Dans ce chapitre nous allons présenter un modèle analytique du comportement d’une structure bicouche de type poutre. Sa forme flambée après les procédés de fabrication sera
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recherchée ainsi qu’une estimation des température de cloquage et décloquage en fonction de la déflection et la déformée trouvées précédemment. Ce modèle est valide uniquement pour une structure de type Bernoulli, c’est-à-dire une poutre élancée dont la largeur est nettement inférieure à sa longueur et peut être considérée comme unitaire. Les structures fabriquées dans ce projet, pour la plupart, ne rentrent pas dans cette catégorie car leur largeur est de dimension comparable à leur longueur. Elles sont donc considérées comme des plaques et le modèle analytique correspondant est bien plus complexe que pour les poutres, il ne va donc pas être traité ici. Par contre il va permettre de manière pédagogique de voir l’influence des contraintes initiales dans les différentes couches sur la déformée et la déflexion initiale de la structure, ainsi que l’évolution des températures de flambage avec ces différents paramètres. Une rapide analyse par éléments finis sur ANSYS est aussi présentée.
Dans un premier temps un modèle analytique est mis en place pour déterminer l’influence des contraintes dans les différentes couches sur la courbure initiale de la structure. Ce modèle est uniquement valable pour des structures de type poutre élancée. Tout d’abord nous allons définir ce qu’est le flambage d’une poutre élancée. Le flambage buckling en anglais a lieu lorsque la force axiale compressive du à une contrainte mécanique appliquée sur les bords de la poutre ou à des contraintes thermiques lors du chauffage de la poutre encastrée dépasse une certaine limite, dite la charge d’Euler. A ce moment, les petites déformations dans le plan donnent lieu à de très larges déplacements hors-plan. Une des applications les plus courantes du flambage est l’interrupteur thermique présent dans les fers à repasser ou les bouilloires. Une poutre bicouche initialement courbée vers le bas par exemple est chauffée. La différence de dilatation thermique des deux matériaux va créer des contraintes thermiques qui vont mener au flambage de la poutre et à la rupture du contact électrique avec l’inversion de la courbure.
Dans ce modèle, qui est largement inspiré de la thèse de M. Aron nous allons être capable de prédire la déflexion initiale de la poutre en fonction des différents niveaux de contraintes dans les couches, et ainsi avoir une idée de la déformée de la poutre en fonction par ailleurs de la rigidité de torsion aux ancrages. Les structures étudiées ici sont composées de quatre couches de matériaux différents : une première couche d’AlN de nm et une couche de platine Pt de nm qui seront égales pour toutes les configurations étudiées, et une couche d’AlN et d’Al actives dont les épaisseurs sont des paramètres à faire varier.
La poutre multicouche peut être considérée comme une poutre monocouche avec des paramètres équivalents. Après avoir calculé la fibre neutre de l’empilement considéré, l’épaisseur, le module d’Young, les contraintes équivalentes et la rigidité de flexion équivalents sont calculés en fonction de la position de la fibre neutre. Ensuite, d’un point de vue mécanique,
PhD Manuscript – Emilie Trioux 153 nous pouvons considérer que la poutre est soumise à différentes charges : la charge net axiale, le moment résiduel du à la non-homogénéité des contraintes dans les couches, un moment de torsion aux ancrages introduisant la rigidité de torsion et enfin un moment de flexion du à la déformation de la poutre en flexion. En supposant que la poutre ne subit que de petites déflexions, la condition d’équilibre se résume à annuler la somme de tous les moments agissant sur la structure. Après avoir dérivé l’équation deux fois, nous obtenons une équation différentielle nous permettant de calculer la déformée de la poutre. Après avoir appliqué les conditions aux limites et trouver les quatre constantes, la déformée est trouvée dépendante de la déflexion maximale, des paramètres géométriques et de la condition de flambage d’Euler. Grâce à cette équation nous pouvons remonter à la déflexion maximale en fonction des conditions initiales de contraintes. Sur Matlab nous avons étudié quatre configurations d’épaisseurs différents : 0,5m d’AlN et , m d’Al ; 0,5m d’AlN et m d’Al ; 2m d’AlN et m d’Al ; 1m d’AlN et m d’Al. La contrainte dans la couche d’épaisseur constante d’AlN/Pt est fixée dans un premier temps à une valeur classique de 50MPa. Dans tous les cas, nous remarquons que la déflexion à faible valeur de contraintes est faible et surtout assez stable. Alors que lorsque les valeurs de contraintes dépassent environ 100MPa, la déflexion maximale devient très sensible au moindre changement dans la valeur de contrainte. Maintenant si la contrainte dans la couche d’AlN/Pt est augmentée à MPa, cela a un effet surtout pour la déflexion maximale à faible valeur de contraintes qui augmente légèrement.
Maintenant que nous avons la déflexion initiale de la structure en fonction des contraintes, nous pouvons regarder l’influence des ancrages sur la déformée. En faisant varier la rigidité de torsion aux ancrages, cela influence surtout la déformée au niveau des ancrages et dans une moindre mesure la valeur de la déflexion maximale. En effet une valeur faible (tendant vers 0) de la rigidité de torsion modélise une poutre simplement supportée alors que une valeur élevée tendant vers l’infini de rigidité de torsion modélise une poutre encastrée. La rigidité axiale, quant à elle, influence la valeur de la déflexion maximale uniquement, mais dans la limite de quelques pourcents.
Dans un deuxième temps, une fois que la déflexion maximale et la déformée de la poutre sont calculés, nous pouvons nous intéresser aux températures de cloquage et décloquage. Timoshenko a étudié intensivement les bilames pour les applications des thermostats. Nous nous baserons sur son modèle. Néanmoins, il est nécessaire d’émettre plusieurs hypothèses, notamment que la structure est toujours une poutre élancée de Bernoulli, mais aussi que la température est considérée uniforme dans la poutre. A partir de là, nous pouvons calculer la force axiale nécessaire à provoquer un changement de déflexion de la déflexion initiale 0 à une
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déflexion seuil 1 à laquelle aura lieu de flambage. En calculant par ailleurs la force axiale nécessaire pour empêcher le flambage, il arrive, en combinant les deux équations, à calculer la température de cloquage à laquelle la poutre va passer d’un état à un autre. Pour le décloquage il procède exactement de la même manière en faisant attention d’adapter les équations au fait que la courbure ait changé de signe. Nous avons ainsi pu calculer les températures de cloquage et décloquage des structures précédemment étudiées, en prenant comme valeur de déflexion initiale la valeur prédite par le modèle de M. Aron. Certaines configurations ont des températures de fonctionnement proches de l’ambiante, ce qui se révèle très intéressant et permet d’envisager de multiples applications. Par contre, certaines températures, notamment de décloquage, se retrouvent bien en dessous de zéro, ce qui réduit considérablement l’intérêt de ces configurations pour de futures applications concrètes.
Finalement, des simulations par éléments finis ont été menés en utilisant ANSYS v15. Dans une première étape la forme initiale de la structure est préformée, c’est-à-dire qu’un arc de cercle est tracé et extrudé pour former la surface de la structure. En utilisant l’élément SHELL181, qui est un élément coque, nous pouvons définir une surface multicouche. En appliquant une force mécanique en son centre, nous pouvons voir l’évolution de la force nécessaire au flambage en fonction de la déflexion initiale pour les différentes structures qui seront fabriquées ensuite.
Dans une deuxième étape, nous avons voulue nous rapprocher plus des conditions réelles pour la déformation initiale de notre plaque en appliquant des forces de part et d’autre de la plaque pour introduire des contraintes à l’intérieur. A partir de cette déformée nous pouvons réaliser une analyse modale et voir les fréquences de résonance de la structure ainsi que ses différents modes de résonance. Par contre les tentatives de modéliser la structure en 3D se sont révélées infructueuses.