1.2 Rhéologie des matériaux
1.2.4 Modélisation des mouvements hydrodynamiques
De la même manière que dans le modèle fluide, décrivant la dynamique des électrons (Sec. 1.1.2), les mouvements hydrodynamiques lors de la relaxation de la matière chauf- fée confinée dans le matériau froid peuvent être décrits par les équations de conservation d’Euler. Cependant, étant nécessaire ici de tenir compte du comportement solide du maté- riau, une forme plus générale de ces équations est utilisée où la pression thermodynamique
P est remplacée par le tenseur des contraintes de Cauchy ¯σ [72¯ –74]. Il est à noter que les contraintes sont une généralisation de la pression. En outre, le formalisme Eulérien utilisé précédemment (Eqs. (1.14), (1.15) et (1.16)), permettant de suivre l’évolution des électrons depuis des positions fixes (éléments du maillage fixes), est substitué par le for- malisme Lagrangien, permettant de suivre les macro-particules du matériau au court du temps le long de leurs trajectoires (éléments du maillage mobiles et déformables). Les dérivées partielles dans les Eqs. (1.14), (1.15) et (1.16), sont alors remplacées par des dérivées particulaires liées par la relation dG(r,t)dt = ∂G(r,t)∂t + (U.∇)G(r, t), où G(r, t) et U sont, respectivement, une grandeur associée à une macro-particule du matériau (densité, vitesse, énergie,...) et la vitesse de l’écoulement. Dans ce cas, le système d’équations de conservation s’écrit : ρd dt( 1 ρ) − ∇.U = 0 (1.32) ρdU dt − ∇.¯σ = 0¯ (1.33) ρdetot dt − ∇.(¯σ.U) = 0¯ (1.34) etot = eint+ 1 2U 2 (1.35) où ρ, etot et eintsont, respectivement, la densité et les énergies totale et interne spécifiques.
De manière générale, le tenseur des contraintes de Cauchy peut être décomposé en deux termes tensoriels :
¯ ¯
σ = −P Id+S¯¯ (1.36)
Le premier terme correspond à la partie sphérique du tenseur des contraintes. C’est un tenseur diagonal contenant la pression thermodynamique et représentant le comportement fluide de la matière. Le deuxième terme,S, est le tenseur déviateur des contraintes tenant¯¯
compte du comportement solide du matériau, incluant notamment le cisaillement (termes extra-diagonaux).
Ce système de trois équations (Eqs. (1.32), (1.33), (1.34)) à cinq inconnues nécessite deux équations supplémentaires, c’est à dire des relations de fermeture, pour être tota- lement résolu. Deux équations constitutives, c’est à dire deux lois de comportement de la matière sont utilisées. Tout d’abord la pression thermodynamique est calculée à l’aide d’une équation d’état (EOS), fonction des valeurs locales de densité et d’énergie interne. Puis, dans le cas d’un solide idéal élasto-plastique où la viscosité est négligée (hypothèse justifiée plus bas par les applications considérées), le tenseur déviateur des contraintes est évalué par la résolution de l’équation différentielle suivante [74] :
dS¯¯
dt = 2G(
¯ ¯
où G est le module de cisaillement et D¯¯0 est la partie déviatorique du tenseur taux de
déformation D défini comme la partie symmétrique du gradient des vitesses. Ces deux¯¯
tenseurs s’expriment de la manière suivante : ¯ ¯ D0 =D −¯¯ 1 3T r( ¯ ¯ D)Id (1.38) et ¯ ¯ D = 1 2[∇.U + (∇.U) t] (1.39) ¯ ¯
W correspond à la partie antisymmetrique du gradient des vitesses et s’écrit :
¯ ¯
W = 1
2[∇.U − (∇.U)
t] (1.40)
Le tenseur taux de déformation plastique D¯¯p dans l’Eq. (1.37) est déterminé par la
relation :
¯ ¯
Dp = χ(N¯¯p :D¯¯p)N¯¯p (1.41) où le symbole : défini le produit scalaire tensoriel tel que A :¯¯ B = T r(¯¯ A¯¯tB),¯¯ N¯¯p désigne la direction (dans l’espace des contraintes) de l’écoulement plastique :
¯ ¯ Np = ¯ ¯ S | ¯S|¯ (1.42) et χ représente le paramètre de commutation défini par :
χ = 0 si (f < 0) ou si (f = 0 et (N¯¯p :D¯¯p) ≤ 0) 1 si (f = 0 et (N¯¯p :D¯¯p) > 0) (1.43) où f est la fonction d’écoulement plastique2. Le premier cas correspond à différents
régimes de déformation à l’exception de la déformation plastique : le régime élastique (f < 0), le déchargement élastique (f = 0 et (N¯¯p : D¯¯p) < 0) et le chargement neutre
(f = 0 et (N¯¯p : D¯¯p) = 0), i.e. dans un état hors régime élastique et avec une déforma- tion constante. Il s’agit de l’état précédent le déchargement élastique (Fig. 1.10). Il est à noter que lors du régime de déformation élastique, les vitesses du son dans les maté- riaux solides peuvent se décomposer en une composante longitudinale et une transverse, respectivement, cl et ct, telles que [74] :
c2l = c2h+4 3 G ρ (1.44) et c2t = G ρ (1.45)
où ch est la vitesse du son thermodynamique standard relative aux milieux fluides.
2. La fonction d’écoulement plastique est définie dans l’espace des contraintes. Celui-ci peut-être à neuf dimensions dans une géométrie 3D ou à quatre dimensions dans une géométrie 2D. Dans ces espaces, les domaines d’élasticité et de plasticité sont séparés par une hypersurface appelée surface de charge. Cette hypersurface a une équation du type f (σij) = 0 où f est appelée fonction d’écoulement plastique.
Le deuxième cas correspond au régime plastique. Dans ce cas, seules des ondes de com- pression/détente peuvent se propager, et les vitesses du son dans ce cas sont cl = ch et ct= 0. En effet, comme présenté précédemment, lors de la déformation plastique, des dis-
locations apparaissent par cisaillement. Celles-ci, similaires à des ruptures microscopiques, empêchent alors les plans atomiques de transmettre des mouvements transverses à leurs proches voisins. De plus, il est à noter que lors d’une déformation plastique, le phénomène de durcissement3 peut augmenter la limite élastique du matériau [75]. Cependant, ce phé-
nomène, aussi appelé écrouissage, concerne exclusivement les métaux (matériaux ductiles`) et plus spécifiquement, les métaux non-fragile et plastifiable (avec un domaine de plasti- cité important) et sans comportement viscoélastique dans la gamme de température des opérations de transformation. Ceci limite donc le nombre de matériaux concernés par ce type de phénomène. Dans cette étude, les matériaux considérés, tels que les verres, étant de type fragiles et présentant une zone de plasticité peu importante avant rupture [73], l’hypothèse d’un comportement plastique parfait est considéré et la limite d’élasticité est supposée constante. L’évolution temporelle du déviateur des contraintes est ainsi assu-
Figure 1.10 – Courbe contrainte-déformation typique d’un matériau solide avec un com- portement plastique parfait. Illustration de la valeur de la fonction de plasticité f en fonction du régime de chargement et de déchargement de contrainte.
jettie à la fonction d’écoulement plastique qui détermine à quel régime de déformation est soumis le matériau. La fonction d’écoulement plastique peut s’écrire de manière générale de la façon suivante :
f = σeq− Y (1.46)
3. Lorsqu’une sollicitation en contrainte est appliquée à un métal et est supérieure à sa limite d’élasti- cité, celui-ci va subir des déformations plastiques (irréversibles). Par la suite, si une nouvelle sollicitation en contrainte lui est appliquée, celle-ci devra être au moins égale à la contrainte maximale de la précédente sollicitation pour de nouveau induire des déformations plastiques. La limite d’élasticité du solide a donc été augmentée, ainsi que sa dureté. On dit que le métal a été durci.
où Y représente la limite d’élasticité du matériau et σeq est une contrainte locale effective,
appelée contrainte équivalente. Dans cette étude la fonction d’écoulement plastique est définie par le critère de von Mises [76]. Ce critère, très largement utilisé, a été choisi afin de simplifier les modèles dans un premier temps. D’autres critères, plus complexes, permettant par exemple de décrire précisément la densification des verres [77] pourraient être également utilisés. Cependant on suppose que les comportements généraux obtenus et d’intérêt restent les mêmes. Différents critères existants, celui de von Mises inclus, sont présentés en Annexe C. Dans le cas du critère de von Mises, cette contrainte équivalente, dite également de comparaison, peut s’écrire :
σeq = s 3 2T r( ¯ ¯ S.S)¯¯ (1.47)