Mod´elisation du compresseur centrifuge

30 40 50 60 70 80 Vitesse (tr/min) Débit (g/s) Simulation Expérimentale

Figure 2.13. Rendement volum´etrique du compresseur `a double vis par simulation et par ´exp´eri-mentation

Ensuite, deux ´echelons de vitesse sont appliqu´es au syst`eme pour valider le mod`ele en dynamique Fig.2.14. L’erreur entre la vitesse issue du mod`ele et la vitesse r´eel est inf´erieur `a 1%. Les r´eponses des d´ebits `a des ´echelons sont pr´esent´es sur la Fig.2.15. En r´egime dynamique le d´ebit en exp´erimentation est plus lent que le d´ebit en simulation. Cette diff´erence est due au temps de r´eponse du d´ebitm`etre. Malgr´e ce retard en r´egime statique, les deux d´ebits se rejoignent, ce qui valide la mod´elisation effectu´ee.

2.4.2 Mod´elisation du compresseur centrifuge 2.4.2.1 Mod´elisation

Dans cette partie, une mod´elisation du compresseur centrifuge est ´etablie. Le compres-seur centrifuge est de la famille turbo-machine. Le comprescompres-seur utilis´e sur le banc d’essai est fabriqu´e par la soci´et´e ROTREX. Le syst`eme d’alimentation en air est ´equip´e d’un

2.4. MOD ´ELISATION DES COMPRESSEURS 53 0 10 20 30 40 50 60 70 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 Temps (s) Vitesse (tr/min) Simulation Expérimentation

Figure 2.14. Variations de la vitesse du compresseur `a double vis en simulation et en ´exp´eri-mentation

circuit de lubrification et un refroidisseur. Le moteur utilis´e est le mˆeme que dans le cas du compresseur `a double vis. Le banc d’essai est pr´esent´e sur la Fig.2.16.

La vitesse maximale de la roue `a aube du compresseur peut atteindre 200.000 tr/min. Ainsi, la vitesse angulaire de l’arbre du compresseur est limit´ee `a 15.900tr/min. Celui-ci est calcul´e par le coefficient de r´eduction du compresseur, donn´e par le constructeur ´egal `

a12, 7. La rotation du compresseur est effectu´ee par le moteur, `a l’aide d’une courroie et d’une poulie. Le compresseur poss`ede une poulie d’un diam`etre de60mm. Sachant que la vitesse angulaire maximale du moteur est de12.000tr/min, le diam`etre de la poulie est de 90mm ce qui donne un rapport de r´eduction de 1, 5. Cela limite le moteur `a une vitesse angulaire de 10.600 tr/min. La relation entre la vitesse angulaire du compresseur ωc p et du moteurω_cm est donn´ee comme suit :

ω_{c p} = krω_cm, (2.76)

0 10 20 30 40 50 60 70 0 5 10 15 20 25 30 35 Temps (s) Débit (g/s) Simulation Expérimentation

Figure 2.15. Variations du d´ebit du compresseur `a double vis en simulation et en ´exp´erimentation

De mˆeme que pour la mod´elisation du compresseur `a double vis, deux grandeurs sont mod´elis´ees : le d´ebit d’air du compresseur et son rendement. Le d´ebit d’air est mod´elis´e par la m´ethode pr´esent´ee dans [66] et [103]. Ce type de mod´elisation est d´edi´e aux turbo-machines, et plus sp´ecifiquement pour les compresseurs centrifuges. Afin de standardiser le principe de mod´elisation dans les mˆemes conditions (temp´erature et pression), il est imp´eratif de corriger les valeurs mesur´ees. D’apr`es [31] les valeurs corrig´ees sont la vitesse angulaire du compresseur (Ncr) en (tr/min) et le d´ebit d’airWcr en (en kg/s). Ces valeurs corrig´ees sont utilis´ees dans la cartographie du compresseur. Elles sont donn´ees par :

Ncr = ^Np^{c p} θ ^, Wcr = Wc p p θ δ ^, (2.77)

Nc p est la vitesse angulaire du compresseur, Wc p est le d´ebit d’air du compresseur, δest le terme de correction de la pression etθ est le terme de correction de la temp´erature.

2.4. MOD ´ELISATION DES COMPRESSEURS 55

Moteur Compresseur centrifuge

Refroidisseur Capteur de pression Débitmètre

Lubrificateur

Figure 2.16. Banc d’essai du compresseur centrifuge

En utilisant la m´ethode [66], un param`etre principale doit ˆetre d´efini, et il est donn´e :

ψ = CpTc p,i n " µpc p,out pc p,i n ¶γ−1 γ − 1 # 1 2U_c^{2 ,} (2.78)

o`uCpest la chaleur sp´ecifique,Tc p,i nest la temp´erature `a l’entr´ee du compresseur etpc p,i n

etp_{c p,out} sont les pressions en amont et en aval du compresseur respectivement.U_c est la vitesse lin´eaire ; Elle est calcul´ee en fonction de la vitesse angulaire du compresseur corrig´e

Ncr :

U_c = ^π 60^dcNcr

p

θ, (2.79)

o`udc est le diam`etre de l’arbre du compresseur.

Le d´ebit normalis´e du compresseur est d´efini comme suit : Φ = _π ^Wcr

4^ρad

2

cU_c

, (2.80)

Le param`etre principalψet le rendement du compresseurηc p sont exprim´es en fonction de_Φpar les relations suivantes :

ψ = ^{k1+ k2Φ}

k3− Φ ^{, ki = ki 1+ ki 2M , i = 1,2,3,}

ηc p = a1Φ²+ a2Φ+ a3, ai = ^{ai 1+ ai 2M}

ai 3− M ^{, i = 1,2,3.}

(2.81)

Les coefficients k eta sont d´etermin´es par la m´ethode des moindres carr´es, bas´ee sur des donn´ees exp´erimentales et ils sont des fonctions polynomiales en fonction du param`etre

M. Ce dernier est donn´e par :

M = ^Uc

pγRaT_{c p,i n}^. (2.82) Les relev´es des donn´ees exp´erimentales ont ´et´e pris en fixant la vitesse angulaire du moteur tout en variant la pression `a la sortie du compresseur. Les coefficients d´eduits sont donn´es par :

k11 = −0,0750 , k12 = 1,8815,

k21 = −0,8333 , k22 = −3,2360,

k31 = −0,0082 , k32 = 0,9977,

(2.83)

a11 = −2,5344 , a12 = 28,4594 , a13 = −1,3733,

a21 = 0,9564 , a22 = −9,6470 , a23 = −0,9467,

a31 = −0,0372 , a32 = 0,1166; , a33 = 1,8831.

(2.84)

Le rendement du compresseur est trac´e sur la Fig.2.17. Sachant que le d´ebit corrig´e du compresseur est ´egal `a :

Wcr = ^π₄Φρad_c²Uc. (2.85)

2.4.2.2 Validation du mod`ele

Afin de valider la mod´elisation propos´ee, deux ´etapes de validation sont effectu´ees : validation statique et validation dynamique. La validation statique consiste `a mesurer le d´ebit tout en fixant la vitesse angulaire du moteur et en variant lentement la pression `a la sortie du compresseur. La Fig.2.18 pr´esente une comparaison entre les r´esultats d’exp´eri-mentation et de simulation. D’apr`es la Fig.2.18, les deux courbes sont proches, avec une erreur inf´erieure `a 5%.