Figure D.4 – Modèle microscopique de type Tétris
Ce type de modèles permet de reproduire la dynamique logarithmique de compaction, mais aussi des phénomènes comme la ségrégation (Herrmann [1999]) des grains de tailles différentes, ou encore une com-préhension des phénomènes. Berg and Mehta [2002] énonce que chaque période de vibration (si elles sont indépendantes) se déroule en deux phases, à la base de sa stratégie de modélisation :
– une première phase pendant laquelle les particules peuvent se réorganiser sous l’effet de l’accéléra-tion : c’est la phase de “dilatal’accéléra-tion” d’ensemble du milieu,
– une deuxième phase pendant laquelle les particules s’organisent dans une configuration stable : c’est la phase de “trempe”.
Ce type de scénario nécessite une source de réarrangements, i.e. la création d’espace. Ceci est donc possible lorsqu’il existe une surface libre. Dans notre cas de compactage sous vibration du béton, le matériau est confiné. La création d’espace pour permettre les réarrangements ne peut se faire que durant les phases de décharge.
D.3 Modèles thermodynamiques : notion de température granulaire
L’extension des outils de la thermodynamique à la modélisation des matériaux granulaires a fait l’objet de nombreux travaux, dans des directions différentes, dont deux sont présentées dans cette section (lire aussi le travail bibliographique de Smith [2001]).
On doit vraisemblablement à Ogawa [1978] l’idée de “température granulaire”, définie comme étant l’énergie cinétique moyenne des fluctuations de vitesse :
Tg= hu′2i (D.6)
De nombreux travaux ont été menés depuis la naissance du concept de température granulaire. Tous ces travaux devant mener à l’établissement le plus fort possible de l’analogie entre les température granulaire et la température thermique. Citons les importants travaux de Savage and Jeffrey [1981], Campbell [1989], Jenkins and Savage [1983], Campbell [1990], Campbell [1997]. Tous ces travaux ont permis notamment de déterminer l’analogie des lois de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie, au travers d’une adaptation de la théorie cinétique des gaz à la modélisation des milieux granulaires en écoulement rapide.
La démarche de la théorie cinétique est la suivante (Jenkins and Savage [1983]). Pour toute grandeur Ψ(v) associée à une particule ayant une vitesse v, on définit la grandeur moyenne hΨ(v)i de la manière suivante :
hψi =1
n Z
D. Éléments de modélisation des matériaux granulaires vibrés
où f(1) est le nombre probable de particules par unité de volume en x, à l’instant t , et n la densité probable (intégrale de f(1)).
La formule de transport associée est similaire à la formule de dérivation particulaire en mécanique des fluides :
∂
∂thnψi = nhdψ
dt i − divhnψvi + C(ψ) (D.8)
où C représente un taux de variation de la grandeurψdû aux collisions.
On peut alors montrer qu’un milieu granulaire sec, dont la rhéologie est essentiellement pilotée par des collisions binaires, obéit aux lois de conservation suivantes (Jenkins and Savage [1983]) :
Conservation de la masse
dρ
dt +ρdivv= 0 (D.9)
Conservation de la quantité de mouvement
ρdv
dt = −divσ− divhρv′⊗ v′i + nb (D.10)
oùσest le tenseur moyen des contraintes collisionnelles et b les forces volumiques. Le tenseurhρv′⊗
v′i s’ajoute donc au tenseur des contraintesσ(c’est le tenseur des contraintes de Reynolds, classique en turbulence).
Conservation de l’énergie
32ρdTg
dt = −divq − Tr[σgrad(v)] − Tr[hρu′⊗ u′igrad(v)] − divh1
2ρu′2u′i −γ (D.11)
oùγest la dissipation par amortissement, et q est le flux de “chaleur” par conduction, auquel on peut associer une équation de diffusion :
q= −κgradTg (D.12)
Toutes les grandeurs mécaniques construites dans ce formalisme dépendent de fonctions de probabili-tés telles que f(1). Par conséquent, les résultats dépendent du choix des fonctions f , qui sont complètement arbitraires et conditionnent réussite de la modélisation.
La température est un grandeur scalaire introduite pour modéliser l’action de la vibration sur la rhéo-logie du béton frais. Une autre approche thermodynamique, introduite par Edwards and Oakeshott [1989] (et aussi Mehta and Edwards [1989] et Edwards and Grinev [1998]), repose sur l’analogie entre l’énergie d’un système thermodynamique, et le volume V d’un matériau granulaire. Comme décrit dans Nowak et al. [1998], l’entropie S est alors définie classiquement comme étant le logarithme du nombre de configurations
Ω: S=λlnΩ, oùλest l’équivalent de la constante de Boltzmann. Et l’on peut alors définir une quantité
analogue à une température, que l’auteur appelle la “compactivité” X définie par l’équation suivante :
X=∂V
∂S (D.13)
Contrairement à la température granulaire définie précédemment, la compactivité est une variable in-terne associée à l’empilement, et non aux fluctuations de vitesse des grains. Si X= 0, le matériau est dans son état compact maximal, tandis que si X=∞, il est infiniment lâche.
Sans chercher à travailler à l’amélioration de la définition du formalisme thermodynamique précédent, on retient l’idée d’une modélisation d’un milieu granulaire par l’utilisation de grandeurs “moyennes” sus-ceptibles de décrie :
– soit l’arrangement des grains dans l’empilement, et donc son aptitude à être compacté (compactivité d’Edwards),
– soit l’agitation des grains due à la vibration, et l’influence de cette température granulaire sur la loi de comportement du matériau. C’est cette dernière idée qui est à la base de la démarche expérimentale et de modélisation du chapitre 7.
Annexe E
L’essai Proctor
L’essai Proctor est un essai classique de caractérisation de la compactibilité des géomatériaux.
L’essai Proctor tient son nom de l’ingénieur américain qui l’inventa en 1933 (Proctor [1933]). Cet essai consiste à compacter un échantillon de sol contenu dans un moule cylindrique, sous l’action répétée d’une masse tombante (voir figure E.1). Seule la densité apparente finale de l’échantillon, définie comme la masse volumique moyenne à l’échelle de l’échantillon, est mesurée.
Le résultat classique de l’essai est une courbe donnant l’évolution de la densité apparente du matériau sec en fonction de la teneur en eau, comme le montre la figure E.2.
Il existe un optimum de la teneur en eau, résultant de la compétition de deux effets (Holtz and Kovacs [1988]) :
– en dessous de l’optimum, l’augmentation de la teneur en eau améliore l’efficacité du compactage en lubrifiant le contact entre les particules,
– au-dessus de l’optimum, l’augmentation de la teneur en eau crée une surpression qui tend à écarter les particules les unes des autres et provoque un amortissement de la sollicitation.
De plus, la courbe de compaction dépend de l’énergie de compactage comme indiqué aussi sur la figure E.2.
E. L’essai Proctor
Pilon N fois Moule contenant le sol testé 200 mmFigure E.1 – Outillage et principe de l’essai
Proctor
densité sèche poucentage d'eau courbe de satur ation énergie impactFigure E.2 – Résultat classique de
compacti-bilité d’un sol issu d’un essai Proctor
Annexe F
Résultats de l’essai SHPB classique sur
du béton frais
Un essai aux barres de Hopkinson classique (SHPB) a été mis en œuvre afin de tester le béton frais. Il permet de justifier en partie le recours à un dispositif vertical.
F.1 Dispositif expérimental
La configuration de l’essai est donc une configuration classique SHPB (dont on peut voir l’agencement du moule contenant l’échantillon sur la figure F.1).
Figure F.1 – Mise en position du moule contenant l’échantillon, lors d’un essai SHPB sur le béton
frais
Le lanceur est projeté sur la barre incidente à une vitesse de 10 m/s.
Mesures
Les mesures sont :
– la déformation sur les barres, mesurée à l’aide de jauges de déformation. Chaque barre est équipée de 4 jauges montées en pont complet, équiréparties sur une section de mesure de la barre.
– la vitesse d’impact, mesurée à l’aide d’un capteur optique (voir la figure F.2).
De plus, en cours d’essai, la hauteur de l’échantillon suite à chaque impact est mesurée à l’aide d’un réglet.
Procédure
F. Résultats de l’essai SHPB classique sur du béton frais
Figure F.2 – Capteur optique de mesure de la vitesse d’impact par détection du passage de bandes
alternées noires et blanches
– le matériau est introduit dans le moule en position verticale, hors de la zone d’essai,
– le moule est positionné entre les deux barres. Lors de de l’inclinaison du moule en position horizon-tale, le matériau se compacte inévitablement,
– la barre d’entrée est ensuite enfoncée dans le moule jusqu’à sentir une légère force de résistance. L’échantillon est donc précompacté avant de réaliser l’essai dynamique. La densité initiale de l’échantillon est de 1.800 g/cm3. Ce précompactage est inévitable étant donné que le béton frais, pour une densité de 1.4 g/cm3, n’a pratiquement aucune cohésion, et se compacte lors du renversement du moule. Une autre solution, consistant à remplir le moule directement en position horizontale est aussi difficilement envisa-geable dans un moule cylindrique.