Modélisation des incertitudes

un amincissement de l'ordre de 20%. Pour le plissement, ils comparent la hauteur de plis par rapport à une valeur critique dénie selon leurs expériences. Ces derniers dénissent un procédé de mise en forme comme étant stable lorsque des légères variations qui peuvent aecter les paramètres matériaux, les conditions de lubrication et les paramètres de chargements ne conduisent pas à l'apparition des instabilités plastiques. Dans le même contexte, [Zhang & Shivpuri 2009] ont eectué une analyse probabiliste permettant de minimiser les probabilités d'occurrence du phénomène de rupture et de plissement dans le cas de l'emboutissage. Cette approche consiste à construire un indice de performance à maximiser.

les travaux cités précédemment montre que la prise en compte des incerti-tudes au cours du procédé permet d'assurer la stabilité du procédé. L'optimisation stochastique du problème requiert un grand nombre d'évaluations de la réponse du système, associé à un temps de calcul fastidieux. Pour contourner ce problème certains se basent sur des métamodèles générés avec une technique de surface de réponses ou d'autres techniques d'approximation. Par la suite des simulations Monte Carlo sont eectuées sur les modèles prédits pour estimer le niveau de abilité d'un tel procédé.

2.4 Modélisation des incertitudes

Dans ce paragraphe, on présente un panel des diérentes méthodes développées permettant la modélisation des incertitudes dans des problèmes de mécanique li-néaires et non lili-néaires. Suivant le problème traité, une méthode peut être mieux adaptée qu'une autre. En réalité, il existe une variété de méthodes permettant la modélisation et la propagation de ces incertitudes. Ces méthodes peuvent être clas-sées en deux catégories : les méthodes probabilistes ou stochastiques et les méthodes non probabilistes comme la théorie des intervalles, la modélisation convexe et la lo-gique oue. Dans la suite nous nous intéressons aux principales techniques utilisées par la communauté scientique.

2.4.1 Approche probabiliste

L'approche probabiliste est couramment utilisée pour la modélisation d'in-certitudes dans des problèmes d'optimisation des structures [Schueller 2001], [Doltsinis & Rodic 1999]. La densité de probabilité et la fonction de répartition sont utilisées pour dénir l'occurrence de certaines quantités stochastiques incertaines par nature. La description statistique d'une variable aléatoire X peut être don-née soit par la fonction de répartition ou par la densité de probabilité (Équation 2.1).

P [X ≤ x] = F_X(x) = Z x

∞

f_X(x) dx (2.1)

P [·] : la probabilité d'occurrence d'un évènement ; X : variable aléatoire de réalisations possibles xi; F_X(x) : fonction de répartition de la variable aléatoire X ; f_X(x) : densité de probabilité ;

La densité de probabilité de la variable aléatoire X peut être aussi caractéri-sée avec ses moments statistiques et plus particulièrement par ses deux premiers moments : la moyenne µ(X) ou E(X) et la variance V ar(X) notée aussi par σ2(X). Les deux premiers moments sont donnés par les équations suivantes :

µ(X) = E(X) = Z ∞ ∞ xdF_X(x) = Z ∞ ∞ xf_Xdx (2.2) σ²(X) = Z ∞ x (x − µ(X))²dF_X(x) = Z ∞ x (x − µ(X))²f_X(x)dx (2.3) Plusieurs types de distributions sont utilisés pour représenter ces variabilités. Les lois usuelles largement adoptées pour modéliser ces quantités physiques dont la loi normale, lognormal et Weibull. Une bonne caractérisation d'une variable aléatoire nécessite un panel important d'informations et souvent d'éectuer une campagne d'essai assez coûteuse. Dans le cas de la mise en forme, une bonne caractérisation de ces distributions nécessite une base de donnée assez riche sur les paramètres matériaux ou sur les trajets de chargements. L'accès à ces informations pose souvent un vrai problème. Souvent des méthodes numériques ou des échantillons de taille réduite moyennant une technique d'ajustement sont la plupart du temps utilisés. En réalité, certains paramètres aléatoires ne peuvent pas être représentés par des lois de probabilité. Pour cette raison, on trouve les approches non probabilistes qui permettent une représentation plus judicieuse de ces variabilités. Ces techniques ne nécessitent pas de supposer une densité de probabilité pour la variable aléatoire.

2.4.2 Arithmétique des intervalles

L'arithmétique des intervalles est considérée comme la première approche non probabiliste. L'incertitude varie dans un intervalle déni par une valeur minimale et une valeur maximale (Équation 2.4).

X = [x_min, x_max] = {x ∈ <|x_min ≤ x ≤_max} (2.4) En connaissant les intervalles de variation des paramètres incertains, on peut déter-miner facilement l'intervalle de variation des sorties. Cette approche nécessite moins d'information par rapport à l'approche probabiliste et ne s'intéresse qu'aux valeurs extrêmes. Cependant, elle présente quelques inconvénients : elle ne permet pas une bonne représentation de la façon dont les incertitudes évoluent. Elle ne permet pas

2.4. Modélisation des incertitudes 29 de déterminer le nombre d'occurrence de certaines variables. En plus, il est di-cile de dénir pour un paramètre incertain les limites de variations sans dénir un intervalle de conance.

2.4.3 Modélisation convexe

Cette méthode a été proposée an de contourner le problème de manque d'in-formation. Dans cette technique, les incertitudes varient dans un ellipsoide ou un hyper cube multidimensionnel. Le modèle convexe peut être supposé comme une extension des arithmétiques des intervalles.

2.4.4 Ensemble ous et logique ous

La logique oue est une généralisation et une amélioration de la théorie des intervalles. Dans la théorie des intervalles les incertitudes sont caratérisées par un ensemble de réalisation qui se base sur une logique booléenne. Dans la logique oue, la notion d'intervalle est prolongée avec une nouvelle composante qui permet d'aecter une valeur entre [0,1] à la valeur d'incertitude. Les valeurs de l'intervalle x ∈ [xmin, xmax] sont calibrées avec une fonction d'appartenance µΩ(x) qui varie sur l'intervalle [0,1] et qui décrit le degré d'appartenance au domaine faisable Ω. La dénition d'une fonction intermédiaire permet une modélisation plus riche en terme d'information ce qui lui permet une meilleure représentativité des sorties en comparaison à la théorie des intervalles.

Cette approche a été adaptée par [Kleiber et al. 2004] en considérant les in-certitudes sur la courbe limite de formage an d'estimer la probabilité de défaillance dans une opération d'emboutissage. Plusieurs travaux ont utilisés cette approche notamment dans des opérations de mise en forme [Garcia 2005], [De-Munck et al. 2008]. La logique oue a été utilisée dans de nombreux travaux de recherche pour la modélisation et la propagation des incertitudes dans des problèmes de mécanique. [Rao & Reddy 2006] ont utilisé cette théorie en calcul de structure en considérant les paramètres de chargement et les propriétés matériaux comme aléatoires.

2.4.5 Approche non paramétrique

Cette approche a été proposée par [Soize 2003] dans le cadre de la dynamique de structures. Elle permet d'inclure les incertitudes dans les matrices de masse, de rigidité et d'amortissement intervenant dans les équations de la dynamique. Les den-sités de probabilité de ces matrices sont construites suivant le principe du maximum d'entropie [Soize 2000].

2.4.6 Approche non probabiliste ou possibiliste

Les approches non probabilistes ont été développées dans le cadre de l'optimi-sation des structures mécaniques ou les densités de probabilité ne sont pas connues ou leurs déterminations nécessitent un coût élevé. Ces méthodes sont connues sous le nom des approches possibilistes [Beyer & Sendho 2007], [De-Munck et al. 2008]. Dans un contexte d'optimisation le recours à ces approches ne nécessite pas une connaissance à priori des lois de probabilité.