Vers un mod`ele complet d’image ?

o`u est la partie al´eatoire du processus (typiquement gaussien), l’image finale ´etant donn´ee par :

D’autres mod`eles peuvent ˆetre trouv´es dans les r´ef´erences [Huang, 1976] et [Huang, 1981].

2.7.4 Vers un mod`ele complet d’image ?

Reprenant attentivement les propri´et´es du mod`ele pr´esent´e en 2.6.1 `a la lumi`ere des remarques pr´ec´edentes, on constate que les ´ecarts majeurs aux lois ci-dessus apparaissent pour les sauts de transition ´elev´es (les queues des courbes de la figure 2.6) que la loi gaussienne sous-estime consid´erablement. Ces points sont ceux des transitions importantes, donc des contours de l’image. Le mod`ele 2.6.1 suppose un champ uniform´ement couvert d’une seule texture et non la pr´esence d’objets vari´es s´epar´es par des contours.

Peut-on alors construire un mod`ele global d’image prenant en compte ces propri´et´es ? L’objectif est de rendre compte simultan´ement des trois limites soulign´ees ci-dessus.

De nombreuses propri´et´es bidimensionnelles ont ´et´e mesur´ees dans les images pour compl´eter les analyses `a 1D et les relier `a des propri´et´es mono-dimensionnelles [Maˆıtre, 1977]. Ainsi diverses ´etudes ont port´e sur la mesure des probabilit´es les plus vari´ees :

– la probabilit´e d’apparition de deux contours successifs `a une distance le long d’une droite quelquonque, – la probabilit´e de la longueur de plages constantes `a pr`es le long d’une ligne,

– la probabilit´e de l’orientation des contours,

– la probabilit´e de la surface d’une aire constante `a pr`es, etc.

La conclusion la plus utile de ces ´etude concerne les longueurs de plages, ou distances entre contours qui suivent assez bien un r´epartition poissonnienne :

28 CHAPITRE 2. PROPRI ´ET ´ES STATISTIQUES DES IMAGES o`u d´enote la longueur moyenne de la longueur de plage, valeur sp´ecifique d’une image donn´ee. Cette propri´et´e a souvent ´et´e utilis´ee dans des sch´emas de codage ou de d´etection, elle est cependant tr`es difficile `a inclure dans des mod`eles et aucun mod`ele aujourd’hui disponible n’est capable de l’int´egrer `a notre connaissance.

La prise en compte des d´ependances non-causales entre pixels a abouti `a l’abandon presque g´en´eral de la piste des chaˆınes de Markov au profit des champs de Markov (cf. chapitre 7). Dans les champs de Markov, un pixel ne d´epend plus simplement des 2 ou 3 pixels qui l’ont pr´ec´ed´e lors du balayage r´egulier de l’image, mais d’un voisinage qui l’entoure et qui fait porter les d´ependances de fac¸on sym´etrique entre les points (voisinage de 4 points, ou de 8 points dans la plupart des cas). L’inconv´enient des champs markoviens est de ne plus se prˆeter `a des techniques de filtrage directes, mais de faire appel `a des techniques it´eratives g´en´eralement plus coˆuteuses en temps machine, et plus difficiles `a optimiser.

La prise en compte des propri´et´es de non-stationnarit´e des images a incit´e les auteurs `a abandonner l’id´ee d’un mod`ele global au profit d’un mod`ele en mosa¨ıque, dans lequel l’image est constitu´ee d’une partition de plages, chacune relevant d’un mod`ele semblable `a celui que nous avons d´evelopp´e en 2.6.1, c’est-`a-dire chaque plage suivant une loi de Markov-Gauss d´efinie par la valeur moyenne , le param`etre de probabilit´e de transition , le param`etre de d´ecroissance de la corr´elation

. Ce mod`ele d´efinit deux grandeurs qui seront fondamentales pour tout le traitement des images : les contours qui repr´esentent les transitions d’une plage `a une autre, et les textures qui d´ecrivent les propri´et´es statistiques de chaque plage. C’est le mod`ele qui sera le plus utilis´e pour les op´erations de reconnaissance des formes, de filtrage et de d´etection. C’est aussi un mod`ele qui est particuli`erement explor´e pour les techniques de codage avanc´e (MPEG-4 : codage par objets [Barlaud et Labit, 2002]), ainsi que pour la restauration des images pr´eservant les contours.

Chapitre 3

L’´echantillonnage des images, la repr´esentation fractale

Chapitre r´edig´e par Henri MAˆITRE

Chronologiquement, l’une des toutes premi`eres ´etapes du traitement num´erique des images est la tˆache d’´echantillonnage qui r´eduit l’ensemble continu du monde observable en une s´erie de valeurs discr`etes. Nous n’insisterons pas sur

l’importance de cette ´etape en traitement des images, tant il est ´evident que c’est par elle que l’on contrˆole la finesse des d´etails enregistr´es, et par l`a mˆeme, la nature de l’information retenue dans l’image num´erique. Cette ´etape s’ac-compagne d’une quantification des niveaux de gris et tr`es souvent d´ebouche ensuite soit sur la compression, soit sur le traitement.

Mais en traitement des images, l’´echantillonnage apparaˆıt en de nombreuses autres occasions que lors de l’ac-quisition. En effet, les images sont tr`es souvent appel´ees `a ˆetre r´e-´echantillonn´ees, par exemple pour des conver-sions de format (passage d’un format SECAM `a un format NTSC<sup>1</sup> en t´el´evision num´erique), ou pour en trans-former la g´eom´etrie (corriger une perspective, orienter une forme dans un rep`ere convenable ou recaler l’image sur une r´ef´erence). Toutes ces ´etapes posent `a nouveau le probl`eme de l’´echantillonnage et n´ecessitent les mˆemes pr´ecautions que l’acquisition elle-mˆeme.

Dans tout le champ du traitement du signal, l’´echantillonnage est abord´e `a l’aide de la th´eorie classique pro-pos´ee par Nyquist et Shannon. Cette th´eorie s’applique bien sˆur aux images et nous la d´evelopperons donc dans un premier temps. Nous verrons cependant qu’elle est parfois mal adapt´ee. Nous verrons ´egalement que certains objets peuvent ˆetre tr`es mal trait´es par cette approche. C’est le cas des objets fractales que nous pr´esenterons en fin de chapitre.

3.1 Les signaux monodimensionnels `a bande limit´ee

La th´eorie de l’´echantillonnage s’applique `a des signaux , fonctions d’une variable continue , dont la bande passante est limit´ee, c’est-`a-dire dont la transform´ee de Fourier (TF) , fonction de , variable associ´ee² `a ,

1Les formats SECAM et NTSC sont les normes de repr´esentation des signaux de t´el´evision utilis´es en France et aux ´Etats-Unis [Guillois, 1996a].

2A une variable´ temporelle correspond une variable fr´equentielle, exprim´ee en Hertz ; `a une variable spatiale, correspond une fr´equence spatiale , exprim´ee en

.

29

30 CHAPITRE 3. L’ ´ECHANTILLONNAGE DES IMAGES, LA REPR ´ESENTATION FRACTALE

Le th´eor`eme d’´echantillonnage ´etablit l’´equivalence, sous certaines conditions, entre un signal continu , connu pour tout , et un ensemble d’´echantillons discrets . Cette ´equivalence se traduit en particulier par la possibilit´e de calculer `a partir des valeurs et r´eciproquement la possibilit´e de calculer `a partir de . Les conditions sont les suivantes ; – ces positions sont s´epar´ees d’un intervalle au plus ´egal `a

FIG. 3.1 – Echantillonnage d’un signal continu

, `a spectre

`a support born´e, avec un pas d’´echantillonnage

. Le signal r´esultant discret a un spectre

.

Ces ´echantillons sont donc en nombre infini et ont pour valeur :

Ce que nous ´ecrirons aussi :

(cf. figure 3.1) et att´enuation de

Pour reconstruire le signal, il est int´eressant de distinguer le cas o`u le signal a ´et´e ´echantillonn´e `a la fr´equence la plus basse,

, appel´ee fr´equence de Nyquist, du cas o`u l’on choisit un nombre plus ´elev´e d’´echantillons

.