3.2 Modèles analytiques
3.2.1 Modèles prenant en compte plusieurs modes d’usure
Plus récemment, Smithey et al. [92] ont développé un modèle 3D donnant les efforts de coupe obtenus en considérant un outil usé. Ce modèle se base sur des observations expérimentales qui ont révélé que la région
de l’écoulement plastique de la matière usinée sur la face de dépouille croît linéairement avec la largeur de
la bande d’usure V�.
3.2 Modèles analytiques
3.2.1 Modèles prenant en compte plusieurs modes d’usure
Tenant compte des mécanismes physiques de l’usure, les modèles analytiques représentent un outil
intéressant de prédiction. Koren [93] propose une modélisation de l’usure en dépouille basée sur la théorie
du contrôle et en supposant que l’usure est contrôlée par des phénomènes mécaniques et des processus
thermiquement activés Fig I.37.
Figure I.37 : Représentation du modèle d’usure sous forme d’un diagramme intégrant deux bloc, d’après Koren [93]. Le 1er
bloc correspond à l’usure mécanique, le ème bloc à l’usure thermiquement activée. Les paramètres � , � et l’effort�
dépendent uniquement de la largeur de coupe w et de l’avance f. Les paramètres � , � sont des paramètres liés à la vitesse de coupe.
L’expression mathématique proposée et donnant l’évolution de l’usure en dépouille notée ici par
� t montre un bon accord avec les résultats expérimentaux.
� t = � eκ V tC − + � ( − eκ −C )Vt (I.21)
�, �, C et C sont des constantes représentant l’usure mécanique et l’usure thermiquement activée, n est
un paramètre matériau. Le modèle du taux d’usure sur la face de dépouille donné par l’Eq (I.22) a permis
à Koren de décrire la durée de vie sur une large gamme de conditions de coupe. Son expression est donnée par :
� =�′eκ [− ⁄C �⁄ + ] + � V (I.22)
où C , � , �′et � sont des constantes à déterminer par des essais expérimentaux et est la température. En 1953, Archard [94] a développé un modèle simple rendant compte de l’usure par abrasion. Le modèle
exprimé par l’Eq (I.23), adopté à partir des premiers travaux de Holm et al. [95] en 1946 sur les contacts
électriques, permet de déterminer le volume d’usure par unité de longueur au cours d’un essai de
-33-
v
�= �� (I.23)
où v est le volume d’usure, � un facteur qui décrit d’après Archard [94] la probabilité de produire des
particules d’usure, � la distance de glissement et � l’aire de contact réel. D'un point de vue tribologique,
Tabor [77], puis de manière équivalente Johnson [80], définissent la dureté comme la résistance d’un
matériau à sa pénétration. Cela conduit à supposer que la pression moyenne appliquée par un corps dur sur un corps mou peut être prise égale à la dureté du corps mou � déformé plastiquement. Ainsi, en dénotant par � la force appliquée, nous pouvons exprimer une relation définissant le paramètre � :
� =�� (I.24)
Par conséquent, les équations (I.23) et (I.24) conduisent à:
v = ��� (I.25)
La relation (I.25) est communément appelé équation d’Archard qui donne une relation entre le volume de matière enlevé v par unité de longueur � et le rapport entre la charge normale appliquée � et la dureté � du matériau le plus doux. La constante de proportionnalité , appelée coefficient d’usure, caractérise la résistance à l’usure du matériau.
Shaw et Dirke [96] reprennent l’équation d’Archard [94] pour proposer une formule dédiée uniquement à
l’évolution du taux d’usure par adhésion. Sous forme incrémentale, elle s’écrit :
dv = � c
b �d� (I.26)
où c est la hauteur des débris d'usure (supposés de forme aplatie), b la distance moyenne séparant deux aspérités et � la probabilité de produire un débris d'usure à partir des aspérités.
Sur la base de l’équation de Shaw et Dirke Usui et Shirakashi [97] propose un modèle d’usure appliqué au
cas de l’usinage en introduisant un effet direct de la contrainte normale agissant à la surface de contact :
dv =σ
� c
b �d� (I.27)
De plus, Usui et Shirakashi [97] considèrent l’effet de l’adoucissement thermique de l’outil et la dépendance
de la dureté des aspérités � à la température comme :
� = � eκ (� ) (I.28)
où � et � sont des constantes. Par la suite, le paramètre � a été exprimé par Usui et Shirakashi [97] comme suit :
� = � eκ (−∆�
) (I.29)
où � est une constante, la constante de Boltzmann et ∆�l’énergie d’activation.
Combinant les Eqs (I.27) à (I.29) et en supposant que le ratio est constant, Usui et Shirakashi [97] obtiennent :
dv
σ d� = C eκ (−
∆� + �
-34-
où C est une constante. Le paramètre � dépend de la couche de diffusion dans les interfaces de contact et a toutefois été approximé par Usui et Shirakashi [97] comme étant une constante pour un choix limité de
conditions de coupe. L’Equation (I.30) peut alors se mettre sous la forme :
dv
σ d� = C eκ (− C
) (I.31)
où C et C sont des constantes. Les auteurs utilisent cette équation pour l’usure par diffusion et l’usure par abrasion (au travers de la dureté via le coefficient C ). Relevons que l’Eq (I.31) est très similaire à celle proposée par Trigger et Chao [98] pour décrire la diffusion.
La Fig I.38(a) relative à l’usure en cartère en face de coupe montre les résultats obtenus par Usui et Shirakashi [67] dans le cas de l’usinage avec un outil non revêtu � de différentes nuances d’acier de
. % et . % de carbone. L’équation (I.31) permet une bonne restitution des mesures expérimentales (ligne continue noir sur la Fig I.34) pour les températures élevées. Pour les températures plus faibles, le
modèle reproduit de façon moins satisfaisante les mesures expérimentales, d’autant plus que la teneur en carbone est élévée. L’application du modèle à l’usure en dépouille est présentée en Fig I.38(b) pour
certaines nuances d’acier au carbone. Les résultats expérimentaux sont encore fidélement reproduits par le
modèle (avec un jeu de paramètres C , C dépendant de la température et du matériau). Il est notamment retrouvé, pour des conditions de température similaire, la courbe caractéristique indentifiée lors de mesures
en face de coupe. Ceci laisse à penser que les caractéristique d’usurene dépendent pas du type d’usure (en
dépouille ou en cratère). Les auteurs attribuent le changement de pente mis en évidence en Fig I.38(b), à
l’activation de la diffusion à partir des valeurs de températures de l’ordre de 850°C à 900°C.
(a) (b)
Figure I.38 : Courbe d’usure selon l’Eq (I.31) donnée par Usui et Shirakashi [97] (a) appliquée sur la face de coupe et sur (b) la face de dépouille pour différentes conditions de coupe et teneur en carbone des aciers.
Notons qu’en supposant d� = V dtdans l’Eq (I.31), Usui et Shirakashi [97] définissent le taux d’usure
par l’expression suivante:
dv
dt = C σ V eκ (−
C
) (I.32)
où V peut être soit la vitesse de glissement du copeau sur la face de coupe, soit la vitesse de coupe V
-35-
Bien avant Usui et Shirakashi [97], Takeyama et Murata [99] ont développé en 1963 un modèle définissant
l’usure vsur la face de coupe comme une combinaison d’un processus d’abrasion v et d’un processus de
diffusion v dépendant de la température. Ainsi, le taux d’évolution d’usure proposé par ces auteurs s’écrit :
dv dt = dv dt �, � + dv dt , t (I.33)
où � et � représentent respectivement la longueur usinée et la résistance à l’abrasion du constituant principal de l’outil ; définit la température à l’interface de contact et tle temps d’usinage. En outre, les
auteurs admettent que les particules abrasives de la matière usinée sont renouvelées continuellement au
cours de l’usinage et que leur distribution dans le matériau est uniforme. Les auteurs définissent le taux
d’usure par diffusion :
dv dt = dv dt = Deκ (− � � ) (I.34)
où �est l’énergie d’activation thermique, � est la constante des gaz parfait et D le coefficient de diffusion.
Nous retrouvons ainsi sous cette forme, l’équation de Shaw et Dirke [97], d’Usui et Shirakashi [67] ou
encore de Trigger et Chao [97]. Notons qu’àl’inverse d’Usui et Shirakashi [97], v (le paramètre décrivant
l’abrasion) a été considéré par Takeyama et Murata indépendant de la température, alors que le second
terme reste fortement dépendant de celle-ci. De ce fait, les auteurs admettent que pour les vitesses de coupe élevées induisant des hautes températures de contact, le premier terme peut être négligé. Cette observation a été partagé par les approches analytique de Cook et al. [56] et Mathew et al. [100].
Afin d’avoir une approche totalement prédictive, Molinari et Nouari [59] ont proposé un modèle d’usure
prenant en compte la diffusion des différents constituants de l’outil et de la matière usinée en fonction de
la distribution de la température sur la face de coupe à l’interface outil/copeau. Le modèle proposé exprime
la masse perdue par diffusion sous la forme:
dM κ, t = wdκ [√tD (� κ )(C − C )] (I.35)
où dM κ, t est quantité de matière de l’espèce itransférée par diffusion dans le copeau à l’instant t à
travers un élément de surface, x est la distance de la pointe de l’outil, w est la largeur de coupe, � κ la
température à l’interface outil-copeau, D le coefficient de diffusion de l’espèce idans l’outil, C et C
sont les concentrations initiales d’une espèce chimique i dans l’outil et dans le matériau usiné. Ce modèle a conduit par la suite les auteurs à proposer une équation donnant le profil du cratère d’usure au cours de l’usinage :
� κ, t = ∑ [√tD (� κ )(C − C )]
=
(I.36)
où est la masse volumique initiale de l’outil et n est le nombre total des éléments de sa composition
chimique.
Le modèle de taux d’usure de Molinari et Nouari [59] a permis d’estimer la durée de vie des outils en
prenant compte la profondeur du cratère formé comme critère d’usure limite:
� = ( � √
∑ (C − C )√D �= ) (I.37)
où � est la valeur maximale de la température à l’interface et � la profondeur limite du cratère
-36-
Il est important de noter que les modèles d’usure cités précédemment ont été pour la plupart développés pour décrire uniquement l’usure qui a lieu sur la face de coupe de l’outil. Toutefois, certains auteurs ont
tenté de développer des modèles qui décrivent l’usure en face de dépouille allant des modèles les plus
simples aux modèles les plus complexes. Bhattacharya et al. [101] ont développé un modèle d’usure en
dépouille considérant l’adhésion comme mécanisme dominant. Ils ont considéré un outil en carbure de
tungstène comme matériau usinant et un matériau doux comme matériau usiné. Ce modèle présente
l’inconvénient de ne pas être applicable à l’usinage de matériaux durs. En considérant le mode d’usure par
abrasion comme le mode dominant au niveau de la face de dépouille, Singh et Vajpayee [102] ont proposé un modèle impliquant un ensemble de constantes qui dépendent des conditions de coupe et qui doivent être définies préalablement. Luo et al. [103] se sont basés sur l’équation de Takeyama et Murata [99] pour proposer une équation plus générale décrivant la variation de l’usure en dépouille V� comme une
combinaison des processus de diffusion d’abrasion :
dV� dt = � � � / V. f V + �eκ (− � � ) (I.38)
� et � sont des constantes, � / est l’effort normal appliqué sur la face de dépouille et V et V sont la vitesse de coupe et la vitesse de glissement, respectivement. La Figure I.39 montre que les résultats obtenus par Luo et al. [103] pour une avance de . mm sont en bonne concordance avec les résultats
expérimentaux mesurés lors d’un essai de tournage d’un acier faiblement allié avec un outil en carbure de
tungstène revêtu d’une couche de TiC.
Figure I.39 : Comparaison entre les valeurs de VB(t) prédites par l’Eq (I.38) et les valeurs mesurées expérimentalement pour une avance f = . mm et plusieurs vitesses de coupe V, selon Luo et al. [103].
Zhao et al. [104] ont tenté d’appliquer l’équation de Trigger et Chao [98] (développée à la base pour la face de coupe) sur la face de dépouille pour prédire analytiquement l’évolution de V� en fonction des paramètres de coupe, de la dureté de l’outil, et des conditions de lubrification. La dureté de l’outil supposée ici dépendante de la température est décrite par une fonction polynomiale :
V� = � (w tan )V ⁄ (�� t ) ⁄
� = h + h + h + h
(I.39)
où h , i = ν sont des constantes et w est la largeur de coupe, � l’effort d’avance et l’angle de
dépouille. Le modèle précédent a été utilisé pour quantifier avec précision le paramètre V�lors d’un essai
de coupe orthogonale utilisant un outil avec un refroidissement interne.
L’avantage du modèle de Zhao et al. [104] réside dans la considération de l’effet de la température sur