Modélisation des distributions de parton généralisées

gé-néralisées

1.5.1 Dépendance en x et ξ des GPDs

L’interprétation de la dépendance en x et ξ des GPDs est schématisée sur la figure 1.12. En fonction des valeurs relatives de x et ξ, trois régimes se distinguent. Le premier (à gauche) et le troisième (à droite) s’interprètent respectivement comme la diffusion sur un antiquark et sur un quark et correspondent à la région dite DGLAP car l’évolution en Q2 suit les lois d’évolution DGLAP (voir paragraphe 1.2.4). Le second (au centre) s’interprète comme une interaction avec une paire de quark-antiquark du nucléon, car une fraction d’impulsion est négative tandis que l’autre est positive. La modélisation des GPDs dans cette région peut s’inspirer de la modélisation d’une Distribution d’Amplitude (DA). La DA représente l’amplitude de probabilité de créer une paire quark-antiquark collinéaires d’impulsions z et ¯z = 1 − z (voir figure 1.13) et peut se modéliser par un polynôme de Gegenbauer. Ce régime pour les GPDs correspond à la région dite ERBL car l’évolution en Q2suit les équations d’évolution ERBL [27, 28].

-1 −ξ ₀ ξ ₁

ξ

x x

ξ-x -x−ξ +ξ _-x x^+ξ −ξ

ERBL region: qq exchange

DGLAP region _{DGLAP region}

scattering off an antiquark scattering off a quark

x

forward limit:

ξ 0

ξ 1

FIGURE1.12 – Interprétation des distributions de parton généralisées dans les intervalles en x : [−1, −ξ], [−ξ, ξ], [ξ, 1]. Les régions cinématiques et les limites en ξ → 0 et ξ → 1 sont indiquées sur le schéma. Inspiré de la figure originale de [29].

1.5. MODÉLISATION DES DISTRIBUTIONS DE PARTON GÉNÉRALISÉES

z

1-z

P

FIGURE1.13 – Distribution d’amplitude avec un quark et un anti-quark.

1.5.2 Les doubles distributions

Les doubles distributions (DD) sont introduites dans [12, 14, 30, 31] et permettent une inter-polation continue entre les trois régimes définis précédemment pour modéliser les GPDs. La pa-ramétrisation sous forme de doubles distributions est basée sur la considération des deux régions limites des GPDs : la région où ξ → 0 qui correspond à une distribution de parton ordinaire, et la région où ξ → 1, où la GPD prend la forme d’une distribution d’amplitude. La DD peut prendre la forme du produit de convolution d’une distribution de parton et d’une DA en effectuant un changement de variables (x, ξ) −→ (α, β) tel que

(x ± ξ)P⁺ = βP⁺∓ (1 ± α)^∆

+

2 ^. (1.36)

Ce changement de variables permet de décorréler la dépendance en ξ des GPDs de l’impulsion du proton P , portée après le changement de variables par α, qui est corrélée au transfert en impul-sion ∆. Cette modification permet de faire prendre la forme d’une DA aux doubles distributions lorsque P → 0 et ∆ 6= 0.

Les DDs peuvent être factorisées sous la forme [31]

H^DD(β, α) = h(β, α)q(β), (1.37)

où q(β) est une distribution de parton et où h(β, α) est une fonction de profil pouvant être modélisée par h(β, α) =  Γ(2b + 2) 22b+1Γ2(2b + 1)   [(1 − |β|)2− α2]^b (1 − |β|)2b+1  , (1.38) avec 1−|β| Z −1+|β| h(β, α)dβ = 1.

Le paramètre libre b dans l’équation 1.38 caractérise la dépendance en ξ de la fonction de profil. La dépendance en ξ est plus importante lorsque b diminue. Ce paramètre peut être défini indépen-damment pour les quarks de valence et de la mer. Il est possible de reconnaître dans l’équation 1.38 un polynôme de Gegenbauer, provenant de la modélisation de la DA (voir paragraphe 1.5.1).

Le D-term

Les modèles de doubles distributions ne respectent pas la polynomialité des GPDs car le der-nier terme du développement en ξn+1 des GPDs H et E, lorsque n est impair, n’est pas pris en

FIGURE1.14 – Représentation schématique d’une double distribution exprimée en fonction des variables β, α et t.

compte, du fait de la corrélation entre x et ξ. La polynomialité peut être restaurée par l’ajout d’un terme supplémentaire, appelé le D-term. Celui-ci a été introduit dans [32]. Il existe un D-term pour chaque saveur de quark (Dq) et pour les gluons (Dg). Ce terme est réel et il est associé à un échange de méson de parité 0⁺(deux pions par exemple). Il ne "survit" que dans la région ERBL des DDs car il est défini pour |α| ≤ 1 [29]. Le D-term peut se décomposer en polynômes de Gegenbauer suivant [32, 33, 29] D^q(x, t) = (1 − x²) ∞ X n=1,n pair dnC_2n+1^3/2 (x), (1.39)

où les coefficients dndépendent de t. La décomposition est similaire pour Dg.

1.5.3 Dépendance en t des GPDs

Dépendance en t factorisée

La relation entre les GPDs et les DDs ne dépend pas de t. Il est donc possible d’utiliser une forme factorisée pour la dépendance des doubles distributions en t. Comme le premier moment en x des GPDs est un facteur de forme dépendant uniquement de t, il est possible d’obtenir une dépendance en t factorisée pour les GPDs sous la forme [34]

H^u(x, ξ, t) = ¹ 2^F u 1(t)H^u(x, ξ, 0), H^d(x, ξ, t) = F₁^d(t)H^d(x, ξ, 0), (1.40) ˜ H^u,d(x, ξ, t) = ^GA(t) G_A(0)^H˜ u,d(x, ξ, 0).

Dépendance en t non factorisée

Une dépendance en t non factorisée des GPDs peut être obtenue en paramétrisant celles-ci par un ansatz "à la Regge" avec lequel l’interaction entre les photons et les quarks est décrite par un échange de mésons portant les mêmes nombres quantiques, sauf leur spin. Avec cet ansatz, l’amplitude est proportionnelle à sα(t)où l’exposant α(t) est une trajectoire de Regge (voir [35] pour plus d’informations). La trajectoire de Regge peut être décomposée en α(t) = α(0) + α⁰t. Dans le

1.5. MODÉLISATION DES DISTRIBUTIONS DE PARTON GÉNÉRALISÉES régime à grand s où sont étudiées les GPDs, x ∼ ¹_s. Pour reproduire le comportement asymptotique de F1(t)en 1/t, il est possible d’introduire une dépendance en t des GPDs de la forme [36]

H(x, ξ, t) ∝ e^α0(1−x)t. (1.41)

1.5.4 Le modèle VGG

Le modèle VGG [18, 36, 34, 37] (voir aussi la revue [16]) est basé sur les doubles distributions pour les quarks. Il est optimisé pour décrire les GPDs dans la région de valence. Ce modèle est utilisé pour les calculs de la partie II de ce manuscrit. La paramétrisation des GPDs dans le modèle VGG est faite d’après les éléments exposés dans les sections 1.5.2 et 1.5.3. Pour le travail présenté dans la partie II les dépendances en t de H et E sont paramétrées suivant [18, 36]

H^q(x, 0, t) −→ q_v(x)x^−α01(1−x)t (1.42)

E^q(x, 0, t) −→ ^κq Nq

(1 − x)^ηqqv(x)x^−α02(1−x)t

où κq est le moment magnétique anomal du nucléon pour la saveur de quark q. Le paramètre ηq

sert à contraindre le comportement à grand x de la GPD E. Dans ce travail, le paramètre α⁰ = 1.098 et le paramètre b dans la fonction de profil (équation 1.38) est tel que bval = b_sea = 1. Le D-term n’est pas inclus dans les calculs. Une dépendance en t factorisée pour H peut aussi être obtenue sous la forme

H^q(x, 0, t) = q_v(x)F₁(t). (1.43)

La figure 1.15 présente la dépendance en x et en ξ de la GPD H d’après le modèle VGG. Elle montre que la GPD prend la forme d’une distribution de parton quand ξ → 0 et la forme d’une DA quand ξ → 1, comme mentionné au paragraphe 1.5.1.

Autres modèles

Des informations sur les différents modèles de GPDs peuvent être trouvées dans la revue [16]. Plusieurs modèles sont basés sur les doubles distributions, notamment le modèle VGG utilisé ici dans la partie II, et le modèle GK utilisé au chapitre 6 pour décrire la production exclusive de π⁰.