de Richards (introduite dans [Richards(1931)] et reprise par d’innombrables chercheurs depuis, par exemple [Witelski(2005)]). Sa forme mono-dimensionnelle est :
∂θ ∂t = ∂ ∂z K(ψ)(∂ψ ∂z − 1) (4.30) o`u θ (sans dimension) est la proportion volumique d’eau dans le sol, ψ(m) est la succion du sol (n´egative dans des sols non satur´es), z(m) est la profondeur (positive vers le bas) et K(ψ)(m.s-1) est la conductivit´e hydraulique du sol.
Le comportement de cette ´equation d´epend des deux fonctions K(ψ) (courbe de conductivit´e) et θ(ψ) (courbe de r´etention). Plusieurs mod`eles empiriques de ces courbes ont ´et´e propos´es pour ajuster le comportement mesur´e de sols r´eels (voir [Kosugi et al.(2002)]). Les meilleurs donnent des ´equations non-lin´eaires qui doivent ˆetre r´esolues num´eriquement avec grand soin.
De notre cˆot´e, nous avons choisi le mod`ele le plus simple, toujours dans le but d’´etudier les interactions des mod`eles plutˆot que leurs complexit´es internes.
On d´efinit d’abord un contenu en eau normalis´e θe : θe= θ − θr
θs− θr
o`u θs est la valeur de θ dans un sol satur´e, et θr est un param`etre ajust´e qui peut ˆetre interpr´et´e comme le contenu en eau r´esiduel lorsque le sol est sujet `a une d´epression extrˆeme.
Inspir´e par [Kosugi et al.(2002)], on mod´elise la courbe de r´etention d’eau ainsi : θe(ψ) = exp(λ(ψ − ψd)) , ψ < ψd
1 , ψ ≥ ψd
(4.32) o`u λ(m-1) est un param`etre ajust´e, et ψd est appel´ee valeur d’entr´ee d’air (air-entry
value).
On choisit aussi une conductivit´e propotionnelle `a θe :
K(θ) = K0(θs− θr)θe (4.33)
L’´equation de Richards (4.30) devient alors : ∂θe ∂t = K0 λ ∂2θe ∂z2 − K0∂θe ∂z (4.34)
qui est une classique ´equation d’advection-diffusion. Ce mod`ele tr`es simple est celui qui a ´et´e utilis´e pour le second prototype de simulateur.
Bien entendu ce mod`ele unidimensionnel peut se g´en´eraliser `a plusieurs dimensions pour inclure la diffusion lat´erale de l’eau.
4.2.2 Description compatible avec le formalisme de comp´etition
La r´eflexion sur la mod´elisation de l’eau dans le sol a eu plusieurs cons´equences pratiques sur les prototypes de simulateurs.
D’abord elle apporte une justification au mod`ele diffusif utilis´e dans le premier pro-totype de paysage fonctionnel. La seule imperfection est que ce propro-totype n´egligeait compl`etement l’advection dans le sol. Le second prototype, lui, int´egrait l’advection et la diffusion sur la dimension verticale, mais n´egligeait la diffusion lat´erale entre les cel-lules, se reposant enti`erement sur le ruissellement pour obtenir ces transferts lat´eraux. Ceci est justifiable si on consid`ere que les cellules sont bien plus grandes horizontale-ment que verticalehorizontale-ment, ce qui revient `a dire que des couches imperm´eables de sol se situent relativement pr`es de la surface. N´egliger la diffusion lat´erale nous permettait aussi de gagner un temps de calcul assez significatif, car le premier prototype avait clairement fait apparaˆıtre le coˆut important d’un calcul tridimensionnel complet.
L’autre enseignement, plus important dans le cadre de travail de l’´equipe, est que le potentiel hydrique est une variable significative utile pour mod´eliser l’interaction plantes-sol. Il permet de s’affranchir des caract´eristiques du sol et de ne se baser que sur ce que « per¸coit » r´eellement la plante. Ceci est d´etaill´e plus loin dans la section 5.6.1.
Pour formaliser cet aspect on a eu besoin de d´efinir un Mod`ele qui traduit nos entr´ees-sorties standards pour les ressources en potentiel hydrique. C’est un Mod`ele
4.2. Mod´elisation de l’eau dans le sol 69 transitoire pur, qui a pour entr´ees les disponibilit´es en ressources A et F , le param`etre λ du sol, et qui a pour sortie le potentiel hydrique ψ. En n´egligeant la valeur d’entr´ee d’air, qui est g´en´eralement petite, on trouve en inversant l’´equation (4.32) :
ψ = log(θe)
λ (4.35)
Il ne reste plus qu’`a calculer θe, ce qui est facile `a partir des valeurs A et F : θe = A A + F (4.36) Soit au final : ψ = log A A+F λ (4.37)
C’est ce Mod`ele qui a ´et´e utilis´e pour les illustrations d´etaill´ees au 6.1 et 6.3. Il rend possible le couplage entre les Mod`eles de ressources et de comp´etition d´ecrits dans ce chapitre et le Mod`ele de plante d´etaill´e dans le chapitre suivant.