4.2 Approche théorique
4.2.1 Modélisation de l’interface
La modélisation de l’interface, peut être représentée soit de manière très simpliste, par seule- ment une résistance, ou bien de manière beaucoup plus fidèle à la réalité en utilisant le modèle comportant trois éléments que nous nommerons modèle équivalent. Ce dernier étant adéquat pour la description du comportement fréquentiel de l’impédance d’interfaces dans la bande passante des signauxENG(nous considérons quelle s’étend de 100 Hz à 1 kHz).
Modèle équivalent
Le modèle présenté dans lafigure 4.2permet la description du comportement fréquentiel de l’impédance du pôle de mesure. Dans la plage de fréquences utile pour l’acquisition desENG, l’interface électrode-tissus peut souvent être modélisée empiriquement au moyen d’éléments capacitifs et résistifs parallèles (Rc t//Ci), associé avec une résistance série (Rs) [KPR04]. Ces
paramètres sont liés à des grandeurs électrochimiques :
– la résistance série Rscorrespond à la résistance de la solution ;
– la capacité d’interface Ci représente la « capacité de double-couche », liée à la couche
hydratée, en série avec la « capacité de couche-diffuse » ;
– la résistance en parallèle correspond à la résistance de transfert de charge Rc t.
Mentionnons que Ci n’est pas un condensateur idéal, mais que sa valeur décroît avec l’aug-
mentation de la fréquence. Attardons-nous sur les caractéristiques de ces paramètres. Afin de déterminer le comportement fréquentiel de l’impédance totale sachant que la surface du contact influence énormément la qualité de l’interface, commençons par exposer le comporte- ment de chaque élément en fonction de cette surface.
Résistance de la solution Le caractère résistif du milieu (Rs) est fortement liée à la surface
du contact (par contre elle varie peu en fonction du matériau utilisé), elle est inversement proportionnelle à la surface de contact et peut être définie pour une pôle carré par l’équation [Fra+05] :
Rs=ρs
ln 4
4.2. Approche théorique
ρs résistivité de la solution : 75Ωcm,
l longueur d’un coté d’un contact (pour un contact carré).
Comme décrit par l’équation (4.1), la résistance de la solution est contrainte par la surface du pôle utilisé. Cependant, les résistances séries expérimentales peuvent s’avérer inférieures à celles auxquelles on peut s’attendre d’après ce calcul théorique. En effet, selon la rugosité du contact, la surface de celui-ci peut être supérieure à celle déterminée pour une surface lisse. Pour un pôle de diamètre donné, la rugosité augmente la surface de contact et ainsi diminue la résistance série. On peut exprimer un gain en surface, en représentant le rapport entre la résistance calculée pour la surface géométrique et la résistance Rsmesurée, nous l’exprimons
par un facteur de rugosité FRugdes matériaux :
FRug= RsMe/RsT h (4.2)
RsMe étant la résistance mesurée,
RsT h celle théorique.
Capacité d’interface L’impédance de la capacité d’interface Z ci dépend du matériau utilisé
et est proportionnelle à la surface du pôle [LDD08].
Sachant que la valeur de la capacité décroît avec l’augmentation de la fréquence, l’impédance Z ci peut être notée comme un élément à phase constante (CPE ) :
Z ci =
1 ( jQi2πf )α
(4.3)
Qi étant exprimé en sΩ−1/α
α pouvant être compris entre 0 et 1.
Pour présenter impédance seulement comme une capacité dont la valeur décroît avec l’aug- mentation de la fréquence, on utilise :
|Z ci( f )| = Ci/ fβ (4.4)
Ci étant la valeur de la capacité d’interface pour une fréquence de 1 Hz.
On verra par la suite que pour un matériau donné, la grandeur Ci est souvent exprimée
par unités de surface (en µFcm−2). Cette valeur est très importante pour notre étude car en s’appuyant sur la bibliographie on pourra extrapoler cette capacité pour notre application. Nous avons besoin d’homogénéiser ces deux modèles, car par la suite nous devons passer
Chapitre 4. Faisabilité de la chaîne d’acquisition TABLE4.1 – Valeurs des paramètres utilisés pour tracer les impédances de lafigure 4.3.
Z Rs Rc t Ci α
n◦ enΩ en MΩ en µF
1 5000 1 0,1 1
2 5000 1 0,1 0,8
3 5000 1 0,01 0,8
de l’un à l’autre, et en identifiant les modèles décrits par l’équation (4.3)etéquation (4.5)En considérant queα = 1 − β, on peut écrire :
Z ci= 1 jαCi2πfα (4.5) Et : Ci= 2πα−1Qαi (4.6)
Résistance de transfert La résistance de transfert de charge Rc test souvent très grande par
rapport à Rs. Sa valeur dépend du matériau utilisé. Mentionnons que l’influence de la résistance
Rc t apparaît seulement aux basses fréquences, souvent en dehors de la bande passante du
signal. De ce fait, la valeur de cette résistance, n’est pas un facteur déterminant pour le choix de l’électrode, on ne rentrera pas plus dans le détail de cet élément.
Comportement fréquentiel de l’impédance Pour les hautes fréquences la capacité agit comme un court-circuit, le modèle est équivalent à Rs. En basses fréquences, la capacité est équivalente
à un circuit ouvert, le circuit équivalent se résume à deux résistances en série Rset Rc t. Plus
précisément, le comportement fréquentiel de l’impédance est décrit par l’équation analytique :
Z = Rs+
Rc t
1 + jαRc tCi2πfα
(4.7)
Pour une première approche considérons que la capacité ne varie pas en fonction de la fré- quence. On prend doncα = 1. Le tracé de Bode de cette impédance est représentée en bleu dans lafigure 4.3, pour un exemple où les valeurs (usuelles) des composants sont reportés dans letableau 4.1. Sur cette figure on peut identifier des points particuliers. On retrouve en haute fréquence la valeur de Rs, en basse fréquence la valeur de Rc t. Pour Z no1, l’influence
de la capacité apparaît, ayant une pente de −α = −1 sur ce tracé log-log. En pointillés, est représenté le module de l’impédance Zc. Pour les trois impédances, on peut noter (à partir
de l’équation (4.3)) que pour f = 1Hz, Z c = 1/(2πC i ). Maintenant si seul α change (p. ex. Z no2,α = 0,8) la pente est plus douce, mais pour f = 1Hz la valeur de Z c ne change pas. Par
4.2. Approche théorique f = f c2 f = f c1 100 101 102 103 104 105 106 107 108 100 101 102 103 104 105 106 107 108 |Z | Ω Rs Rt |Z c| =2π.C1 i f ( Hz)
FIGURE4.3 – Tracé de Bode des impédances définies dans letableau 4.1. Module en fonction
Chapitre 4. Faisabilité de la chaîne d’acquisition Vsign Z1 Ve1 Ve2 Z2 Vba Iba Vin
Signal Electrode Bruit Electronique Ampli idéal
Vphi
FIGURE4.4 – Modèle d’acquisition, Vsi g n : signal utile, Vph y : bruit physiologique, Ve1et Ve2 :
bruits d’interfaces des deux contacts, Vbaet Iba : bruit électronique en tension et en courant.
conséquent, la plage de fréquences pour laquelle l’impédance est équivalente à la résistance série est décalée vers des fréquences plus élevées (figure 4.3en vert). Ensuite, si la valeur de C i augmente (ici d’un facteur 10 avec Z no3), l’impédance Z c diminue aussi d’un facteur 10 et on
retrouve pour f = 1Hz, Z c = 1/(2pi 10C i ).
Impédance à 1 kHz
Le modèle résistif permet de simplifier fortement le modèle équivalent qui vient d’étre pré- senté. Souvent l’impédance à 1 kHz (milieu de la bande passante desENG) est prise comme approximation. La valeur réelle de l’impédance pour des fréquences plus élevées étant sou- vent très proche mais plus faible que celle-ci à 1 kHz, en prenant l’impédance à 1 kHz comme référence, la valeur de celle-ci sera donc légèrement surestimé par rapport à la valeur moyenne de l’impédance d’interface dans la bande passante.