Modélisation du comportement des matériaux

Le comportement d’un matériau peut être décrit par une approche discrète, très onéreuse pour de grandes structures fissurées, ou par une approche continue s’appuyant sur deux théories : la théorie de la plasticité et la théorie de l’endommagement.

5.3.1. Endommagement

Il s’agit de modéliser l’impact des micro-fissures et micro-cavités sur le comportement d’un matériau, ce qui implique une décohésion dans le volume élémentaire représentatif. Ce type de modélisation s’adapte donc aux matériaux fragiles dont fait partie le béton.

La modélisation est basée sur une variable interne de dégradation D, de nature tensorielle ou scalaire : dans ce dernier cas, en notant :

- E0 : module d’élasticité du matériau sain ;

- E : module d’élasticité du matériau endommagé ; elle peut être définie par :

0

1

E E

D  _(5.4)

Aussi, en phase élastique :

 

  1D E₀ (5.5)

Une autre définition consiste à rapporter la surface occupée SD du matériau par les micro-défauts à sa surface totale S (Equation (5.6)) : on parle alors de surface effective.

S S

Chapitre I : Généralités et définitions

« Cette approche est destinée à l’étude de structures dont la taille est largement supérieure à celle des hétérogénéités. Les lois de comportement sont établies sur le volume endommagé et sont attribuées à chaque point de celui-ci » [BUJ 07]. Or, nos travaux portant sur l’activation de l’effet membrane sur une dalle à comportement élasto-plastique, nous préférons nous appuyer sur la théorie de la plasticité décrite ci-après.

5.3.2. Plasticité

La plasticité, qui décrit deux étapes de comportement, à savoir : - la condition ou critère d’atteinte de l’état plastique ;

- le comportement après l’atteinte du critère (écrouissage ou adoucissement) ; est basée sur des hypothèses restrictives :

- les contraintes sont réparties de façon homogène et uniforme ; - le facteur temps n’est pas pris en compte – viscosité, fluage ; - le matériau subit de petites déformations.

Contrairement aux déformations élastiques, les déformations plastiques dépendent de l’historique des contraintes lors de l’application des sollicitations. L’incrément des déformations plastiques est gouverné par une loi dite d’écoulement plastique.

Un modèle élasto-plastique est basé sur un critère de plasticité définissant le domaine de comportement réversible ou élastique C_E. Ce critère précise le début de l’écoulement plastique, à partir duquel les déformations deviennent irréversibles, et au cours duquel une évolution du seuil de plasticité F est possible, ce qui traduit un écrouissage du matériau.

La fonction ou surface de charge F, qui doit être de nature convexe, peut être définie, entre autres, par :

- le critère de Rankine : il se définit comme le critère de la contrainte maximale [RAN 58] ; son caractère quasi-unidimensionnel le rend trop simpliste, ce qui explique que d’autres critères lui sont sinon préférés, du moins combinés ;

- le critère de Huber - von Mises : lié au second invariant J2 du tenseur déviatorique et au principe d’incompressibilité plastique, ce critère énergétique peut être utilisé pour décrire le mode de ruine des matériaux métalliques ductiles, tels que l’acier. Ce critère n’est cependant pas adapté aux géomatériaux tels que le béton, en raison de la complexité de leur comportement incluant notamment de la cohésion et du frottement [HUB 04, VON 13] ; - le critère de Drucker - Prager : il s’agit d’une généralisation du critère de Von Mises pour les

matériaux à frottement interne. Le critère de Drucker - Prager combine le premier invariant I1 du tenseur des contraintes au second invariant J2, et permet de tenir compte du confinement sous pression triaxiale [DRU 52]. Il dépend de 2 paramètres :

- l’angle de frottement interne du matériau, noté Φ ;

- la cohésion du matériau, notée c, contrainte de cisaillement maximale à contrainte normale nulle.

La rupture du matériau se produit lorsque les contraintes franchissent l’espace des contraintes principales défini par les deux invariants [BUJ 07]. Toutefois, l’utilisation de ce critère ne permet pas de dépasser le seuil de plasticité en cas de chargement hydrostatique.

Chapitre I : Généralités et définitions

La fermeture du critère en compression triaxiale – « cap models » [DI 71, HOF 93] - est une alternative à ce problème de franchissement.

Le principe de multi-surfaces permet également de modéliser le comportement d’un matériau dont la non-linéarité résulte de plusieurs mécanismes, pour chacun desquels une surface de charge propre est définie. Par exemple, le modèle proposé par Nechnech [NEC 00] et le modèle BETON du code Cast3M [CEA 11a, CEA 11b] incluent :

- un comportement fragile caractérisé par un critère en contrainte maximale de type Rankine en traction ;

- un comportement ductile caractérisé par un critère de type Drucker - Prager en compression. Ceci permet de combiner la fissuration et la plasticité au sein d’un même modèle.

On parle d’écoulement associé lorsque la direction des incréments de déformations plastiques est normale à la frontière de C_E. Autrement, on parle d’écoulement non-associé, ce qui est généralement le cas dans les modèles de géomatériaux pour une meilleure représentation de leur comportement dilatant.

En cas de multi-surfaces, l’écoulement plastique tient compte de l’apport de chaque potentiel plastique. En cas de variation de la température, la modélisation du comportement d’un matériau doit tenir compte des déformations d’origine thermique, des déformations d’interaction thermo-mécaniques, et de l’évolution de ses propriétés mécaniques en fonction de la température.

La surface de charge et la loi d’écoulement plastique sont définies en tant que fonctions de la température θ.

5.3.3. Interaction thermo-mécanique

De façon générale, le taux de déformation totale εest la somme du taux de déformation élastique e

ε , du taux de déformation plastique ε , du taux de déformation d’origine thermique p ε et du taux ^

d’interaction thermo-mécanique ε : tm tm p e ε ε ε ε ε     (5.7)

Comme en plasticité classique, la déformation plastique est calculée en utilisant la loi d’écoulement. Le calcul de la déformation thermique se fait à partir du coefficient de dilatation thermique α qui dépend de la température [DE 77, KHE 92] :

 

ε_   (5.8)

ou à partir de formules empiriques [DE 77, KHE 92] :

 

ε  (5.9)

La déformation d’interaction thermo-mécanique quant à elle peut être calculée en appliquant l’une des deux méthodes proposées par Bazant et Kaplan [BAZ 96] et Anderberg et Thelandersson [AND 76].

La première méthode, proposée par Bazant et Kaplan [BAZ 96], assimile cette déformation à une déformation de fluage définie en configuration uni-axiale par l’Equation (5.10).





Chapitre I : Généralités et définitions

où J(θ, t, t’) représente la fonction de complaisance de fluage, c’est-à-dire la déformation induite à l’instant t par une contrainte unitaire appliquée à l’instant t’, indépendante du niveau de contrainte : « l’accentuation de l’effet de la contrainte appliquée sur le module d’Young » E n’est donc pas prise en compte. Par ailleurs, cette approche temporelle n’est pas justifiée en raison du caractère quasi-instantané de cette déformation. Aussi, Schneider [SCH 88] a-t-il proposé la formule (5.11) applicable au cas uni-axial :

  

E

tm  (5.11)

où Φ est une fonction de fluage transitoire dépendant de la température et de l’histoire du chargement.

Dans la deuxième méthode, proposée par Anderberg et Thelandersson [AND 76], la déformation d’interaction thermo-mécanique décrit l’impact de la contrainte appliquée sur la déformation thermique du béton, conduisant au concept d’interaction thermo-mécanique. En configuration uni-axiale, cette déformation est définie de façon empirique par :

      C c tm f _  20 , 0 (5.12) avec :

- f_c,20°C : résistance en compression uni-axiale à 20 °C ; - β0 : paramètre variant de 1,8 à 2,35 ;

- ζ : contrainte uni-axiale appliquée.

Une généralisation de la loi uni-axiale (5.11), proposée par Thelandersson [THE 87], consiste à diviser le taux de déformation thermo-mécanique en 2 parties, dont une déviatorique _d^tmet une volumique _v^tm_{, soit :} s I p T p T d tm d v tm v           (5.13) avec : - p : pression hydrostatique ;

- s : vecteur contrainte déviatorique ; - γ_v et γ_d : paramètres matériaux.

La déformation d’interaction thermo-mécanique est anisotrope, tout comme le processus global de déformation thermique du matériau, générant des déformations de cisaillement. De plus, une variable d’endommagement thermique appropriée permet de tenir compte de l’effet du chargement mécanique sur la variation thermique du module d’Young.