Modélisation des trajectoires électroniques dans les matériaux par la méthode Monte-Carlo

0 8 . 58 76 . 9 ) (eV  Z Z^

J , pour les éléments dont Z est supérieur à 13.

Pour les valeurs de Z inférieures à 13 : J(eV)0.115Z

Les limites de l'expression de Bethe à faible énergie peuvent être surmontées en utilisant la modification de Joy et Luo, 1989 :

      _   78.500 log ^1.166 1 J E E A Z dS dE w  _{keV/cm (II.44)}

La profondeur de pénétration totale RB des électrons dans l'échantillon (Bethe range) peut être obtenue par intégration suivante sur la gamme d'énergie de E0 jusqu’au seuil d'énergie :



II.3. Modélisation des trajectoires électroniques dans les matériaux par la méthode Monte-Carlo

Cette partie traite la simulation Monte Carlo de l’interaction électron-solide via la diffusion plurielle (multiple scattering) [118]. Ce model a été utilisé dans plusieurs applications, mais dans notre cas, il est exploité essentiellement dans l’étude du comportement des électrons rétrodiffusés (BSE). La simulation prend en considération l'énergie du faisceau d’électron incident, le nombre atomique du solide, sa masse atomique et sa densité. Dans ce modèle, le chemin d'un électron par le biais de son énergie ou jusqu'à ce qu'il ait perdu toute son énergie ou qu'il ait laissé la matière comme un électron rétrodiffusé.

II.3.1. Principe de model de diffusion pluriel

A l’inverse de la diffusion singulière utilisé pour les gaz (élastique et inélastique), le model de diffusion pluriel est différent dans sa conception, en se basant particulièrement sur la diffusion élastique de Rutherford. Ici, la longueur de la trajectoire dans l'échantillon (matériau) est équivalente au range de Bethe [118] (Voir équation II.45). Dans cette étude RB (Bethe range) est divisée en cinquante étapes. Le pouvoir d'arrêt est utilisé pour déterminer l'énergie de l'électron à chaque étape de la simulation:

47 E(n)= E (n-1) -∫ (^𝑑𝐸

𝑑𝑆) 𝑑𝑠

(

L'angle de diffusion azimutal est donné par la même équation (II.39) qui est

=2R

Pour le calcule de l’angle de diffusion  à chaque événement, nous utilisons la formule de diffusion suggérée par Love et al. (1977) :

tan (^𝜃 2) = tan (^𝜃0 2) (^𝐸0 𝐸) [ ¹ √𝑅𝑛 − 1], tan (^𝜃0 2) = ^0.0144𝑍 2𝑝𝐸0 (II.47) 0 représente l'angle de diffusion minimal correspondant à l’énergie E0 et E est l'énergie instantanée de l'électron (en keV). Rn est un nombre aléatoire distribué dans l'intervalle [0, 1] et P est un paramètre d'impact.

Dans chacune des 50 étapes constituant une trajectoire, un grand nombre d'événements de diffusion se produit.

II.3.2.Calcule de coefficient des électrons rétrodiffusés

Le but de notre travail est de mettre en œuvre un algorithme qui prédit de façon précise et efficace les distributions des électrons rétrodiffusées, leurs énergies et leurs taux de rétrodiffusion (ȵ). Ce dernier peut être calculé par la formule de Hunger et Kuchler (1979) [119] en fonction de numéro atomique (Z) et l'énergie du faisceau incident.

ȵ(Z, E)=EmC (II.48)

où, m=0.1382-0.9211/√𝑍 et C=0.1904-0.2235 (lnZ)+0. 1292(lnZ) 2-0.01491 (lnZ) 3

III. Application de la simulation Monte Carlo

Nous présentons dans le paragraphe suivant une application directe de notre programme pour tracer les trajectoires électroniques dans le HPSEM. A énergie constante de 5keV, on a fait varier la pression du gaz, la distance de travail et la nature de l’élément chimique (hélium et air), afin de voir l’effet de ces paramètres sur le comportement du faisceau électronique lors de son passage dans la chambre d’analyse.

m : le nombre de collisions par électron.

R : pourcentage des électrons rétrodiffusés dans le gaz

Remarquons tout d’abord que le faisceau obtenu se compose d’une partie centrale comportant le plus grand nombre d’électrons et correspondant à des trajectoires issues de collisions à faibles angles de déviation (diffusion inélastique), et d’une partie extérieur plus large, constituant le skirt (diffusion élastique).

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On voit bien dans tous les cas, l’effet de la présence du gaz qui se traduit par un élargissement du faisceau (skirting). Nous vérifions qu’en augmentant la distance de travail (figure (II.10) et (II.11)), l’élargissement du faisceau augmente, cette augmentation est due à l’augmentation du nombre de collisions.

Le pourcentage d’électrons rétrodiffusés augmente pour l’air. Pour l’hélium l’augmentation de la distance de travail donne un élargissement plus faible que l’élargissement pour l’azote (figures (II.11).

Figure. II.10. Trajectoires électroniques dans l’air à 5keV, 250Pa et deux distance de travail 3cm (gauche) et 0.5 cm (à droite)

Figure. II.11. Trajectoires électroniques dans l’hélium à 5keV, 250Pa et deux distance de travail 3cm (gauche) et 0.5 cm (à droite)

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Figure. II.12. Trajectoires électroniques dans l’hélium et l’air à 5keV, L=1cm et 1300Pa

Pour l’air on voit bien que l’augmentation de la pression du gaz entraîne une augmentation de l’élargissement du faisceau électronique, les électrons rétrodiffusés, ainsi que le nombre moyen de collision par électron (figures II.12). Cet effet de la pression est moins visible dans l’Hélium, ceci est dû à la section efficace de l’Hélium qui est plus petite que celle de l’air. Maintenant, pour ce qui est de la simulation Monte Carlo de l’interaction électron-matière dans le vide, on présente dans la figure II.13, une comparaison dans le vide, entre la poire d’interaction dans carbone et le SiO2 à 5 keV. Les dimensions du volume d'interaction diminuent pour le nombre atomique le plus élevé. Le taux de perte d'énergie du faisceau d'électrons augmente avec le nombre atomique et ainsi les électrons ne pénètrent pas assez profondément dans l'échantillon.

Les trajectoires électroniques à l’interface Al/Cu, décrit bien ce comportement vis-à-vis la différence des numéros atomiques (figure II.14).

Figure. II.13. Poire d’interaction dans le carbone (Gauche) et le SiO2 (à droite) à 5keV, sous vide

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Figure. II.14. Poire d’interaction dans l’interface Al/Cu à 10keV, sous vide

Dans le cas de la présence d'un environnement gazeux dans le VP-SEM, la simulation Monte Carlo (Figure II.15), montre que le profil du faisceau d'électrons primaires peut être divisé en deux fractions:

1. Un faisceau non-diffusé, qui conserve le même profil de distribution et a priori le

même diamètre d'origine.

2. Un faisceau diffusé distribué autour du faisceau d'électrons primaire pour former ce

qui est connu sous le nom de "skirt".

Il semble qu’après la diffusion multiple, des électrons primaires par le gaz, le rayon de skirt du faisceau d'électrons peut être plus grand que le volume d'interaction. Dans cette situation, la taille du volume dans le matériau créé à la fois par le faisceau diffusé et la fraction non diffusé sera modifiée. Ce nouveau volume d'interaction a une forme plus plate, surtout quand le rayon de skirt dépasse largement le volume d'interaction créé par la fraction non diffusé.

Figure. II.15. Poire d’interaction sous l’effet du skirt

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III. CONCLUSION

Dans ce chapitre, nous avons d’abord présenté une synthèse bibliographique des travaux ayant trait au calcul des sections efficaces de diffusion, paramètre essentiel et central dans la théorie de l’interaction électron-gaz et électron solide. Cette synthèse nous a ensuite conduit à présenter les remarquables travaux de Danilatos que nous estimons les plus complets dans ce domaine et desquels nous nous sommes largement inspiré pour construire notre algorithme de calcul Monte Carlo afin de traquer les électrons rétrodiffusées (BSE). Dans le chapitre suivant, nous nous intéressons essentiellement sur ce type de signal (BSE), et qui sera étudier en détail. Nous verrons comment les paramètres d’observation du microscope et les propriétés du matériau peuvent influer sur le signal des électrons rétrodiffusées.

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