Modélisation géostatistique.

1 0. 1. 2. 1 P ar l e s h y d r ol o g u e s

Aucun des modèles utilisés par les agences de l’eau ne prend en compte les corrélations temporelles et spatiales des mesures. A priori, les modèles statistiques décrivant les phénomènes de pollution ne prennent pas en compte la structure arborescente et l’ensemble des mesures sont considérées comme les réalisations de variables aléatoires identiquement distribuées et indépendantes. C’est une hypothèse sous jacente lorsqu’on utilise par exemple une régression. Plusieurs auteurs se sont intéressés à ces problèmes et à l’utilisation de la géostatistique pour les résoudre. Dans un premier temps, certains auteurs (Villeneuve et al, 1979 ; Huang and Yang, 1998) préconisent l’utilisation du krigeage pour l’estimation des débits moyens sur une période supérieure à un mois dans l’objectif d’intégrer la variabilité spatiale dans les estimations et de proposer le meilleur estimateur linéaire au sens de la variance d’estimation minimale. L’estimation porte sur les débits spécifiques (débit divisé par la surface drainée) pour se ramener à une fonction aléatoire stationnaire. Huang et al. se distinguent par le choix d’un point représentatif du bassin pour définir les distances dans le calcul des variogrammes. Le problème de ces démarches est que la structure d’arbre liée à la géométrie d’un réseau hydrographique, n’est pas prise en compte. Les distances considérées dans les calculs sont euclidiennes (distance à « vol d’oiseau ») et non les distances au fil de l’eau, et tous les couples formés par des points sont pris en compte qu’ils soient reliés au fil de l’eau ou non. Ceci implique par exemple une hypothèse de dépendance des concentrations sur des rivières parallèles. La distance euclidienne, comme montré, peut fortement différer de la distance curviligne car deux stations peuvent être très proches géographiquement mais sur deux rivières dont la confluence est éloignée. Considérer la distance euclidienne et non la distance curviligne ne semble pas aberrant, les concentrations étant par exemple fortement influencées par l’occupation du sol, deux stations proches peuvent être très corrélées. Cependant, si on cherche à mettre en évidence des corrélations spatiales liées au transport de polluant sur une rivière, il faut travailler avec la distance curviligne. Enfin des interrogations sur les discontinuités aux confluences subsistent.

E. Sauquet (Sauquet, 2000a ; Sauquet et al., 2000b et 2000c) présente une synthèse bibliographique sur l’étude des corrélations et de l’interpolation des débits le long d’un réseau hydrographique, renvoyant à divers articles de L. Gottschalk (Gottschalk, 1993a et 1993b ; Gottshalk and Krasovskaia, , 1994 et 1998 ; Gottschalk and Tveito, 1997) et Krasovskaia (Krasovskaia et al., 2003) dans lesquels sont développés des modèles pour calculer une fonction de covariance des débits le long d’une rivière basés sur une équation de conservation du volume d’eau généré à l’échelle du bassin.

Bibliographie : géostatistique sur les graphes - 132 -

Dans sa thèse, E. Sauquet présente les résultats d’estimation d’écoulements annuels par krigeage des lames d’eau sur l’ensemble du réseau formé par le bassin Rhône-Méditerranée-Corse en comparant la distance euclidienne à celle calculée au fil de l’eau (deux points dont la confluence est la mer sont aussi pris en compte avec une distance égale à la somme de la distance entre les deux exutoires et la distance de chaque point à l’exutoire). Mais une validation croisée montre que les deux méthodes sont peu performantes. Il privilégie alors une autre piste selon laquelle le débit interannuel observable en chaque point du linéaire est l’intégrale sur le bassin versant d’un champ ponctuel de génération d’écoulement spatialement homogène. Plus simplement, le débit en un point est égal à la somme des contributions à l’écoulement en rivière en amont de ce point, divisé par la surface drainée. Le bassin versant est découpé en plusieurs zones adjacentes qui forment une partition du bassin. La contribution de chacune de ces zones est estimée par krigeage 2D à l’aide du réseau de référence inclus dans le bassin versant pour lequel module et surface drainée sont connus.

1 0 . 1 . 2 . 2 Q u e l q u e s m o d è l e s r é c e n t s g é o s ta t i s t i q u e s Intégration le long des cours d’eau

(Bruno et al., 2000)

R. Bruno et al. proposent une application du krigeage à l’analyse des sédiments en rivière. L’objectif est d’estimer la contribution locale du sol sur la concentration de sédiments mesurée en rivière. Pour cela, les valeurs mesurées sont considérées comme les réalisations d’une fonction aléatoire Z u( ) _non stationnaire, définie sur \ et égale à la combinaison linéaire de:

- Une fonction aléatoire stationnaire Y définie sur \2, représentant la contribution locale du sol

- La contribution de la rivière elle-même, par transport des sédiments de l’amont à l’aval :

( )

Z u−du

Le modèle est développé en considérant une distance curviligne calculée depuis chaque source et se sommant aux confluences. Ainsi à chaque confluence, les deux contributions amont sont prises en compte. Une écriture de Y en fonction de Z se déduit alors aisément de la modélisation et l’étude de la corrélation spatiale de Y et un krigeage peuvent être effectués. Le modèle est appliqué au vanadium sur le bassin versant du Reno en Italie. L’amplitude de la variance de krigeage s’avère assez élevée. Ce modèle conduit aux quelques interrogations suivantes :

- Le choix de la distance. Sur une rivière, c’est la distance curviligne depuis la source, mais après

confluence, les distances amont se somment. La distance est donc discontinue et ne respecte pas non plus l’inégalité triangulaire si on considère deux points à l’amont-aval l’un de l’autre et séparé par un point de confluence.

- Le modèle est écrit pour une confluence, mais que devient la généralisation à l’arbre entier ?

Moyennes mobiles sur le réseau (Ver Hoef et al., 2006)

Ver Hoef et al montrent que les modèles usuels géostatistiques de covariance ne sont plus valables sur les graphes (voir aussi Krivoruchko and Mateu, 2003). Ils proposent alors la construction d’un modèle basé sur le procédé des moyennes mobiles qui répartit sur les arrêtes un noyau défini sur la demi- droite amont (voir aussi Collins et al., 2001 ; Higdon, 2002).

Sur chaque bief, les concentrations sont supposées stationnaires. La construction de la fonction aléatoire sur l’ensemble du réseau hydrographique se fait alors de la source vers l’exutoire : la concentration en un point dépend uniquement des concentrations à l’amont. A chaque confluence, la concentration immédiatement à l’aval est égale à la somme pondérée des concentrations amont. Les poids correspondent aux débits ou à une information équivalente telle que l’ordre du cours d’eau, et ont la somme de leurs carrés égale à un dans l’objectif de maintenir la stationnarité. Un modèle de covariance est alors déduit de cette construction sous l’hypothèse d’indépendance entre rivières à l’amont de leur confluence, et une application du krigeage est donnée pour des concentrations de métaux lourds. Les résultats obtenus améliorent ceux obtenus par un krigeage classique avec distance euclidienne. Plusieurs questions restent en suspend à l’issue de cet article : au vu des données, peut on vraiment considérer les concentrations stationnaires sur l’ensemble du graphe, voire sur un bief ? Peut- on considérer les concentrations indépendantes sur deux rivières parallèles ?

Un modèle mixte pour les distances (Cressie et al. , 1997 et 2005)

Deux articles de Cressie et al. traitent de l’estimation des concentrations sur un réseau hydrographique. Le premier présente une modélisation spatio-temporelle de la concentration en nitrates le long d’une rivière drainant un bassin versant. La structure du réseau hydrographique n’intervient pas dans la modélisation effectuée en deux dimensions, le temps et une dimension d’espace, via l’abscisse curviligne. Une dérive multiple permet de prendre en compte la saisonnalité ainsi que de nombreuses variables décrivant le milieu.

Le deuxième, écrit en 2006, propose une autre façon de tenir compte des caractéristiques locales. Il reprend la démarche de modélisation par Ver Hoef, en utilisant les moyennes mobiles. L’idée supplémentaire dans cet article consiste à combiner au modèle de covariance développé pour la distance curviligne, un modèle basé sur la distance euclidienne pour tenir compte des corrélations dues à la proximité géographique et des corrélations liées au transport amont du polluant. L’application porte sur une variable transformée et normalisée construite à partir des concentrations en oxygène dissous. Mais l’ajustement du modèle de covariance par maximum de vraisemblance montre que seul le modèle développé pour la distance euclidienne doit être pris en compte.

Modèles statistiques pour les cours d’eau

(Monestiez et al., 1989 et 2005 ; Audergon et al., 1993 ; Bailly et al., 2006)

Les travaux de Monestiez et al. dans le domaine des fonctions aléatoires définies sur des graphes ont débuté par l’étude des estimateurs de la fonction de covariance et du variogramme sur un arbre fruitier. Les auteurs calculent selon quatre distances les variogrammes expérimentaux de divers paramètres tels que le poids et la teneur en sucre des fruits. Retenant comme distance le nombre d’embranchements entre deux points, une covariance exponentielle est ajustée et un krigeage effectué. Le choix de la distance est pointé comme une étape importante de la modélisation.

Les articles suivants traitent des fonctions aléatoires définies sur des supports arborescents : on ne s’intéresse plus uniquement à des paramètres définis sur les nœuds source ou exutoires d’un graphe, mais à l’estimation de paramètres le long d’un réseau hydrographique, donc aussi sur les arrêtes. Pour modéliser la largeur du fluvisol dans la partie aval du réseau hydrographique de l’Hérault ou les fossés de drainage du bassin de Roujan, les auteurs construisent une fonction aléatoire de l’exutoire vers les sources, en posant une hypothèse d’indépendance conditionnelle entre points situés sur des cours d’eau différents, connaissant l’ensemble des valeurs à l’aval de leur confluence. Par cours d’eau, tous

Modèle général - 134 -

les modèles de covariance sont admissibles, entre points situés sur des cours d’eau différents, la covariance n’est pas stationnaire. Des simulations conditionnelles sont présentées.