Mod´ elisation g´ eom´ etrique

Dans la partie pr´ec´edente, nous avons abord´e la mod´elisation de la chaˆıne cin´ematique du corps humain. Nous nous sommes attach´e `a mod´eliser l’ensemble des

82 4.2 Mod´elisation g´eom´etrique

d.d.l. du squelette. Pour effectuer le suivi, nous avons besoin d’une repr´esentation volu-mique ou surfacique du mod`ele. Dans le chapitre 2, au paragraphe 2.3.4.2, nous avons abord´e une description de diff´erents mod`eles g´eom´etriques utilis´es dans les travaux pr´ec´edents. Nous allons maintenant expliciter et justifier notre choix.

Notre Choix La m´ethode de suivi de mouvement que nous avons mis en place est une technique utilisant la projection du mod`ele dans les images. Or une surface 3D se projette dans les images sous la forme de contours. Nous avons donc besoin de primitives dont la projection dans les images soit assez simple et dont les contours apparent (dans l’image) rendent compte au mieux de la morphologie humaine. Les contours les plus simples ´etant des droites dans les images, notre choix s’est naturellement port´e sur des quadriques d´eg´en´er´ees comme les cylindres ou les cˆones. Les cylindres ou cˆones `a base circulaire n’´etant pas ad´equats pour mod´eliser certaines parties du corps comme le torse, nous avons d´ecid´e d’utiliser descˆones tronqu´es dont la base a une forme elliptique. La projection de ces cˆones dans les images sont des segments de droite, comme nous le verrons dans le paragraphe 4.3.

Nous ne mod´elisons que les parties visibles du corps humain. Nous avons donc un squelette comportant vingt et un segments mais une mod´elisation g´eom´etrique compor-tant dix sept primitives. A ces dix sept primitives, nous rajoutons le bout des doigt, les chevilles, les ´epaules et le sommet du crˆane, soit un total de vingt quatre primi-tives pour la mod´elisation g´eom´etrique compl`ete. Pour des raisons de temps de calcul et de complexit´e, nous utilisons pour des s´equences simples le mod`ele comportant 17 primitives. Le mod`ele complet a ´et´e ´elabor´e avec Lo¨ıc Lefort et Franck Multon, sur des bases de mod`eles approchant au mieux les contraintes anatomiques. Enfin, les primitives ne sont pas jointives sur le mod`ele 3D (c.f. figure 4.6). La mod´elisation au niveau des articulations n’est pas d´efinie dans notre mod`ele. Ce choix est li´e au fait qu’au niveau des articulations, les contours extraits dans les images ne sont pas bien d´efinis. Nous ne mod´elisons donc l’acteur que pour les parties rigides du corps. C’est sur ces parties ri-gides (torse inclus) que les contours d´etect´es sont les moins ambigu¨es. Plus pr´ecis´ement, la difficult´e au niveau des articulations est par exemple de d´eterminer `a quelle partie du corps appartient le contour d´etect´e dans l’image. En pratique, nous ne constatons pas de d´egradation du suivi du fait que les primitives ne soient pas jointives.

4.2.1 Param´etrage des surfaces

Nous avons choisi de mod´eliser toutes les parties du corps `a l’aide de cˆones elliptiques, qui sont des surfaces d´eveloppables. Nous verrons dans la section 4.4 l’importance de ce choix, qui permet d’exprimer le mouvement des contours apparents. Dans certains cas, ce choix n’est pas id´eal. Bien que nous ne les ayons pas utilis´es, nous pr´esentons en annexe l’extension aux cas des ellipso¨ıdes.

Nous pr´esentons maintenant le param´etrage que nous utiliserons tout au long de l’expos´e pour d´ecrire et utiliser les cˆones lors de la capture du mouvement. Le lecteur pourra noter que, tout comme les ellipso¨ıdes, les cˆones sont des surfaces quadriques.

Mod´elisation du corps humain 83

Fig. 4.6: Chacune des parties du corps humain est mod´elis´ee par un ou plusieurs cˆones elliptiques tronqu´es. Nous donnons ici la repr´esentation simple et la repr´esentation compl`ete du mod`ele 3D utilis´e pour effectuer le suivi du mouvement. Sur le mod`ele complet, nous avons rajout´e les ´epaules, le bout des doigts, les chevilles et le sommet du crˆane.

L’extension que nous proposons dans l’annexe B.2 permet de faire ressortir des simila-rit´es dans le param´etrage et la projection de ces surfaces dans les images.

Les cˆones sont aussi une sous-classe de surfaces dites r´egl´ees et plus particuli`erement de surfaces d´eveloppables. Nous allons aborder le param´etrage des cˆones vu sous l’angle des surfaces r´egl´ees. Nous n’aborderons pas ici le th`eme du param´etrage de ces surfaces de mani`ere g´en´erale, nous ne donnerons que le param´etrage que nous avons utilis´e au cours de cette th`ese. Pour plus de d´etails sur le param´etrage des surfaces, le lecteur pourra se r´ef´erer `a [42] ou encore [87].

D´efinitions

Surface r´egl´ee : Une surface r´egl´ee est une surface dont tout point X peut ˆetre pa-ram´etr´e de la mani`ere suivante :

X(u, v) =α(u) +vβ(u) (4.2) o`u α est un point 3D et β est un vecteur, et o`u donc le couple (α(u),β(u)) d´ecrit une droite param´etr´ee paru. D’autre part, α etβdoivent ˆetre continus et d´erivables par rapport `au.

Courbure Gaussienne : La courbure gaussienne d’une surface peut ˆetre d´efinie en utilisant les coefficients de la premi`ere et de la seconde forme fondamentale de la

84 4.2 Mod´elisation g´eom´etrique surface : l(du, dv) = dX ·dX = g_uudu²+g_uvddv+g_vvdv² (4.3) ll(du, dv) = d²X ·n = Luud²u+Luvdudv+Lvvd²v, (4.4) o`u nd´esigne le vecteur normal au pointX et est donn´e par la formule suivante :

n= ^∂X

∂v ×^∂X

∂u ^=Xv×X_u. (4.5) Ces deux formes fondamentales sont des d´efinitions tr`es utiles et permettent de d´eduire des m´etriques sur les surfaces. Pour plus de d´etails, le lecteur pourra se r´ef´erer `a [42] (pages 92-99 et page 141).

La courbure gaussienneK est donn´ee par la formule suivante :

K= ^LuuLvv−Luv

g_uug_vv−g_uv ^{. (4.6)}

Si nous consid´erons le param´etrage de la surface r´egl´ee d´efinie avec l’´equation (4.2), nous avons : n = ( ˙α(u) +vβ(^˙ u))×β, g_uu = ( ˙α(u) +vβ(^˙ u))^⊤( ˙α(u) +vβ(^˙ u)), g_uv = 2( ˙α(u) +vβ(^˙ u))β, g_vv = β(u)², Luu = ( ¨α(u) +vβ(^¨ u))^⊤( ˙α(u) +vβ(^˙ u))×β, L_uv = det( ˙ α β _β˙ ) (∗), L_vv = 0,

o`u la notation (˙) repr´esente la d´eriv´ee par rapport `auet (¨) est la d´eriv´ee seconde par rapport `au.

(∗) est obtenue en consid´erant les ´etapes suivantes :

Luv = 2 ˙β·( ˙α(u) +vβ(^˙ u))×β = 2 ˙β·α(˙ u)×β+ 2vβ^˙ ·β(^˙ u)×β | {z } 0 = det( ˙ α β _β˙ )

Surface d´eveloppable : Une surface d´eveloppable est une surface r´egl´ee dont la cour-bure gaussienne est nulle. En consid´erant les expressions pr´ec´edentes, la condition

Mod´elisation du corps humain 85

K = 0 est ´equivalente `aL_uv= 0 ou encore det( ˙

α β _β˙

) = 0. Cette contrainte est v´erifi´ee si l’un des trois vecteurs est une combinaison lin´eaire des autres. Nous pouvons alors choisir ˙α =aβ+bβ. Nous obtenons ainsi une nouvelle expression^˙ pour la normale `a la surface :

n= (1 +bv) ˙β×β (4.7) Dans la suite, nous aurons besoin seulement de la direction de la normale n. Nous pouvons donc ignorer le facteur d’´echelle (1+bv). La direction de la normale `a la surface ne d´epend que deβ et ˙β, et donc uniquement du param`etre u. Nous verrons que cette propri´et´e est importante dans la suite de l’expos´e.

Application au cˆone : Le cˆone est une surface d´eveloppable. Nous pouvons donc param´etrer le cˆone de la mani`ere suivante :

α(u) =   ^ab^cos(sin(u^u)⁾ 0   et β(u) =   ^akbk^cos(sin(u^u)⁾ 1   . (4.8)

a,bsont les demi-axes majeur et mineur du cˆone, etk=−¹_l (c.f. figure 4.7). En g´en´eral, nous posons u=θet v=z.

(a) (b)

Fig. 4.7: (a) Un cˆone elliptique tronqu´e peut ˆetre d´ecrit par 4 param`etres : les demi petit et grand axes de la base, la hauteur du cˆone et le demi grand axe du sommet. (b) Un point de la surface est param´etr´e par θetz.

La forme param´etrique d’un cˆone devient donc :

X(θ, z) =   a(1 +kz) cos(θ) b(1 +kz) sin(θ) z  . (4.9)

86 4.3 La projection du mod`ele

Apr`es simplification du facteur commun (1 +kz), la normale en tout point de la surface du cˆone a pour coordonn´ees :

n(θ, z) =   bcos(θ) asin(θ) −abk  . (4.10)

La direction de la normale au cˆone est donc bien ind´ependante de la hauteur z.

La forme param´etrique du cˆone ´etant relativement simple, nous utiliserons celle-ci dans les d´eveloppements math´ematiques que nous allons aborder maintenant.