Mod`eles al´eatoires

On peut les regrouper en deux grandes parties, les mod`eles avec marches

al´eatoires et les mod`eles stochastiques.

2.4.1 Marche al´eatoire

Une des caract´eristiques des populations est qu’en g´en´eral, pour connaˆıtre

l’´evolution de cette derni`ere, il suffit de connaˆıtre son ´etat `a l’instant pr´esent.

Il n’est donc absolument pas n´ecessaire de connaˆıtre tout ce qui s’est fait

ant´erieurement. Cette propri´et´e, qu’on appelle propri´et´e de Markov, est

sou-vent utilis´ee dans certains types de mod´elisation - au moyen notamment, de

la marche al´eatoire - pour d´ecrire les d´eplacements spatiaux des individus.

En supposant que les d´eplacements d’individus se font de mani`ere al´eatoire,

l’un des moyens les plus simples pour les d´ecrire est la marche al´eatoire

simple.

Soit un espace mod´elis´e par le r´eseau Z

^d

et un individu qui, `a partir d’un

point x, peut aller vers chacun de ses voisins imm´ediats de deux mani`eres

possibles :

· Soit avec la mˆeme probabilit´e, c’est-`a-dire qu’on suppose qu’il y a

´equiprobabilit´e pour qu’il aille vers chacun de ses voisins imm´ediats ;

on parle alors de marche al´eatoire sym´etrique,

· Soit avec des probabilit´es diff´erentes, on parle alors de marche al´eatoire

non-sym´etrique.

Nous avons ainsi les mod`eles classiques de Greenwod (1931) et le mod`ele de

Reed-Frost, qui sont tous deux de type chaˆıne binomiale. Dans ces mod`eles,

on trouve des g´en´erations successives d’infectieux d’indicet= 0,1,2, ...,qui

sont juste capables de contaminer une unique g´en´eration de susceptibles.

Par la suite, ils ne participent plus au processus de l’´epid´emie. Supposons

que la taille de la population soit ´egale `a n, une constante.

SoientX(t) etY(t), les nombres respectifs de susceptibles et d’infectieux de

la g´en´eration t. On a donc, comme condition initiale : X(0) +Y(0) = n;

X(t+ 1) +Y(t+ 1) = X(t), t = 0,1,2, ... puisque les infectieux et les

susceptibles de la g´en´erationt+1 sont vus comme ´etant issus des susceptibles

de la g´en´erationt. Alors :

X(t) +

t

X

j=0

Y(j) =n

et le nombre total d’infect´es, y compris ceux de la g´en´erationt, estP

t

j=0

Y(j).

On suppose que le nombre d’infectieux de la g´en´eration t+ 1 est une

va-riable al´eatoire qui suit une loi binomiale de param`etres X(t) et p(Y(t)),

cette derni`ere ´etant la probabilit´e qu’un susceptible soit infect´e, lorsque le

nombre d’infectieux estY(t). Alors :

P(Y(t+ 1) =k|X(t) =x, Y(t) =y) =

x

y

p(y)

^k

(1−p(y))

^x−k

,

pour k= 0,1, ..., x.

Dans le mod`ele de Greenwood, p(y) est une constante ne d´ependant pas

du nombre d’infectieux y. Dans le mod`ele de Reed-Frost, on suppose que

la probabilit´e de tout susceptible de ne pas ˆetre infectieux, lorsqu’il y a y

infectieux, est ´egale `a :

1−p(y) = (1−p)

^y

o`u p = p(1) est la probabilit´e, pour un susceptible, d’ˆetre infect´e par un

infectieux donn´e. C’est un mod`ele qui a plusieurs fois ´et´e r´eadapt´e. Il a ´et´e

utilis´e pour l’analyse des donn´ees de la m´eningococcie

¹²

, par Rantaet al.,

1999. Il a ´et´e intensivement utilis´e pour l’analyse d’´epid´emies agricoles, telles

que l’´epid´emie de fi`evre aphteuse au Japon (cf. Tsutsui et al., 2003), de la

tuberculose chez les vaches laiti`eres en Argentine (cf. Perez et al., 2002a et

2002b) et chez les cerfs su´edois (cf. Wahlstrom 1998). Dans le mˆeme cadre,

Tuckwell et Williams (2007) ont explor´e et ´etudi´e les propri´et´es d’un mod`ele

´epid´emique simple, qui incorpore certaines caract´eristiques importantes de

la transmission d’une maladie, dans le cadre de la mod´elisation stochastique

`

a temps discret. Leur mod`ele est semblable `a celui de Reed-Frost, mais

il a quelques modifications qui le rendent plus r´ealiste et plus adaptable

`

a diff´erentes maladies. Le mod`ele est de type SIR markovien, `a population

constante, dans lequel les individus rencontrent un nombre al´eatoire d’autres

individus par unit´e de temps. Dans le mˆeme genre, et apr`es le d´eveloppement

de leur mod`ele de transmission du paludisme et ind´ependamment de ce

dernier, Gaudartet al.(2009) ont con¸cu un mod`ele environnemental `a l’aide

des chaˆınes de Markov cach´ees.

2.4.2 Les mod`eles stochastiques

Introduit en 1827 par Robert Brown, botaniste anglais, afin de permettre

la description du mouvement des particules de pollen, le mouvement

brow-nien a longuement ´et´e ´etudi´e par la suite, notamment en finance, o`u il sert

entre autres `a mod´eliser le prix des actions en bourse. En ´epid´emiologie, le

mouvement brownien sert `a mod´eliser la part de hasard existant dans le fait

qu’un individu donn´e soit atteint d’une maladie plutˆot qu’un autre.

Rappelons que bien que Bartlett (1949) ait d´ej`a soulign´e le besoin de

stochas-ticit´epour compl´eter les mod`eles d´eterministes existants, ce terme brownien

ne fut introduit par Bailey qu’en 1950.

Notons ´egalement que ˆIto a d´evelopp´e une th´eorie sur le calcul stochastique

en 1940, qui dit la chose suivante :Soit un processus dit de ˆIto, c’est-`a-dire

un processus de la forme :

X

_t

=X

₀

+

Z

t 0

µ

_s

ds+

Z

t 0

σ

_s

dB

_s

qui peut se reformuler de la mani`ere suivante :

dX

t

=µ

t

dt+σ

t

dB

t

o`u µ

t

et σ

t

sont des fonctions al´eatoires satisfaisant quelques hypoth`eses

techniques d’adaptation au processus brownienB

_t

.

Si f(X

t

, t) est une fonction de classe C

²

(R×R,R) alors la formule d’ˆIto

s’´ecrit

df(X

t

, t) = ^∂f

∂t^(X

^t

^{, t)dt+}

∂f

∂x^(X

^t

^{, t)dX}

^t

⁺

1

2

∂

²

f

∂x

2

(X

t

, t)σ

t

dt

A titre d’exemple, Ball et Neal (2002) ont travaill´e sur un mod`ele ´epid´emique

stochastique SIR, avec une population suppos´ee constante au cours du temps

et dans laquelle, pendant la p´eriode infectieuse, un individu fait des

ren-contres `a la fois globales et locales. Le concept de ”clump” (bouquet

infec-tieux local) et d’ensemble de susceptibilit´e locale, sont utilis´es pour d´evelopper

une approche unifi´ee du comportement seuil de cette classe de mod`eles

´epid´emiques. En particulier, un param`etre seuil est introduit, d´ecidant,

sui-vant sa valeur, R

_∗

, si oui ou non, on aura une ´epid´emie globale. La

pro-babilit´e qu’une ´epid´emie globale apparaisse et la proportion moyenne de

susceptibles `a l’´etat initial finalement infect´es par l’´epid´emie globale sont

´egalement calcul´es par Ball et Neal. Mao et al. (2003) ont eux, ´etudi´e un

processus stochastique, issu du processus d´eterministe de Lotka-Voltera. La

version stochastique de ce processus semble avoir des propri´et´es beaucoup

plus int´eressantes que son homologue d´eterministe. En effet, le fait que

l’ex-plosion potentielle d’une population d´eterministe puisse ˆetre empˆech´ee par

la pr´esence d’une petite quantit´e de bruit dans l’environnement, montre le

niveau ´elev´e de la diff´erence qui existe entre ces deux repr´esentations. Dans

le mˆeme ordre d’id´ees, Dalalet al.(2007) ont introduit la stochasticit´e dans

un mod`ele concernant le SIDA et l’utilisation de pr´eservatif, au moyen d’un

bruit blanc additif, ce qui est une technique standard dans la mod´elisation

stochastique de population. Ils montrent que le mod`ele ´etabli poss`ede des

points d’´equilibre non n´egatifs, comme souhait´e dans toute dynamique de

population. Ils effectuent ´egalement une analyse d´etaill´ee du comportement

asymptotique, `a la fois au niveau des moments d’ordre 1 et en probabilit´e.

Leur r´esultat r´ev`ele qu’un certain type de perturbation stochastique peut

aider `a la stabilit´e du syst`eme sous-jacent. Sur la mˆeme lanc´ee, en 2008,

ils ont analys´e un mod`ele stochastique repr´esentant la dynamique interne

du virus HIV, l’introduction de la stochasticit´e se faisant comme dans leur

Humains Moustiques S1 Susceptibles I1 Infectieux I2 Infectieux E2 Infectés S2 Susceptibles

Figure 2.3 – Sch´ema du mod`ele de McKendrick

pr´ec´edent travail. Ils montrent que le mod`ele ´etabli dans leur article poss`ede

´egalement des solutions non n´egatives. Ils r´ealisent aussi l’analyse du

com-portement asymptotique du mod`ele. Ils font une approximation d’une des

variables par un processus de retour `a la moyenne, puis trouvent la moyenne

et la variance dudit processus.

Dans le document Les aspects spatiaux dans la modélisation en épidémiologie (Page 39-42)