Le contact entre arrête-face ou bien entre arrête-arrête peut être calculé à partir de l’estimation de la distance de d’interpénétration. Or, dans le cas de chevauchement entre deux particules polyédriques, les méthodes de résolution sont basées sur le volume de chevauchement qui tient compte des forces de réaction lors du contact [98].
Force normale La force de contact normale s’écrit:
𝐹𝑛 = (𝑘𝑛 𝛥𝑉)𝑛⃗⃗ − 𝑐𝑛(𝑉𝑅. 𝑛⃗⃗) 𝑛⃗⃗, (2.17) où 𝑘𝑛et 𝑐𝑛 sont respectivement le coefficient de rigidité et le coefficient d’amortissement qui s'écrivent respectivement comme dans les équations (2.12) et (2.13), 𝑉𝑅 est la vitesse relative entre les particules en contact, meff = ( 1
𝑚1+ 1
𝑚1)−1 est la masse effective de particules, 𝑛⃗⃗ est la direction normale dans laquelle la force agit et 𝛥𝑉 est le volume de contact entre particules [98].
Le 𝛥𝑉 est calculé à partir du théorème de divergence qui permet de transformer l'intégrale de volume d'un objet avec le volume V en l'intégrale de surface autour de la surface limite 𝑠 (𝑉) du volume avec la normale pointant vers l'extérieur, tel que :
∯(𝛻. 𝐹)𝑉 = ∯ 𝑠 (𝑉) ∯ 𝐹. 𝑆, (2.18) Si le champ vectoriel F (x1, x2, x3) a une divergence de 1, c'est-à-dire ∇ F = 1, le volume s’écrit :
∯ 𝑠 (𝑉) ∯ 𝐹. 𝑆 = ∭ 𝑉 = 𝑉. (2.19) Le contact tangentiel entre les particules est résolu en utilisant un modèle Stick-Slip où la force tangentielle est couplée à la force normale par la loi de Coulomb.
Force tangentielle La force de contact tangentielle s’écrit:
𝐅t = (−k t(𝑉𝑇𝑑𝑡 + 𝐿) − c𝑡𝑉𝑇, (2.20) Avec 𝑘𝑡 la rigidité du ressort tangentiel dont la valeur généralement est estimée à au moins la moitié de la rigidité normale 𝑘𝑛, 𝑉𝑇 est la vitesse tangentielle relative, c𝑡 est le coefficient d'amortissement tangentiel et L est le déplacement tangentiel du ressort par rapport à sa position d'équilibre, il s’écrit :
62 𝐿 = ∫𝑡𝐶𝑒𝑛𝑑 𝑉𝑇 𝑑𝑡
𝑡𝐶𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡 , (2.21) Les forces supplémentaires incluent la force d'amortissement visqueux qui dépend de la vitesse relative et la rotation entre les particules ainsi que les forces de frottement complètent les forces de contact sur la particule.
Conclusion
Le code BlazeDEM3D-GPU est un outil de calcul puissant dans le sens qu’il offre de nouvelles pistes de recherche pour la considération d’un grand nombre de particules et la modélisation de la forme des particules lors de la prédiction du comportement globale des matériaux granulaire. Sa capacité de lancer un grand nombre de simulations au même temps a permis de réfléchir sur des méthodes de calibration plus élaborées. A cet égard, les prochains chapitres sont des applications directes de BlazeDEM3D-GPU visant à mettre l’accent sur les avantages et les inconvénients de la calibration in-situ à l’échelle du laboratoire dans la sélection des paramètres d’entrée DEM et proposer par conséquent une approche plus robuste pour des futures applications à l’échelle industrielles.
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Etude expérimentale et numérique de l’essai
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Introduction
Des expériences classiques au laboratoire sont généralement utilisées pour la calibration de matériau en vrac. Parmi eux, la mesure de l’angle de repos est très commune dans différentes applications tels que les murs de soutènement, les avalanches, les essais d’affaissement du béton [109], etc. Le but de ce chapitre est de développer un essai d’affaissement afin d’une part, identifier les paramètres impliquées dans la réponse macroscopique, et d’autre part, mettre en évidence les capacités du code de calcul BlazeDEM3D-GPU en terme de reproductibilité de l’essai. Tout d’abord, une étude expérimentale sur l’influence du diamètre du cylindre, de la rugosité de la surface plane de l’écoulement et de la vitesse de levage a été menée. Ensuite, des simulations numériques de la même configuration de l’essai ont été réalisées et comparées avec les résultats du laboratoire. Cette étude permet non seulement de mettre l’accent sur l’importance du choix des paramètres du modèle et sur la mesure de précision du code de calcul, mais aussi de souligner l’importance de l’implication de la forme des particules dans les simulations DEM.
Dispositif expérimental
L’essai d’affaissement peut être considéré comme une première étape idéalisée et simplifiée vers le problème de déchargement d’un matériau granulaire [58][110]. Afin de reproduire un essai d’affaissement contrôlé, un essai a été développé afin de lever un cylindre creux posé sur une surface horizontale plane, rempli de granulats à une vitesse constante.
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Le processus est filmé avec une caméra haute vitesse permettant de suivre précisément l’évolution de l’écoulement granulaire. La disposition expérimentale est montrée dans la figure 3.1 ainsi que la mesure des angles de repos après essais. Plusieurs paramètres ont été étudiés comme le diamètre du cylindre, la vitesse de levage ainsi que la rugosité du plan horizontale.
Effet du diamètre de cylindre
Sous une même vitesse de levage de 1 mm/s, nous avons réalisé les expériences sur une masse de 750g des billes de verre de 1 mm, puis, nous avons filmé la formation des tas en utilisant une caméra haute vitesse. Nous avons choisi trois cylindres de diamètres 𝐷1, 𝐷2 et 𝐷3 ayant comme valeurs respectives 60, 70 et 100 mm. 𝐴𝑜𝑅𝑖 et 𝐴𝑜𝑅𝑒 sont respectivement les angles de repos inférieur et extérieur.
Les images ont montré trois tas de billes dont les valeurs de l’angle de repos sont pratiquement les mêmes comme le montre le tableau 3.1 et la figure 3.2. Ce résultat coïncide avec celui de Roessler et al. [111] qui ont démontré que l’effet de changement de la dimension du cylindre est négligeable.
Tableau 3-1 : Détermination de l’angle de repos pour différentes dimensions de cylindre
Angle de repos 𝑫𝟏 𝑫𝟐 𝑫𝟑
𝐴𝑜𝑅𝑖(°) 17,152 19,470 21,801
𝐴𝑜𝑅𝑒(°) 26,973 26,215 24,031
𝐴𝑜𝑅𝑓(°) 22,062 22,8423 22,916
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