1 −ν −ν 0 −ν 1 −ν 0 −ν −ν 1 0 0 0 0 2(1 +ν) (5.59)
Avec : E : le module d’Young du mat´eriau,ν est le coefficient de Poisson de fluage, ce param`etre peut ˆetre consid´er´e constant [Baˇzant et al., 1997] et ´egal au coefficient de Poisson de l’´elasticit´e lin´eaire (ν= 0.2) On peut ´ecrire l’´equation (5.53) :
∆εn+1
f p =εn+1
f p −εn
f p= Af p+ Bf p.σn+Cf p.σn+1 (5.60) L’increment de la contrainte∆σn+1 `a la fin du pas de temps n est mis `a jour par la relation suivante : ∆σn+1= E.∆εn+1 e = E.(∆εn+1 −∆εn+1 f p −∆εn+1 re −∆εn+1 th ) (5.61)
5.6 Param`etres du mod`ele
Le mod`ele visco´elastique fait intervenir un certain nombre de param`etres, nous pou-vons distinguer des param`etres correspondant au comportement du mat´eriau, et des pa-ram`etres d´ependant du mod`ele du fluage. Les papa-ram`etres d´ependant du mat´eriau sont les r´esistances classiques du b´eton en traction ft et en compression fc. Ces r´esistances sont repr´esent´ees en fonction du degr´e d’hydratationξ, qui constitue le param`etre majeur du mod`ele, et dont l’´evolution d´epend du type du ciment utilis´e. Les param`etres du mod`ele de fluage sontτi,ηiet Ei, nous les avons d´ecrits en fonction du param`etres principalξ.
5.7 Mod`ele d’endommagement ´elastique isotrope
Une variable d’endommagement scalaire D est utilis´ee pour d´ecrire la micro-fissuration. Cette variable d’endommagement D associ´ee au processus de d´egradation m´ecanique in-duit par le d´eveloppement des micro-fissures, est d´efinie par le rapport entre l’aire oc-cup´ee par les micro-fissures cr´e´ees et l’aire totale du mat´eriau. Les contraintes apparentes
σs’´ecrivent :
σ= (1 − D). ˜σ= E(ξ).εe (5.62)
O`u :εeest la d´eformation ´elastique, E(ξ) et le tenseur de rigidit´e ´elastique d´ependant
Mod´elisation du fluage propre 161
La d´eformation ´elastiqueεes’´ecrit par : ˙
εe= ˙ε− ˙εf p− ˙εre− ˙εth (5.63) O`u : ˙εest la d´eformation totale, ˙εf pest la d´eformation du fluage propre, ˙εreest la d´eformation du retrait endog`ene, ˙εthest la d´eformation thermique.
Le crit`ere d’endommagement est donn´e par le crit`ere de Mazars [Mazars,1984] :
f = ˆε−κ0 (5.64)
O`u :κ0est le seuil de d´eformation en traction et ˆεla d´eformation de traction ´equivalente : ˆ
ε=√
<εe>+:<εe>+ (5.65) La variable d’endommagement est reli´ee aux variables d’endommagement en com-pression Dcet en traction Dt par la relation suivante :
D= (1 −γt)Dc+γtDt (5.66)
O`u :γtest reli´ee `a la d´eformation de compression et de traction cr´e´ee par les contraintes principales de traction et de compression [Mazars,1984]. L’´evolution des variables d’en-dommagement en traction Dt et en compression Dcest formul´ee comme suit :
Dx= 1 −κ0
ˆ
ε [(1 + Ax)exp(−Bxεˆ) − Axexp(−2Bxεˆ)] (5.67) O`u : Axet Bx(x= t pour la traction et x = c pour la compression) sont des param`etres
mat´eriaux constants, contrˆolant la partie non lin´eaire de la courbe contrainte-d´eformation. Dans notre ´etude nous ne consid´erons que l’endommagement du `a la traction, car les contraintes en compression sont tr`es petites par rapport `a la r´esistance en compression.
La r´esistance `a la traction ´evolue en fonction de degr´e d’hydratation selon l’´equation (4.10) [De Schutter, 1999].
L’´evolution du seuil de d´eformation en traction figurant dans l’´equation (5.67) est calcul´ee `a partir de l’´evolution de la r´esistance `a la traction, ´equation (4.6), et du module d’Young, ´equation (4.10) :
κ0= Ft(ξ)
E(ξ) (5.68)
Dans notre mod`ele, la densit´e de l’´energie de dissipation gFt associ´ee `a la rupture en traction est donn´ee par la relation suivante :
gFt= Ft(ξ)(1 + At/2)
Bt
(5.69) Elle est reli´ee `a l’´energie de rupture GFt et `a la longueur caract´eristique lc:
gFt =GFt
lc
L’´energie de rupture depend du degr´e d’hydratation [De Schutter et Taerwe,1997] : GFt(ξ) = GFt ξ−ξ0 ξ∞−ξ0 δ (5.71) [De Schutter et Taerwe, 1997] a trouv´e pour un ciment CEM I 52,5 que δ= 0, 46
conduit `a un excelllent ajustement avec les donn´ees exp´erimentales.
Il convient de noter finalement que le mod`ele ne permet pas de reproduire les d´eformations in´elastiques observ´ees apr`es d´echargement, ni la dilatation et l’aspect unilat´eral.
6 Conclusions
Une mod´elisation macroscopique, fond´ee sur la compr´ehension des ph´enom`enes phy-sico-chimiques qui sont `a l’origine des d´eformations diff´er´ees, et qui recourt ainsi `a des lois de comportement intrins`eques pour le comportement diff´er´e du b´eton coupl´ees `a une ´etude de l’´evolution du degr´e d’hydratation, a ´et´e propos´ee dans ce chapitre. Ce type d’approche s’est r´ev´el´ee indispensable pour tenir compte de la variation des d´eformations dans les structures massives.
Dans une premi`ere ´etape, la prise en compte de l’hydratation a ´et´e introduite par une boucle thermique dans le dans le code aux ´el´ements finis Castem pour calculer l’´evolution du degr´e d’hydratation du b´eton. Avec cette boucle thermique, on peut prendre en compte la variation de la temp´erature du milieu ambiant. Ensuite nous avons cr´e´e une boucle m´ecanique permet de calculer la d´eformation du fluage par le mod`ele d´evelopp´e. Un mod`ele d’endommagement ´elastique isotrope a ´et´e ensuite ´et´e coupl´e avec le mod`ele de fluage afin de pr´edire les risques de fissurations dans le b´eton.
nous allons pr´esenter dans le chapitre suivant l’identification des param`etres du mod`ele, ensuite des simulations num´eriques `a l’´echelle de l’´eprouvette et `a l’´echelle de la structure seront pr´esent´ees pour tester la robustesse du mod`ele et le valider.
Chapitre
6
Validation du mod`ele
Dans ce chapitre nous pr´esentons des simulations des es-sais r´ealis´es, et une validation de notre mod`ele a ´et´e ef-fectu´e sur une structure massive. Le calcul de la temp´erature au sein de la structure est valid´e par comparaison des temp´eratures au cœur et en surface mesur´ees et d´etermin´ees par la mod´elisation. Cette comparaison montre une bonne concordance entre exp´erience et mod`ele. La d´eformation me-sur´ee en diff´erents points de la structure est compar´ee `a celle obtenue num´eriquement. Une excellente concordance est ob-tenue entre les mesures exp´erimentales et la mod´elisation, ce qui montre que le mod`ele est ´egalement capable de traduire le comportement observ´e `a l’´echelle de la structure. La car-tographie de la contrainte illustr´ee dans la pi`ece massive nous permet de distinguer les zones qui sont soumises `a la contrainte de traction (risque de fissuration).
Sommaire
1 Introduction . . . 145
2 Mod´elisation Thermo-Chemo-Mecanique . . . 146
2.1 Mod´elisation du transfert de chaleur . . . 146
4.2 Mod`ele propos´e. . . 150
5 Mod´elisation du fluage propre . . . 150
5.1 Introduction. . . 150
5.2 Description des mod`eles de fluage propre . . . 151
5.3 Description des mod`eles rh´eologiques de fluage . . . 155
5.4 Mod`ele propos´e. . . 155
5.5 Algorithme de r´esolution num´erique . . . 159
5.6 Param`etres du mod`ele . . . 160
5.7 Mod`ele d’endommagement ´elastique isotrope . . . 160
Introduction 165
1 Introduction
Nous avons d´evelopp´e un mod`ele qui d´ecrit le comportement diff´er´e du mat´eriau sous des sollicitations m´ecaniques diverses (traction, compression, traction-compression com-bin´ees). Afin de v´erifier que le mod`ele d´evelopp´e reproduit correctement la r´ealit´e du comportement observ´e, des simulations num´eriques sont effectu´ees. Le mod`ele a ´et´e im-plant´e dans code de calcul CAST3M. Des simulations num´eriques sont faites `a l’aide de ce code en utilisant des ´el´ements finis de type QUA4, QUA8, et CUB8. Une analyse d´etaill´ee des r´esultats est propos´ee, et une comparaison est effectu´ee entre les r´esultats des simulations num´eriques et les r´esultats exp´erimentaux obtenus en laboratoire et `a l’´echelle de la structure. Dans la premi`ere partie, les simulations num´eriques sont r´ealis´ees sur l’es-sai de calorim´etrie semi-adiabatique. L’objectif est d’identifier, d’analyser et de valider le mod`ele d’hydratation du ciment. L’identification des diff´erents param`etres introduits dans le mod`ele au jeune ˆage n´ecessite de travailler sur des exemples concrets de mat´eriaux. Les lois empiriques identifi´ees pour ces mat´eriaux peuvent ˆetre ensuite adapt´ees `a d’autres types de b´etons. Dans un premier temps, pour identifier le mod`ele d’hydratation, nous nous sommes bas´es sur la campagne exp´erimentale r´ealis´ee sur les diff´erentes formula-tions de b´eton ´etudi´ees (chapitre4), `a savoir les b´etons BHPM, BHP1, B5. Dans un second temps, des simulations d’essais de retrait libre endog`ene ont ´et´e effectu´ees en 3D, ensuite nous avons simul´e l’essai `a l’anneau en 2D, afin d’identifier les param`etres de fluage. Dans un dernier temps, des simulations ont ´et´e r´ealis´ees sur des structures en grandeur r´eelle et en conditions de chantier.
2 Identification des param`etres thermiques et
d’hydrata-tion
La d´etermination des param`etres de transfert de chaleur d’un mat´eriau poreux est un probl`eme complexe. Dans certaines conditions, ces mat´eriaux pourront par exemple se trouver soumis `a des transferts plus ou moins coupl´es de chaleur et d’humidit´e. Les sp´ecificit´es du b´eton durcissant accroissent cette complexit´e. Les modifications micro-structurales importantes subies par le mat´eriau, accompagn´ees d’une lib´eration de chaleur, imposent des temps de prise de mesures relativement courts afin de pouvoir suivre avec pr´ecision l’´evolution des param`etres thermophysiques [Mounanga, 2003]. Dans notre ´etude, nous allons d´eterminer la chaleur massique et la capacit´e thermique du ciment `a partir d’essais de calorim´etrie semi-adiabatique, et nous allons nous baser sur l’´etude de [Mounanga,2003] pour choisir les valeurs de conductivit´e thermique.