Modélisation thermique

Le modèle thermique du transistor GaN considéré dans un premier temps est le modèle de Foster présenté sur la figure III.24. Dans ce travail, Ce modèle est constitué de deux cellules RC générant deux constantes de temps distinctes. Nous verrons par la suite que deux cellules RC sont suffisantes pour la modélisation dans une première approche. Une méthodologie permettant d’augmenter le nombre de cellules du modèle fera l’objet d’un travail de recherche ultérieur.

Figure III. 24 : Modèle de Foster du second ordre

La fonction de transfert 𝑓_𝑇𝐻 de ce circuit en réponse à un échelon de puissance s’exprime selon l’équation eq.(III.16) dans le domaine temporel. A partir des résultats de caractérisation présentés dans la partie III.2.1, la figure III.25 donne l’évolution de la fonction 𝑓𝑇𝐻(𝑡) obtenue en divisant l’élévation

de température par la puissance dissipée pour chaque valeur de 𝑉𝐷𝑆. Ces résultats expérimentaux sont

modélisés par l’équation eq.(III.16) afin d’obtenir les valeurs initiales des éléments du modèle thermique renseignés dans le tableau III.4.

𝑓𝑇𝐻(𝑡) = 𝑅𝑇𝐻1(1 − exp (− 𝑡 𝑅𝑇𝐻1𝐶𝑇𝐻1 )) + 𝑅𝑇𝐻2(1 − exp (− 𝑡 𝑅𝑇𝐻2𝐶𝑇𝐻2 )) (III.16)

Figure III. 25 : Mesure et modélisation à partir de la fonction de transfert thermique du modèle de Foster à deux constantes de temps pour différents 𝑉_𝐷𝑆

Tableau III. 4 : Paramètres initiaux du modèle thermique de Foster

𝑅𝑇𝐻1 (°𝐶/𝑊) 𝐶𝑇𝐻1 (µ𝑊. 𝑠/°𝐶) 𝑅𝑇𝐻2 (°𝐶/𝑊) 𝐶𝑇𝐻2 (𝑚𝑊. 𝑠/°𝐶)

𝑉𝐷𝑆= 5𝑉 0,25 95 0,54 0,99

𝑉𝐷𝑆 = 10𝑉 0,30 71 0,55 0,94

𝑉𝐷𝑆 = 15𝑉 0,36 93 0,59 0,99

Valeur moyenne 0,30 86 0,56 0,97

La relation (III.16) est une réponse à un échelon de puissance qui ne tient pas compte de la décroissance de puissance durant l’impulsion observée sur la figure III.21(b). Cette décroissance de puissance résulte d’une diminution du courant dans le transistor due à l’augmentation de la température de la jonction. Deux façons de modéliser ce phénomène sont trouvées dans la littérature. On considère ici le modèle 1 donné par l’équation eq.(III.17) et le modèle 2 donné par la relation eq.(III.18). 𝐼_𝐷0 correspond au courant de drain à 𝑇𝑎, ∆𝑇 est l’élévation en température de la jonction par rapport à 𝑇𝑎, 𝛽 et 𝛾 sont des

coefficients constants. Les deux modèles seront comparés et le modèle le plus performant sera retenu.

𝑖𝐷(𝑡) = 𝐼𝐷0(1 − 𝛽∆𝑇) (III.17) 𝑖𝐷(𝑡) = 𝐼𝐷0( 300 300 + ∆𝑇) 𝛾 (III.18)

A partir des relations eq.(III.17) et eq.(III.18), des valeurs initiales des paramètres 𝛽 et 𝛾 peuvent être obtenus à partir des résultats expérimentaux comme le montre la figure III.26. À partir des résultats présentés sur la figure III.26, on choisit 𝛽 = 0,008°𝐶−1 _{et 𝛾 = 3,5.}

Figure III. 26 : Extraction des valeurs initiales des paramètres 𝛽 et 𝛾 à partir des résultats expérimentaux

À partir des valeurs initiales du tableau III.4, une procédure d’optimisation est réalisée avec le logiciel ADS de sorte à ajuster les paramètres du modèle thermique pour que les puissances dissipées simulées correspondent aux puissances dissipées mesurées. Le schéma de principe de la procédure d’optimisation implémentée est présenté sur la figure III.27. Les paramètres de l’optimisation sont alors 𝑅_𝑇𝐻1, 𝐶_𝑇𝐻1, 𝑅𝑇𝐻2, 𝐶𝑇𝐻2 et 𝛽 pour le modèle 1 et 𝑅𝑇𝐻1, 𝐶𝑇𝐻1, 𝑅𝑇𝐻2, 𝐶𝑇𝐻2 et 𝛾 pour le modèle 2.

Figure III. 27 : Schéma de principe de la procédure d’optimisation pour la détermination des valeurs des éléments du modèle thermique

Une même optimisation est effectuée sur les trois courbes de puissance mesurées. L’erreur totale à minimiser est donc la somme des erreurs de chaque courbe de puissance pour 𝑉_𝐷𝑆 = 5, 10 et 15 V. La figure III.28 montre les résultats de l’optimisation pour les modèles 1 et 2. On remarque que le modèle 2 représente plus fidèlement les données expérimentales, il sera retenu pour le modèle électrothermique du transistor. Les valeurs des paramètres issues de l’optimisation sont renseignées dans le tableau III.5 pour le modèle 1 et dans le tableau III.6 pour le modèle 2.

Figure III. 28 : Résultats d’optimisation et comparaison aux mesures : (a) modèle 1 (b) modèle 2 Tableau III. 5 : Paramètres du modèle 1

𝑅𝑇𝐻1 (°𝐶/𝑊) 𝐶𝑇𝐻1 (µ𝑊. 𝑠/°𝐶) 𝑅𝑇𝐻2 (°𝐶/𝑊) 𝐶𝑇𝐻2 (𝑚𝑊. 𝑠/°𝐶) 𝛽 (/°𝐶)

0,33 655 0,36 1,69 0,0104

Tableau III. 6 : Paramètres du modèle 2

𝑅𝑇𝐻1 (°𝐶/𝑊) 𝐶𝑇𝐻1 (µ𝑊. 𝑠/°𝐶) 𝑅𝑇𝐻2 (°𝐶/𝑊) 𝐶𝑇𝐻2 (𝑚𝑊. 𝑠/°𝐶) 𝛾

0,33 832 0,88 1,77 4,25

Le modèle thermique de Foster a été choisi dans un premier temps pour sa simplicité de mise en œuvre. Cependant, les paramètres 𝑅_𝑇𝐻1, 𝐶_𝑇𝐻1, 𝑅_𝑇𝐻2 et 𝐶_𝑇𝐻2 du modèle servent uniquement à la modélisation mais n’ont pas d’interprétation physique directe. De plus l’ajout d’un circuit de refroidissement à ce modèle est complexe [III.6]. Le modèle de Cauer, présenté sur la figure III.29, est un modèle thermique reflétant le comportement physique du composant. Les auteurs dans [III.20] proposent une méthode pour déterminer les paramètres d’un modèle de Cauer à partir de ceux d’un modèle de Foster. Basé sur les fonctions de transfert des circuits des figures III.24 et III.29, les relations eq.(III.19) à eq.(III.22) permettent de déterminer les paramètres du modèle de Cauer à partir de ceux du modèle de Foster obtenus par optimisation (modèle 2). Les paramètres résultants du modèle de Cauer sont renseignés dans le tableau III.7.

𝐶𝑇𝐻3 = 𝑅𝑇𝐻1𝐶𝑇𝐻1𝑅𝑇𝐻2𝐶𝑇𝐻2 𝑅𝑇𝐻1𝑅𝑇𝐻2(𝐶𝑇𝐻1+ 𝐶𝑇𝐻2) (III.19) 𝑅𝑇𝐻3= (𝑅𝑇𝐻1𝑅𝑇𝐻2(𝐶𝑇𝐻1+ 𝐶𝑇𝐻2)) 2 𝑅𝑇𝐻1𝑅𝑇𝐻2(𝐶𝑇𝐻1+ 𝐶𝑇𝐻2)(𝑅𝑇𝐻1𝐶𝑇𝐻1+ 𝑅𝑇𝐻2𝐶𝑇𝐻2) − 𝑅𝑇𝐻1𝐶𝑇𝐻1𝑅𝑇𝐻2𝐶𝑇𝐻2(𝑅𝑇𝐻1+ 𝑅𝑇𝐻2) (III.20) 𝑅𝑇𝐻4 = 𝑅𝑇𝐻1+ 𝑅𝑇𝐻2− 𝑅𝑇𝐻3 (III.21) 𝐶𝑇𝐻4= 𝑅𝑇𝐻1𝐶𝑇𝐻1𝑅𝑇𝐻2𝐶𝑇𝐻2 𝑅𝑇𝐻3𝐶𝑇𝐻3𝑅𝑇𝐻4 (III.22)

Tableau III. 7 : Paramètres du modèle thermique de Cauer

𝑅𝑇𝐻3 (°𝐶/𝑊) 𝐶𝑇𝐻3 (µ𝑊. 𝑠/°𝐶) 𝑅𝑇𝐻4 (°𝐶/𝑊) 𝐶𝑇𝐻4 (𝑚𝑊. 𝑠/°𝐶)

0.66 566 0.56 2.07

Afin de valider le modèle thermique proposé, l’impédance thermique transitoire (obtenue en simulation pour différentes largeurs d’impulsion) est comparée à celle extraite de la documentation technique du constructeur. Cette impédance est normalisée par rapport à sa valeur statique. La puissance injectée pendant les impulsions est de 50 W. La figure III.30 présente les résultats de simulation obtenus pour des impulsions uniques, des impulsions répétées avec un rapport cyclique de 20 % et 50 %. On constate que l’impédance thermique donnée par le modèle de Cauer proposé correspond aux données du constructeur.

Figure III. 30 : Impédance thermique transitoire normalisée du modèle proposé comparé aux données constructeur pour des impulsions uniques, des impulsions répétées avec un rapport cyclique de 20 %

et des impulsions répétées avec un rapport cyclique de 50 %

À partir des résultats présentés sur la figure III.30, on constate que le modèle de Cauer proposé pour le circuit thermique du transistor et constitué de deux cellules RC est globalement suffisant pour décrire

l’évolution de l’impédance thermique, cependant on observe la limite du modèle à deux cellules RC pour représenter précisément les évolutions thermiques lors d’impulsions uniques et brèves (1 à 100 µs). Dans ce cas, le modèle doit être composé d’un plus grand nombre de cellules afin d’y faire apparaitre des constantes de temps plus faibles.

Dans ce travail, les éléments du modèle de Cauer sont obtenus à partir des éléments du modèle de Foster suite à l’application des formules analytiques eq.(III.19) à eq.(III.22). Dans le cas d’un modèle constitué de plus de deux cellules RC, potentiellement nécessaire dans certaines applications d’électronique de puissance, la transformation Foster vers Cauer par des formules analytiques devient complexe et une procédure d’optimisation est nécessaire. Ceci constitue un axe de recherche pour des travaux futurs.