Modélisation par éléments finis

Une modélisation par éléments finis des essais de nano-indentation a été effectuée avec pour objectif initial de valider la limite de 10% de l’épaisseur du film comme profondeur d’indentation maximale pour éviter une influence du substrat sur le résultat obtenu lors des essais de nano-indentation. En effet, l’hypothèse sous-tendant cette limite implique que les propriétés à l’intérieur du matériau sont constantes sur toute l’épaisseur de celui-ci; or on verra dans le chapitre des résultats que des différences ont été observées entre le film épais et fin, ce qui pourrait invalider cette hypothèse. Le second objectif était d’estimer avec le plus de précision possible les propriétés mécaniques en traction du L-PPE :N (soit celles apparaissant sur une courbe contrainte/déformation) en trouvant pour quel ensemble de propriétés la courbe d’indentation du modèle par élément fini était comparable à celle des essais expérimentaux.

Le modèle par élément fini a été conçu en 2D axisymétrique (figure 2.10) afin de minimiser le nombre d’éléments et le temps de calcul, sur Ansys Workbench 12 (Lee, 2010). La pointe Berkovich est représentée par un demi-cône ayant un angle d’ouverture de 70,3° (figure 2.10)

pour reproduire la fonction d’aire d’une pointe réelle malgré la différence de géométrie (Dao et al., 2001). Le film de PPE :N a, pour sa part, été représenté par un matériau à courbe de contrainte/déformation bilinéaire, tel que représenté à la figure 2.11. Ce modèle ne prend pas en compte le comportement viscoélastique du matériau; toutefois, les essais d’indentation quasi-statiques sur les matériaux viscoélastiques incluent généralement une pause entre le chargement et le déchargement de l’échantillon afin d’exclure le comportement viscoélastique des résultats de nano-indentation. Les propriétés caractéristiques d’un matériau bilinéaire se limitent à son module de Young (E), sa limite élastique (Sy) et son module plastique tangent (Etan). Le coefficient de Poisson a été fixé arbitrairement à une

valeur de 0,3.

Afin de représenter le plus fidèlement possible les résultats de nano-indentation de l’essai préliminaire, le film a été modélisé à une épaisseur de 1560 nm (épaisseur de l’échantillon épais pour l’essai préliminaire) soumis à une indentation de 500 nm de profondeur. Cette profondeur a été sélectionnée afin de s’assurer de pouvoir observer le seuil d’apparition de l’effet de substrat. En effet, la modélisation par éléments finis permet de suivre la contrainte dans le substrat pour chaque point de la courbe d’indentation; il n’est donc pas nécessaire de faire de multiples simulations de profondeur différentes comme pour les indentations physiques. Les propriétés mécaniques du substrat ont été fixées à 74,6 GPa de module élastique et 0,178 de coefficient de Poisson (Oliver et Pharr, 1992).

Figure 2.10 Schéma de la géométrie utilisée pour l’analyse par éléments finis Adapté du fichier créé sur Ansys Workbench 12

Figure 2.11 Courbe contrainte/déformation type d’un matériau bilinéaire Tiré du logiciel Ansys Workbench 12

Ensuite, le maillage a été raffiné jusqu’à convergence (tableau 2.4) en excluant les points de singularité géométrique de l’étude de convergence. Pour ce faire, nous avons fait varier la taille des éléments dans le modèle jusqu’à obtenir une variation de moins de 1% sur les

contraintes maximales dans le film et le substrat, la déformation maximale dans le substrat et la force d’indentation requise.

Tableau 2.4 Résultats de l’étude de convergence du maillage de l’AEF

Comme on peut l’observer grâce au tableau 2.4, le maillage converge (figure 2.12) à partir d’une taille d’élément avoisinant les 0,05 µm; pour un nombre d’élément total de 3709 et un temps de résolution du système de 153,5 s. De plus, on remarque qu’un affinage plus poussé du maillage ne produit aucun changement significatif dans les résultats obtenus, pour un temps de calcul significativement plus long.

Nombre d'éléments Taille d'éléments Temps de résolution Contrainte max du film Contrainte max du substrat Déformation max Force de réaction max

(Unités) (nm) (s) (Mpa) (Mpa) (N/A) (µN)

706 0,2 25 2358,3 837,07 0,3369 -4078,1

1250 0,1 44,6 3012,1 835,85 0,4303 -4103,4

3709 0,05 153,5 3921,3 840,87 0,56018 -4128,9

5298 0,04 202,3 3902,5 841,4 0,5575 -4127,7

Figure 2.12 Détail du maillage retenu pour l’analyse par éléments finis

Le maillage retenu est donc celui à 3709 éléments. Comme il est possible de le constater sur la figure 2.12, la partie fine du maillage est consignée à l’intérieur d’un certain rayon entourant le point de contact entre l’indenteur et la surface; afin d’avoir un maximum de précision dans la zone qui nous intéresse tout en économisant du temps de calcul sur les parties trop éloignées de la zone se déformant pendant l’indentation. Le détail des autres maillages testés dans le cadre de l’étude de convergence est disponible en annexe (ANNEXE V).

Une fois le maillage convergé, une étude de sensibilité des différents paramètres de modélisation (E, Sy et Etan) a été effectuée pour voir l’influence de chacun des paramètres

indépendamment des autres sur une courbe d’indentation type (figure 2.13); de façon à pouvoir fixer les bornes de l’étude paramétrique.

Figure 2.13 Effets du module d’Young, du module tangent et de la limite élastique sur les courbes d’indentation modélisées

L’étude de sensibilité des paramètres (figure 2.13) a été réalisée sur une simulation d’indentation à profondeur fixe de 500 nm. On remarque au premier coup d’œil que, si tous les paramètres influencent plus ou moins grandement la courbe d’indentation, quantifier précisément l’effet de chacun en n’utilisant que les graphiques semble être une tâche difficile. Il importera donc de se fixer des critères permettant de décrire correctement la courbe d’indentation. On peut de plus voir que la limite d’élasticité n’a qu’un effet minime sur la courbe d’indentation, tant qu’elle n’atteint pas une certaine valeur (appr. 100 MPa); la fixation des valeurs pour l’étude paramétrique n’en est que d’autant plus importante (tableau 2.5). 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 200 400 600 Force (µN) Profondeur (nm)

Effet de la limite élastique Sy = 0.5 MPa Sy = 1.5 MPa Sy = 3 MPa Sy = 10 MPa Sy = 30 MPa Sy = 100 MPa Sy = 300 MPa 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 200 400 600 Force (µN) Profondeur (nm)

Effet du module tangent 1 GPa 2 GPa 3 GPa 4 GPa 5 GPa 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 200 400 600 Force (µN) Profondeur (nm)

Effet du module d'Young 5 GPa 7 GPa 9 GPa 11 GPa 15 GPa 30 GPa

Tableau 2.5 Paramètres de modélisation par éléments finis

L’association des cinq valeurs pour chacune des trois variables de l’étude paramétrique permettra d’obtenir 125 solutions, pour lesquelles nous évaluerons la courbure du chargement C (Gouldstone et al., 2007), la tangente à la courbe de déchargement S (Oliver et Pharr, 1992) et la profondeur de l’empreinte résiduelle hp. Ces trois paramètres permettent de décrire une courbe de nano-indentation et ceux-ci sont connus pour les essais expérimentaux. En recoupant les résultats de nano-indentation par AEF et ceux expérimentaux, il devrait être possible d’obtenir un groupe de trois propriétés mécaniques d’un matériel bilinéaire (E, Sy et Etan) qui produit en modélisant la nano-indentation avec Ansys une courbe d’indentation qui

se superposerait à celle obtenue à profondeur d’indentation égale sur l’essai préliminaire (échantillon de 1560 nm).