Modélisation pour un centre de décision service vente

Nous avons choisi d’utiliser un modèle de type planification pour aborder la résolution du problème de prise de décision dans un centre de décision de type service vente. Une particularité de ce type de modèle est l’agrégation du temps : le temps est discrétisé en Θ périodes θ de longueurs identiques ou non. Les informations concernant les gammes de production et les ressources peuvent également être agrégées, bien que cela ne soit pas détaillé dans ce travail.

Nous considérons que le système de production d’une entreprise peut fabriquer I pro- duits i distincts, la fabrication d’un produit i s’effectuant selon une gamme linéaire de

Ji opérations. Après chaque opération j, nous supposons que le produit i en cours de

réalisation est placé dans un stock intermédiaire si,j,θ. Pour réaliser les produits i, nous

prenons pour hypothèse que le système de production a besoin de C types de composants qui doivent être disponibles au début de la réalisation du produit.

Nous supposons également que l’atelier est composé de R ressources dont la capacité est donnée pour chaque période θ, une ressource r ∈ R pouvant réaliser plusieurs opérations. Chaque opération est supposée affectée à une ou plusieurs ressources. On peut donc déduire

l’ensemble Or des opérations affectées à chaque ressource r.

Nous considérons enfin que chaque commande k est identifiée pour un produit donné.

Chacune de ces commandes correspond à un cadre de décision comportant Ni,k rectangles.

Les notations utilisées sont alors les suivantes :

Indices :

Symbole Objet Domaine

r ressource 1..R R = nb de ressources

i produit 1..I I = nb de produits

j opération 1..Ji Ji + 1 est la dernière opération (fictive)

k commande 1..K K = nb de commandes

c composant 1..C C = nb de composants

θ période 1..Θ Θ = nb de périodes (horizon)

n rectangle pour les 1..Ni,k Ni,k = nb de rectangles pour la

4.3 Approche proposée 65 Données :

Symbole Objet

Or ensemble des opérations affectées à r (couples (i,j))

Oc ensemble des produits ayant besoin du composant c

τr,θ capacité de r en période θ

wr,i,j quantité de ressource r utilisée pour réaliser l’opération j

pour une unité du produit i

d_kn délai minimal du rectangle n du cadre de décision k

dkn délai maximal du rectangle n du cadre de décision k

q

kn quantité minimale du rectangle n du cadre de décision k

q_kn quantité maximale du rectangle n du cadre de décision k

pi,k,θ demande planifiée en produit i pour la commande k en fin de période θ

Pi,θ demande planifiée en produit i en fin de période θ

ac,θ approvisionnement maximal pour le composant c en fin de période θ

zc,i quantité de composant c nécessaire pour réaliser le produit i

s_i,j,0 stock initial de produits i ayant subi l’opération j

L’objectif de l’aide à la décision pour un fournisseur étant de dimensionner les quantités de produits qu’il lui est possible de réaliser pour chacun de ses clients, les variables de ce modèle sont les suivantes :

Variables :

Symbole Objet

xi,j,θ quantité de produit i en cours d’opération j dans la période θ

ui,k,θ quantité de produit i mis à disposition pour la commande k en fin de période θ

si,j,θ stock de produit i ayant subi l’opération j en fin de période θ

Les contraintes associées à ce modèle sont les suivantes :                                      (1) : ∀r, ∀θ P

(i,j)∈Orwr,i,j × xi,j,θ ≤ τr,θ

(2) : si,j,θ = si,j,θ−1 + xi,j,θ − xi,j+1,θ

(3) : xi,j+1,θ ≤ si,j,θ−1+ xi,j,θ

(4) : PK

k=1ui,k,θ = si,Ji,θ

(5) : ui,k,θ ≤ ui,k,θ+1

(6) : ui,k,dkn ≤ qkn

(7) : u_i,k,dkn ≥ q_kn

(8) : ∀i, ∀k, ∀θ ui,k,θ ≤ pi,k,θ

(9) : ∀i, ∀θ PK

k=1ui,k,θ ≤ Pi,θ

(10) : ∀c, ∀θ P

i∈Oczc,i× xi,1,θ ≤ ac,θ

Les contraintes (1) modélisent le respect de la capacité des ressources pour chaque période θ.

L’équation (2) traduit l’évolution des stocks inter-opératoires en fin de période θ. Ainsi le stock de produits i ayant subi l’opération j en fin de période θ est égal au stock de produits i ayant subi l’opération j en fin de période θ − 1 auquel il faut ajouter la quantité de produit i en cours d’opération j durant la période θ, et enlever la quantité de produit i en cours d’opération j + 1 durant la période θ.

La contrainte (3) impose le respect de la gamme opératoire puisque cette contrainte

interdit de réaliser la (j + 1)ieme _{opération du produit i en période θ si le stock en produit}

iayant subi l’opération j en fin de période θ − 1, couplé à la quantité de produit i en cours

d’opération j durant la période θ, n’est pas suffisant.

Les contraintes (4), (5), (6) et (7) concernent les courbes de mise à disposition des produits i par commande k. L’équation (4) impose d’affecter tous les produits finis en stock en période θ aux commandes et l’inéquation (5) indique que cette courbe de mise à disposition doit être cumulée. Les contraintes (6) et (7) imposent le respect des rectangles des cadres de décision associés aux commandes k. Ces contraintes indiquent respectivement

que la courbe de mise à disposition ui,k,θ doit passer en dessous du point en haut à gauche

et au dessus du point en bas à droite de chaque rectangle.

Les inéquations (8) et (9) matérialisent le respect du plan de production prévu par la gestion de production, et l’inéquation (10) le respect du plan d’approvisionnement prévu par le service achat.

Le plan de production issu de la gestion de production peut être pris en compte de façon plus ou moins agrégée. Plus les données issues de la gestion de production seront agrégées, plus un centre de décision service vente disposera de flexibilité pour la prise de décision (les décisions sous-contraintes seront ainsi favorisées), mais moins la cohérence des décisions entre la gestion de production et le service vente sera possible. Au contraire, moins les données issues de la gestion de production seront agrégées, plus la cohérence des décisions sera possible mais la prise de décision sous les contraintes sera plus difficile.

L’agrégation la plus importante consiste à supposer que la gestion de production ne communique aucune donnée relative à l’affectation des produits aux commandes. Seuls les volumes de production sont connus pour chaque période et chaque produit. Dans ce cas là, l’affectation des produits aux commandes est laissée libre, les cadres de décision devant

tout de même être respectés. Cette hypothèse se traduit par instancier tous les pi,k,θ des

inéquations (8) de telle sorte que pi,k,θ = +∞.

Une agrégation un peu moins importante consiste à supposer que la gestion de produc-

tion communique les données relatives à l’affectation des produits (pi,k,θ) uniquement pour

les périodes correspondant à celles des rectangles des cadres de décisions. que le modèle ne prend en compte que les quantités et les dates de fin prévues de ces ordres de fabrica- tion, interceptant un rectangle du cadre de décision. L’agrégation la moins forte consiste à considérer que la gestion de production communique, pour chaque période les valeurs des pi,k,θ et si,j,θ. Dans ces des cas, il suffit d’instancier tous les Pi,θ des inéquations (9) tels que

4.3 Approche proposée 67 Enfin, l’agrégation peut être faible sur les premières périodes, puis devenir de plus en plus importante lorsque l’on s’éloigne de l’origine des temps. Ce compromis au niveau de l’agrégation permet de ne pas remettre en cause toute l’organisation de l’atelier dans un horizon temporel court, tout en laissant suffisamment d’autonomie aux outils d’aide à la coopération pour réagir à de nouvelles contraintes sur un horizon plus large. Dans ce cas, les inéquations (8) sont actives sur un premier sous-ensemble de périodes θ, puis se sont les inéquations (9) qui le sont sur le sous-ensemble de périodes restantes.