2.3 Activités de recherche : de septembre 2002 à août 2008
2.3.1 Modélisation statistique des circuits mixtes et RF
L’évaluation de test en considérant les variations du procédé de fabrication (process variation) nécessite l’utilisation des méthodes statistiques multidimensionnelles. Les approches statistiques proposées dans [3] [4] [5] [6] [7] permettent de classifier les circuits à base des distributions de prob-abilité de leurs performances et de leurs mesures de test (Mesures DT). En effet, la considération de fautes simples (catastrophiques ou paramétriques) est sensible pour des techniques de test de production si le design est robuste. En revanche, dans le cas où les limites de test (LdT) de pro-duction sont très serrées, le taux de défauts résultant des déviations paramétriques multiples peut être important. En outre, le processus de vieillissement provoque des défaillances qui sont souvent causées par des déviations multiples. L’évaluation d’une technique de test est basée sur le calcul de métriques telles que la couverture de fautes F (probabilité pour qu’une faute soit détectée parmi les fautes injectées), le rendement de test YT (probabilité pour qu’un circuit passe le test), le taux de défauts D (probabilité pour qu’un circuit soit défaillant parmi ceux qui passent le test), la perte de rendement YL(probabilité pour qu’un circuit échoue au test parmi ceux qui sont fonctionnels) avec une grande précision (ordre de ppm : parts par millions).
Dans le cas des déviations multiples, la modélisation statistique peut être faite à partir de données obtenues par une simulation Monte Carlo. Si la densité de probabilité des performances et des Mesures DT des circuits sous test (CUT3) est connue, les métriques de test (Métriques DT) analogiques sont calculées comme suit :
Y = ! A fS(s) ds (1.1) YT = ! B fT(t) dt (1.2) YL = 1 − " A " BfST(s, t) ds dt Y (1.3) D = 1 − " A " BfST(s, t) ds dt YT (1.4) où A = (A1, · · · , An) est le vecteur des spécifications, B = (B1, · · · , Bm) est le vecteur des LdT, "
Areprésente "A1· · ·"
An, "Breprésente "B1· · ·"
Bm, fS(s) = fS(s1, · · · , sn) est la densité de prob-abilité conjointe des performances, fT(t) = fT(t1, · · · , tm) est la densité de probabilité conjointe des Mesures DT et fST(s, t) = fST(s1, · · · , sn, t1, · · · , tm) est la densité de probabilité conjointe des performances et des Mesures DT.
Nous avons proposé dans [4] une nouvelle technique permettant d’évaluer avec précision les Métriques DT sous des déviations du procédé de fabrication. La Figure 1.2 montre les étapes de celle-ci. Le modèle statistique des circuits sous test sera extrait à base d’une simulation de type Monte Carlo. Puis, un échantillon plus large ayant le même modèle sera généré en utilisant un
Cadence Simulation Monte Carlo
(Déviations process)
Fixation des limites de test
Simulation de fautes
Nouvelle génération plus large de circuits
Evaluation de test
Plateforme CAO pour le test Analyse Statistique
Figure 1.2: Méthode pour l’estimation des métriques de test avec précision.
logiciel de type Matlab ou R. Ce nouvel échantillon sera utilisé pour fixer les LdT. Les Métriques DT seront ensuite calculées sous la présence des fautes catastrophiques et paramétriques simples pour les différentes Mesures DT. Ceci permet d’évaluer la capacité de la technique à détecter les fautes catastrophiques et paramétriques simples. Il est possible aussi de trouver l’ensemble minimal des performances pour lequel la couverture de fautes est meilleure. Généralement, il n’est pas possible d’estimer les Métriques DT directement sur un échantillon de circuits simulé par Monte Carlo, étant donné que les circuits défaillants sont rarement générés.
Modélisation statistique par la loi multi-normale : Quand le modèle des circuits obtenus par la
simulation Monte Carlo suit une loi multi-normale, il suffit juste de générer un échantillon plus large en utilisant les logiciels statistiques comme Matlab ou R. A titre d’exemple, nous avons travaillé sur un amplificateur opérationnel totalement différentiel [4]. Il a été conçu sous la technologie 0.18µm CMOS de STMicroelectronics. Il a 11 performances (Gain, Bande passante du Gain, Marge de phase, CMRR4, PSRR5gnd, PSRR vdd, THD6, Courant, Intermodulation, Slew Rate +/- et Bruit) et nous avons pris en compte deux Mesures DT (SNDR7et l’Offset).
La Figure1.3 montre la distribution de la Marge de phase et du SNDR pour le cas de 1000 circuits (de l’amplificateur) générés par la simulation Monte Carlo (en o) et de 1000 circuits générés par la loi multi-normale (en +). Cette figure montre clairement que les deux distributions sont quasiment identiques. Le même résultat a été obtenu pour les autres performances et Mesures DT. La Figure 1.4 montre l’échantillon de 1000 circuits (en noir) et en gris un autre échantillon d’un million d’instances générées par la loi multi-normale. Ainsi, avec un million d’instances, la précision de l’ordre de ppm peut alors être atteinte.
Une fois les Métriques DT calculées, il est donc possible d’estimer les LdT. Celles-ci présentées en haut peuvent être fixées comme étant un compromis entres les Métriques DT. Souvent dans l’industrie les Métriques DT les plus utilisées sont le taux de défauts et la perte de rendement. La LdT est choisie au point où la perte de rendement est égale à dix fois le taux de défauts.
Modélisation statistique par la copule Gaussienne : Une nouvelle méthode permettant d’estimer
les Métriques DT analogiques, mixtes et RF à l’étape de conception a été proposée durant mon
4CMRR : Common-Mode Rejection Ratio ou Taux de réjection de mode commun. 5PSRR : Power Supply Rejection Ratio ou Taux de réjection du bruit d’alimentation. 6THD : Total Harmonic Distortion ou Distortion harmonique totale.
61.5 62 62.5 63 63.5 64 64.5 65 65.5 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 Marge de Phase THD Distribution Multinormal Simulation Monte Carlo du circuit
Figure 1.3: Echantillon de 1000 circuits générés par la simulation Monte Carlo.
Marge de Phase
travail de recherche post-doctorale [3] [5]. Cette méthode utilise la théorie des copules pour es-timer la distribution conjointe des paramètres de sortie d’un circuit. A ma connaissance, c’est le premier usage de cette théorie dans le domaine du test des circuits. Le principe est de séparer les dépendances entre les variables aléatoires et leurs distributions marginales. Ceci permet de modéliser certaines distributions multi-variées non connues grâce à cette dépendance qui, souvent, a une forme pouvant être modélisée par les lois paramétriques. La théorie des copules permet aussi de générer des échantillons de circuits plus larges.
La Figure1.5(a) montre un exemple d’une copule (en bleu) extraite d’un échantillon (en mauve) en calculant la CDF de chacune de ces distributions marginales (F 1 et F 2). La Figure1.5(b) montre un échantillon large (en couleur mauve en bas à gauche) généré à partir d’une copule Gaussienne (en couleur bleue en haut à droite) [3].
(a) (b)
Figure 1.5: (a) Calcul de la copule empirique d’un échantillon, (b) Génération d’un échantillon par les copules.
Nous avons démontré l’efficacité de cette technique sur l’évaluation d’un BIST d’un amplifi-cateur à faible bruit LNA (Low Noise Amplifier) de STMicroelectronics. Ces travaux sont basés uniquement sur les copules Gaussiennes. Des travaux montrant comment modéliser des distribu-tions multidimensionnelles n’ayant pas des copules Gaussiennes ont aussi été proposés et publiés (cf. Section2.4.1).