Modélisation du moussage en batch

ii) Nucléation hétérogène

Le changement d’énergie libre (∆Fhétérogène) d’une solution liquide-gaz métastable à la formation

hétérogène d’une bulle de gaz dans le liquide sur une interface liquide / solide peut être donné par :

∆Fhétérogène = −(Pbulle− Ppolymère)Vg+ (γsg− γsl)Asg+ γlgAlg (1.4.4)

avec γsg et γsl la tension de surface à l’interface solide-gaz et solide-liquide respectivement, et

Asg et Alg l’aire de la surface le long de l’interface solide-gaz et liquide-solide respectivement.

Dans ces expressions, s représente le solide. b. Prédiction du taux de nucléation

Blander et Katz [Blander1975] ont défini le taux de nucléation des bulles, J, comme la vitesse à laquelle les bulles critiques gagnent des molécules de gaz, ce qui déclenche leur croissance spontanée pour devenir des bulles nucléées. Deux taux de nucléations peuvent donc-être définis :

Jhomogène = N s 2γlg πmg exp − 16πγ 3 lg

3kBTsysteme(Pbulle,critique− Ppolymère)2

! (1.4.5) Jhétérogène = N2/3B s 2γlg πmgF exp − 16πγ 3 lgF

3kBTsysteme(Pbulle,critique− Ppolymère)2

!

(1.4.6) avec N le nombre de molécule de gaz par unité de volume de polymère, mg la masse molaire du

gaz, kB la constante de Boltzmann, B le rapport de la surface de la bulle nucléée de manière

hétérogène sur celle d’une bulle sphérique avec le même rayon de courbure et F un facteur géométrique. Par exemple, pour une surface plane, F est exprimé de la façon suivante :

F(θc) = 2 + 3cosθc

−cos3_θ c

4 (1.4.7)

avec θc l’angle de contact qui est une propriété des matériaux liée aux énergies interfaciales par

l’équation de Young :

γsg = γsl+ γlgcosθc (1.4.8)

1.4.2 La croissance des bulles

La croissance des bulles est fonction du coefficient de diffusion de l’agent moussant dépendant de la concentration, du refroidissement progressif de la mousse pendant l’expansion, de l’influence de l’agent moussant sur la viscosité du polymère et de l’évacuation de l’agent moussant à partir de la surface de la mousse [Ramesh2014]. Les équations nécessaires pour la croissance des bulles sont indiquées dans la partie suivante.

1.4.3 Modélisation du moussage en batch

La figure 1.19montre que l’on peut considérer qu’une enveloppe composée d’un fluide viscoélas- tique avec un volume fini et une quantité limitée de concentration de gaz, entourent chaque bulle.

Figure 1.19 – Condition de la limite de perte de gaz d’après Ramesh [Ramesh2014]

Ceci correspond au modèle cellulaire (cell model). Leung et al. [Leung2006] ont utilisé ce modèle pour décrire la croissance cellulaire. Plusieurs hypothèses sont faites, notamment que la bulle est sphériquement symétrique tout au long du processus de croissance, que la solution polymère / gaz est incompressible ou encore que le gaz à l’intérieur de la bulle obéit à la loi du gaz idéal tout au long du processus de croissance des bulles.

i) Formules mathématiques nécessaires

La croissance de la bulle peut être analysée en résolvant simultanément les équations de régulation pour le transfert de masse et le transfert de moment qui se produisent entre les bulles nucléées et la solution de polymère / gaz environnante dans le système de coordonnées sphériques. L’équation de continuité pour le flux autour de la bulle de gaz croissante peut être réduite à :

1 r2 ∂ ∂r  r2u(r)= 0 (1.4.9)

avec r la position radiale et u(r) la vitesse du fluide à la position r.

En utilisant l’équation (1.4.9) et l’état limite de la vitesse radiale à la surface de la bulle,

u(R) = ˙R (1.4.10)

la vitesse radiale de la solution polymère / gaz est exprimée de la façon suivante : u(r) = ˙RR

2

r2 (1.4.11)

avec R le rayon de la bulle.

En utilisant l’équation (1.4.11) et en supposant que les forces d’inertie sont négligeables et que la pression à la limite extérieure de l’enveloppe à l’instant t est égale à la pression du système

appliquée, Ppolymère(t), à ce moment, l’équation de moments (1.4.9) pour la solution de polymère

/ gaz qui entoure la bulle de gaz peut être exprimée par :

Pbulle(t, t0) − Ppolymère(t) −2γlg R + 2 Z R_enveloppe(t,t0) R(t,t0₎ τrr− τθθ r dr= 0 (1.4.12)

Pour décrire la nature viscoélastique de la solution de polymère / gaz, le modèle Maxwell quasi-linéaire supérieur est utilisé. En utilisant la transformation en coordonnées Lagrangiennes, les équations constitutives qui caractérisent le fluide viscoélastique peuvent être réduites en équations différentielles ordinaires de premier ordre :

dτrr dt = − 1 λ+ 4R2 ˙R y+ R3 ! τrr− 4ηR 2 ˙R λ(y + R3₎ (1.4.13) dτθθ dt = − 1 λ− 2R2 ˙R y+ R3 ! τθθ+ 2ηR 2 ˙R λ(y + R3₎ (1.4.14)

avec λ le temps de relaxation de la solution polymère / gaz et y la coordonnée Lagrangienne transformée :

y= r3− R(t, t0)3 (1.4.15)

En utilisant la transformation des coordonnées Lagrangiennes, l’équation (1.4.12) devient :

Pbulle(t, t0) − Ppolymère(t) − 2γlg R + 2 Z R3 enveloppe−R3 0 τrr− τθθ 3(y + R3)dy= 0 (1.4.16)

En admettant que l’accumulation des molécules de gaz adsorbées sur la surface de la bulle soit négligeable, la loi de conservation de masse implique que le changement de masse dans la bulle de gaz soit équilibré par la masse de gaz diffusant dans la bulle à travers sa surface. En considérant, de plus, que le gaz à l’intérieur de la bulle obéit à la loi des gaz parfaits, la pression dans la bulle peut donc être liée au gradient de concentration à la surface de la bulle soit :

d dt 4π 3 Pbulle(t, t0)R(t, t0)3 <T ! = 4πR(t, t0₎2_D∂C(t, t0) ∂r    _r=R (1.4.17)

avec < la constante universelle des gaz parfaits et D le coefficient de diffusion.

Comme il est présumé que la diffusion du gaz dans la solution polymère / gaz est constante pendant la croissance, l’équation de la diffusion peut être écrite comme :

∂C ∂t + ˙RR2 r2 ∂C ∂r = D r2 ∂ ∂t  r2∂C ∂r  (1.4.18) Cette équation est valable lorsque r ≥ R et elle est soumise aux conditions limites suivantes :

∂C(Renveloppe, t, t0)

∂r = 0 pour t ≥ t’ (1.4.20)

avec C0 la concentration initiale de gaz dissous dans la solution polymère / gaz

ii) Stratégies de résolution du problème

Les équations (1.4.12) à (1.4.20) permettent de décrire la croissance des bulles pendant le moussage. Ces équations, décrivant la dynamique de croissance des bulles, sont fortement non linéaires et couplées. Leung et al. [Leung2006] ont utilisé un algorithme de simulation numérique qui intègre la méthode Runge-Kutta de quatrième ordre et le schéma de différence finie explicite pour résoudre l’ensemble des équations décrites précédemment, et ainsi simuler le comportement de croissance cellulaire lors des processus de moussage de polymère. Pour simuler les phénomènes de croissance des bulles, un maillage de 100 points a été utilisé.

iii) Résultats obtenus

Leung et al. [Leung2006] ont déterminé des données expérimentales grâce à un système de visualisation in situ sur un système expérimental de moussage en batch. En comparant les résultats de la simulation avec les données observées expérimentalement, il apparaît que les profils de croissance simulés pour les bulles nucléées à différents moments peuvent prédire, avec précision, les comportements de croissance des bulles observés pour différentes conditions opératoires (cf. figure1.20).

Figure 1.20 – La taille des bulles obtenue par Leung et al. [Leung2006] b. Approche avec le volume d’influence

Cette approche est une modification de l’approche précédente. Comme indiqué précédemment (cf. section 1.4, page 43), le phénomène physique de moussage peut être décrit en quatre étapes.

Dans la littérature, Shafi et al. [Shafi1996;Shafi1997a;Shafi1997b] ont développé un modèle pour les étapes 2 et 3, c’est-à-dire la nucléation et la croissance des bulles. Dans ce modèle de moussage de polymère, l’expansion est libre et comprend la nucléation et la croissance des bulles

simultanément. Il est supposé qu’initialement la concentration c0 de gaz dissous à l’équilibre est

à la pression PD0.

i) Les équations de nucléation

Les équations de nucléations homogène et hétérogène sont modifiées par rapport aux équations précédentes ((1.4.5) et (1.4.6)). Pour le taux de nucléation homogène, la formule suivante est utilisée : Jhomogène = N r 2γ πmBexp − 16πγ3 3kBT(Pbulle0 − Ppolymère) − I(Gk,α)+ P 0 bulle×ln Ω2/Z2L)2 ! (1.4.21) avec B un coefficient (en général B = 1), P0

bulle la pression de la phase dispersée, Ppolymère la

pression de la phase continue ou pression ambiante, γ la tension de surface entre le gaz et le polymère, N le nombre de molécules de gaz dissous par unité de volume de polymère fondue calculé comme étant N = NAC(t) avec N¯ A le nombre d’Avogadro et ¯C(t) la concentration

moyenne en gaz, I(Gk,α) le nombre d’élasticité de nucléation, Ω2 le coefficient d’activité du gaz

dissous dans la masse fondue de polymère et Z2L le facteur de compressibilité du soluté de gaz

dissous dans la masse fondue de polymère. ii) Les équations pour la croissance

Dans ce modèle, la croissance des bulles intervient juste après leur nucléation. La motivation d’inclure la cinétique de croissance est due au fait qu’un volume d’exclusion est présent. Il correspond au volume du matériau autour de chaque bulle où la concentration du gaz dissous est inférieure à la concentration d’équilibre, c0.

Le mécanisme de croissance des bulles est décrit en utilisant l’équation du mouvement, le bilan de masse sur une bulle, la diffusion de gaz dans le polymère environnant et l’équilibre de la masse totale de l’agent gonflant.

• Équation d’équilibre des forces à l’interface gaz-polymère : dR dt = (Pbulle− Ppolymère)R 4η − γ 2η (1.4.22)

• Bilan de matière sur une bulle : d dt 4π 3 PbulleR3 <T ! = 4πR2_D∂c ∂r    _r=R (1.4.23)

• Diffusion du gaz dans le polymère environnant : ∂c ∂t + ˙RR2 r2 ∂c ∂r = D r2 ∂ ∂t  r2∂c ∂r  (1.4.24) Les conditions initiales et limites pour la concentration sont les suivantes :

c(r, 0) = ci(r) au temps initial (1.4.25)

c(R, t) = cR(t) = KHPbulle(t) à la surface de la bulle (1.4.26)

iii) Résolution de la nucléation et de la croissance simultanément

Pour calculer la nucléation et la croissance simultanément il faut, à chaque instant, calculer le nombre de bulles ayant nucléé à l’aide de l’équation (1.4.21) en fonction de la concentration moyenne en gaz dans la matrice polymère ¯C(t), la pression de la phase continue Ppolymère et

la température T . Il faut ensuite, pour chaque bulle née au temps t, calculer la croissance des bulles grâce aux équations (1.4.22) à (1.4.24), avec les conditions limites (1.4.25) à (1.4.27). En calculant le bilan massique total entre le gaz résiduel dans le polymère et le gaz consommé pour la croissance de toutes les bulles, la concentration moyenne de gaz dans le polymère est recalculée et utilisée pour le calcul de la nucléation au temps suivant, t + ∆t. En conservant le calcul de la croissance des bulles pour toutes les bulles déjà nées, le calcul de la nucléation et de la croissance des bulles pour les bulles nouvellement nucléées se déroule de manière similaire à celui effectué au temps précédent (cf. figure1.21).

Figure 1.21 – Schéma de la nucléation et de la croissance simultanées des bulles, adapté de Ohshima [Ohshima2014]

Deux approches différentes existent pour déterminer la concentration en gaz dans la nouvelle bulle. La pression dans la bulle peut être constante et égale à la concentration initiale soit

Pbulle = c0/KH, ou elle peut être recalculée en fonction de la concentration en gaz dans le

polymère ¯C(t) soit Pbulle= ¯C(t)/KH.

iv) Volume d’influence

Dans les articles de Shafi et al. [Shafi1996;Shafi1997a;Shafi1997b], de nouvelles grandeurs physiques sont introduites pour résoudre le problème (cf. figure 1.22). Vs est défini comme étant

le volume d’influence. Cela consiste à considérer qu’il existe un certain volume autour d’une bulle, dans lequel il ne peut pas y avoir nucléation d’une autre bulle. Cette approche consiste aussi à considérer que la croissance d’une bulle est limitée par le transfert de gaz dissous. De ce fait, une bulle ne peut pas capter du gaz présent au delà de sa zone d’influence. S représente la position radiale pour laquelle la concentration en gaz dissous est égale à la concentration seuil de nucléation cs. Quand la bulle grossit, le gradient de concentration se propage radialement dans

le polymère, conduisant à une augmentation du volume d’influence. Ce volume d’influence est calculé avec l’expression suivante :

Vs= 4π

Figure 1.22 – Représentation du volume d’influence [Shafi1996;Shafi1997a;Shafi1997b]

Dans cette approche, VLest considéré comme étant le volume de non-influence dans lequel de

nouvelles bulles peuvent apparaître, il est calculé de la façon suivante : VL(t) = VL(0) −

Z t

0

VL(t0)Js(t0)Vs(t − t0)dt0 (1.4.29)

avec VL(0) le volume initial égal au volume du polymère.

Le nombre de bulles NB est calculé à l’aide de l’équation suivante :

dNB

dt = Js(t)VL(t) (1.4.30)

Pour faciliter l’analyse, et en appliquant la méthode intégrale au problème actuel, une nouvelle fonction indéterminée en temps est définie : Vcb. Physiquement, cela représente le volume de la

masse fondue entre la surface de la bulle et la position radiale dans laquelle la concentration en gaz dissous en solution se rapproche de la concentration initiale en gaz c0. Cette région est

appelée la région de concentration limite. Cette zone est visible sur la figure1.22.

x(r, t, t0), qui représente la fraction volumique entre le volume de matière fondue compris entre la surface de la bulle et la position radiale normalisée r, et le volume de la région de concentration limite Vcb (1.4.31) est également défini.

x ≡ 4π

3

r3− R3

En se plaçant en x = S, il est obtenu :

xs= 4π

3

S3_{− R}3

Vcb (1.4.32)

Ce qui implique une relation entre Vs, xs et Vcb :

Vs= xsVcb (1.4.33)

Une nouvelle variable pour la concentration C est également définie (1.4.34) :

C ≡ c − cR

c0− cR (1.4.34)

Les équations (1.4.31) et (1.4.34) transforment un problème ayant des limites se déplaçant avec des conditions aux limites variables en un problème de limite fixe avec des conditions aux limites constantes. C est égale à 0 à la surface de la bulle (x = 0), et est égale à 1 à l’extrémité de la limite de concentration (x = 1). Un profil de concentration peut alors être choisi, tel que :

C= 1 − (1 − x)Nd+1 (1.4.35)

avec Nd, l’ordre le plus élevé des polynômes. En général, un profil de concentration cubique est

utilisé, soit Nd = 3.

Par transformation, le système à résoudre pour la croissance des bulles prend la forme suivante :

dVcb dt = Vcb c0− cR dcR dt + 16π2_DR4 Vcb dC/dx|x=0 R1 0(1 − C)dx (1.4.36) Vcb = 4π(cR R3− c0R3c) 3KH<T(c0− cR)R01(1 − C)dx (1.4.37) v) Résultats obtenus

Les équations pour la croissance des bulles ont été résolues en utilisant la méthode Gear. Les équations non linéaires sont résolues selon la méthode de Brown. Les équations régissant la nucléation simultanée et l’évolution des bulles ont été résolues en utilisant un schéma de différence finie.

Shafi et al. [Shafi1996] ont implementé ce modèle pour un système LDPE - N2, et ont observé

l’influence des paramètres d’entrées (tension de surface, coefficient de diffusion,...) : par exemple, ils ont observé que diminuer la tension de surface augmente le taux de nucléation. Ils ont également observé que la taille finale des bulles dépend du taux de nucléation et de la dynamique de croissance des bulles.

Mao et al. [Mao2006] ont mis en œuvre les données de Shafi et al. [Shafi1996] en modifiant le modèle pour distinguer deux étapes : l’expansion de la phase gaz (bulle) et la croissance de la mousse. La figure1.23montre a) le rayon de la première bulle (pendant l’expansion libre), b) la pression de la bulle (pendant l’expansion libre), c) la concentration pendant la nucléation, et d) le gradient de concentration au bord de la bulle. La figure 1.23.c) montre notamment que la

Figure 1.23 – La taille des bulles et la concentration obtenues par Mao et al. [Mao2006]

concentration moyenne en gaz dissous dans le polymère reste constante à la valeur initiale. Ceci valide donc le choix de prendre Pbulle= c0/KH.