Les jonctions entre plaques sont modélisées par un ressort linéaire travaillant
en flexion (voir Figure 2.10) via un élément 1D continu le long de la ligne de
raccordement.
nœud i
plaque 1
plaque 2
i
1i
20
k
θressort lin´eaire
Figure 2.10 – Modélisation d’une jonction entre deux plaques : ressort linéaire
travaillant en flexion
La rigidité linéique élastique en flexion du ressort est supposée homogène le
long de la ligne de raccordement et notée k
θ. La rotation autour de la ligne de
raccordement dui
1enœud situé sur cette ligne appartenant à la plaque 1 (resp. à la
plaque 2) est notéeθ
i1(resp. θ
i2).m
i1f
etm
i2f
sont les moments linéiques définis par
les équations (1.59) et (1.60) aux nœuds i
1eti
2tels que :
m
i1f z
=k
θ(θ
i1−θ
i2), (2.102)
m
i2f z
=k
θ(θ
i2−θ
i1). (2.103)
On note [K
θ] la matrice élémentaire de rigidité du ressort :
[K
θ] =
k
θ−k
θ−k
θk
θ(2.104)
qui peut être assemblée dans la matrice globale[K
3d]à partir des indices correspondant
aux nœuds i
1eti
2.
Les Figure2.11et2.12montrent la modélisation et la simulation d’un assemblage
de deux plaques par une liaison rigide et par une liaison élastique modélisée par un
ressort linéaire, respectivement, avec des conditions aux limites et des paramètres
matériaux fixés. On peut observer que le coin reste un angle droit au cours de (et
après) la déformation pour une jonction rigide, alors que ce n’est plus le cas pour
une jonction élastique.
4 Bilan
Les éléments de plaques et/ou coques sont largement utilisés pour modéliser
des structures planes. Dans notre travail, les théories classiques sont présentées et
(a) (b)
Figure 2.11 – Assemblage de deux plaques par une jonction parfaitement rigide :
(a) conditions aux limites et (b) maillages initial et déformé
(a) (b)
Figure 2.12 – Assemblage de deux plaques par une jonction élastique modélisée
par un ressort linéaire : (a) conditions aux limites et (b) maillages initial et déformé
appliquées dans le cas des plaques. Il existe différentes configurations de plaques. Dans
la littérature, les plaques sont très souvent classées selon leur géométrie (plaque plane,
circulaire), la sollicitation subie (charges ponctuelles, réparties), mais également selon
leur comportement (membrane, flexion) et la prise en compte ou non du cisaillement
transverse. Pour ce dernier aspect, on distingue les plaques sans cisaillement (souvent
minces et homogènes dans leur épaisseur), dites plaques de Kirchoff-Love, et les
plaques prenant en compte le cisaillement (souvent épaisses et/ou hétérogènes dans
leur épaisseur), dites plaques de Reissner-Mindlin.
Différentes formulations éléments finis de plaques (et de coques) ont été proposées
depuis le début des années 1970 pour la résolution numérique de problèmes de
plaques minces et épaisses en accord avec les hypothèses de Kirchhoff-Love et
de Reissner-Mindlin, respectivement. Parmi les nombreux éléments existants, les
éléments finis présentés dans ce chapitre reposent sur la prise en compte des conditions
de cisaillement (éventuellement nulles) sous forme discrète ; on distingue les éléments
DKT et DKQ qui négligent les effets du CT et les éléments DST et DSQ qui tiennent
compte des effets du CT.
Une validation et une comparaison des différents éléments finis de plaques sont
fournies dans l’AnnexeBpour une plaque circulaire encastrée ou simplement appuyée
sur son pourtour. L’assemblage des plaques dans l’espace et la modélisation des
liaisons élastiques par éléments finis sont présentés.
Les modèles de plaques (et de coques) font encore actuellement l’objet de
nom-breux développements scientifiques, essentiellement pour représenter le plus finement
possible les effets 3D tout en conservant des temps de calcul acceptables.
Simulation virtuelle des essais de
validation
Dans ce troisième chapitre, des modèles probabilistes des rigidités
des liaisons et du tenseur d’élasticité sont présentés et reposent
sur le principe du maximum d’entropie (MaxEnt). La méthode des
moindres carrés couplée à une méthode de Monte-Carlo par Chaîne
de Markov (MCMC) ainsi que la méthode du maximum de
vraisem-blance sont utilisées pour l’estimation des hyperparamètres associés
aux modèles. Des simulations numériques modélisant des essais de
validation sur un bureau en tenant compte des incertitudes sur les
propriétés du matériau et les rigidités de jonctions sont comparées
à des mesures issues d’essais expérimentaux. Les résultats obtenus
permettent de valider l’approche probabiliste et les modélisations
numériques employées.
nique . . . . 75
1.1 Principe général du maximum d’entropie . . . . 75
1.2 Modèle probabiliste des rigidités des jonctions . . . . 76
1.3 Modèle probabiliste du tenseur d’élasticité . . . . 77
1.4 Générateur de réalisations des rigidités des jonctions . . . . . 82
1.5 Générateur de réalisations des paramètres matériaux . . . . . 84
2 Essais réels de validation . . . . 89
2.1 Essai de charge statique horizontale . . . . 90
2.2 Essai de charge statique verticale . . . . 90
2.3 Essai de durabilité horizontale. . . . 91
2.4 Essai de stabilité verticale . . . . 92
3 Simulation stochastique du comportement de meuble. . . . 93
1 Modèles probabilistes des paramètres incertains
en mécanique
La quantification d’incertitudes (UQ pour « Uncertainty Quantification » en
anglais) impliquant des problèmes aux limites stochastiques a été l’objet de nombreux
travaux au cours des deux dernières décennies, notamment en mécanique numérique et
en mathématiques appliquées. On présente dans ce chapitre la méthode paramétrique
qui est adaptée à la prise en compte des incertitudes sur les paramètres des modèles
(tels que les propriétés du matériau et les rigidités des jonctions identifiées au
chapitre1).
La sous-section 1.1 est consacrée au principe général du maximum d’entropie
(MaxEnt) pour la construction des lois de probabilité des rigiditésk
θdes jonctions
(sous-section 1.2) et du tenseur d’élasticité JCK (sous-section 1.3). Dans la
sous-section 1.4, on présente la méthode du maximum de vraisemblance pour déterminer
les paramètres de la densité de probabilité (p.d.f. pour « probability density function »
en anglais)p
Ket générer des réalisations de la variable aléatoireK modélisant la
rigidité k
θ. La sous-section 1.5introduit une méthode des moindres carrés couplée
à une méthode de Monte-Carlo par Chaîne de Markov (MCMC) pour calculer les
paramètres du modèle probabiliste et générer des réalisations indépendantes du
tenseur d’élasticité pour un matériau isotrope transverse.
Dans le document
Simulation virtuelle des essais de validation pour l'ameublement - meubles à base de plaques
(Page 86-92)