Une fois établi le modèle unidirectionnel d’une chaîne représentative, un moyen de lier ce comportement à la réponse mécanique tridimensionnelle (3D) est nécessaire : nous présentons un bref historique de ces traitements de mécanique statistique.
La première et plus simple idée consiste à considérer une chaîne représentative dans chacune des trois directions principales de la déformation et d’en calculer l’en-tropie globale. Treloar propose cette approche en 1943 pour des chaînes gaussiennes,
Langevin Gauss N = 50 100 200 N = 50 100 200 Extension Force (× 10 10 N) 5 10 15 20 25 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Figure II.6 – Force en fonction de l’extension, calculée pour des dis-tributions gaussiennes et de Langevin pour des chaînes de 50, 100 et 200 segments.
menant à des résultats identiques à ceux du modèle néo-hookéen avant la lettre. Ap-pelé modèle « trois chaînes » pour des chaînes non gaussiennes, celui-ci est introduit par James et Guth en 1943 [James 43], et repris également par Wang et Guth en 1952 [Wang 52]. À quelques mois d’intervalle de James et Guth (la publication a même lieu le mois suivant), Flory présente une géométrie de maille de réseau différente [Flory 43]. Celle-ci a la forme d’un tétrahèdre, dont les sommets sont les extrémités de quatre chaînes se rejoignant au centre : il s’agit du modèle « quatre chaînes ». Le traitement utilise les statistiques gaussiennes, et Treloar, en 1946, propose le modèle non-gaussien correspondant. Cette représentation présente une caractéristique im-portante de non-affinité du réseau qui n’existait pas dans le modèle « trois chaînes ». En effet, le point de jonction central est recalculé à chaque état de déformation pour que le système soit à l’équilibre, et l’organisation des chaînes implique une évolution de leur orientation. Cependant, il s’avère que les résultats obtenus avec une défor-mation biaxiale ne sont pas très représentatifs de ceux obtenus expérimentalement, et le traitement ne permet pas d’avoir une expression générale d’extension globale du réseau, ni celle de l’énergie de déformation. Ce n’est qu’en 1979 que Treloar et Riding réussissent à mettre en place le modèle dont Treloar émettait l’idée depuis 1954 [Treloar 54, Treloar 75] : le modèle full-network, consistant à intégrer le com-portement d’une chaîne dans toutes les directions [Treloar 79]. Wu et van der Giessen adaptent et généralisent en 1993 ce modèle gaussien en modèle non-gaussien [Wu 93]. Le modèle émet cependant l’hypothèse de déformation affine. La même année, Ar-ruda et Boyce proposent une géométrie de huit chaînes dessinant les diagonales d’un cube et se joignant en son centre [Arruda 93]. Ce modèle non-gaussien, outre une extrême simplicité de l’expression de la densité d’énergie et de l’extension globale de la maille du réseau, préserve aussi la liberté d’orientation des chaînes observée dans le modèle « quatre chaînes », lui conférant une forme de non-affinité pourtant non présente dans sa définition à proprement parler puisque le point de jonction cen-tral des chaînes se situe toujours au centre du cube déformé (parallélépipède). Ces
2. Modélisation de chaînes et réseaux sans cristallisation 49 caractéristiques en font un modèle performant qui surpasse le modèle full-network affine en terme d’accord avec les résultats expérimentaux. Le rapport de Boyce et
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r nl= coth β −β1= L(β) (5) β= L−1!r nl " (6)
To incorporate these more accurate individual chain statistics into a constitutive framework, it is necessary to have a model that relates the chain stretch of individual chains to the applied deformation; this is accomplished by assuming a representative network structure.
Four network models are shown in Figure 1. The unit cell used in each of these models is taken to deform in principal stretch space. The models differ in how the deformation of the chains is related to the deformation of the unit cell. We further note that the cell deformation is usually approximated to be incompressible since the bulk modulus of an elastomer is orders of magnitude larger than the shear modulus; the effects of compressibility will be discussed separately later.
In the “3-chain” model,5the chains are located along the axes of the initially cubic cell. The chain deforms affinely with the cell and the stretch on each chain will then correspond to a principal stretch value. The resulting strain energy function is given by:
Fig. 1. —Schematic of (a) 3-chain network model, (b) 4-chain network model, (c) 8-chain network model, and (d)
full network model. Each model is depicted in its undeformed state, in uniaxial tension, and in equi-biaxial tension.
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r nl= coth β −β1= L(β) (5) β= L−1!r nl " (6) To incorporate these more accurate individual chain statistics into a constitutive framework, it is necessary to have a model that relates the chain stretch of individual chains to the applied deformation; this is accomplished by assuming a representative network structure.
Four network models are shown in Figure 1. The unit cell used in each of these models is taken to deform in principal stretch space. The models differ in how the deformation of the chains is related to the deformation of the unit cell. We further note that the cell deformation is usually approximated to be incompressible since the bulk modulus of an elastomer is orders of magnitude larger than the shear modulus; the effects of compressibility will be discussed separately later.
In the “3-chain” model,5the chains are located along the axes of the initially cubic cell. The chain deforms affinely with the cell and the stretch on each chain will then correspond to a principal stretch value. The resulting strain energy function is given by:
Fig. 1. —Schematic of (a) 3-chain network model, (b) 4-chain network model, (c) 8-chain network model, and (d) full network model. Each model is depicted in its undeformed state, in uniaxial tension, and in equi-biaxial tension.
(a)
(b)
(c)
(d)
Figure II.7 – Modèles « trois chaînes » (a), « quatre chaînes » (b), « huit chaînes » (c) et full-network (d), chacun pour un état non dé-formé et sous déformation uniaxiale. D’après [Boyce 00].
Arruda de 2000 [Boyce 00] sur le sujet, dont la figure II.7 est reprise et qui développe davantage en détails les modèles présentés (ainsi que d’autres modèles phénoméno-logiques importants non cités ici), est antérieur au modèle de Miehe et al. de 2004 [Miehe 04] dont la mise en place est rendue possible notamment par les méthodes numériques devenues plus puissantes. Il consiste en un modèle full-network tenant compte de la non-affinité : les chaînes parcourent également toutes les directions et sont intégrées de façon discrète sur une sphère appelée microsphère. Un modèle assez similaire est proposé simultanément par Carol et al. pour un microplan [Carol 04]. Les méthodes et points d’intégration de la microsphère font maintenant l’objet de travaux de recherche, qui sont notamment discutés dans l’article récent de Verron [Verron 15].
Par ailleurs, la volonté de représentation des restrictions spatiales se traduisent également à cette échelle de réseau par le développement de modèles rendant compte de la présence d’autres chaînes dans l’expression des énergies ou des forces (en par-ticulier lorsque le réseau est déformé). Ils se divisent en deux catégories, l’une se concentrant sur les jonctions entre chaînes (constrained junction theory) et l’autre sur les obstacles rencontrés par la chaîne (constrained segment theory). Les exemples les plus classiques de la première catégorie sont les modèles de réseau fantôme et de réseau affine, où les points de jonctions sont respectivement fluctuants ou fixes dans l’espace. La deuxième catégorie est constituée essentiellement de la modélisa-tion des enchevêtrements par anneaux glissants, et des modèles dits « de tube », considérant que la chaîne ne peut se mouvoir que dans un tube formé par la présence d’autres chaînes. Tous ces modèles physiques, dont la liste est complétée et à laquelle s’ajoutent les modèles phénoménologiques, sont présentés et comparés en détails par Marckmann et Verron en 2006 [Marckmann 06].
3. Modèles de cristallisation sous tension du caoutchouc naturel