Modèles et paramètres des matériaux

SIGMA/W inclut plusieurs modèles constitutifs des sols. Le comportement du sol dépend du modèle choisi. Trois principaux modèles constitutifs qui seront utilisés lors des simulations numériques dans ce projet et les paramètres qu’ils utilisent sont présentés dans cette section.

Le modèle linéaire élastique

Le modèle élastique linéaire est le modèle fondamental et le plus simple. Pour ce modèle, le sol est parfaitement élastique et les contraintes sont linéairement proportionnelles aux déformations (figure 2.15).

Les paramètres du modèle sont le module de Young E et coefficient de Poisson ν. Le module de cisaillement G est aussi utilisé, selon l’expression :

) + 1 ( 2 = v E G (2.50)

(2.51)

Figure 2-15 Courbe contrainte-déformation du modèle élastique linéaire (Sigma/W - Geoslope 2007).

L’équation généralisée de Hooke qui régit ce modèle est souvent inappropriée pour les sols puisqu’en réalité ceux-ci ne se comportent ni de manière linéaire élastique, ni de manière isotrope. Cette relation linéaire ne tient pas compte des déplacements à l’état plastique ; avec ce modèle, de très grandes contraintes peuvent être appliquées sans engendrer des déformations plastiques (ou de rupture).

Ce modèle peut s’appliquer pour le cas des petits déplacements afin de calculer les déformations élastiques produites par des contraintes appliquées sur le sol. Il peut être appliqué si le facteur de sécurité contre la rupture (ou l’apparition de déformations plastiques) est assez grand.

Modèle élasto - plastique

Le modèle élasto-plastique (avec critère de Mohr-Coulomb) dans SIGMA/W décrit une relation élastique, parfaitement plastique. La figure 2.16 illustre une courbe contrainte-déformation typique pour ce modèle. Les contraintes sont directement proportionnelles aux déformations jusqu'à ce que la limite d'élasticité soit atteinte. Au-delà de cette limite, la courbe contrainte-déformation est parfaitement horizontale.

xy

xy

G

Figure 2-16 Courbe contrainte-déformation du modèle élasto-plastique (Geoslope, 2007).

Le modèle élasto-plastique utilise les paramètres du sol suivants :  La cohésion c'

 L’angle de friction interne du sol ’ (en degrés)

 L’angle de dilatance du sol φ en degrés (0 ≤ φ ≤ ’). Si aucune valeur de φ n'est spécifiée, l’angle de dilatance φ est considéré égal à l’angle de friction interne ’.

Le coefficient de Poisson ν du sol est introduit dans le code comme une valeur constante. Le module de Young E peut être spécifié comme une valeur constante ou comme une fonction de la contrainte, comme proposé par Duncan and Chang (1970) suivant l’équation :

(2.52)

Avec : KL = module de chargement dû à la variation de la contrainte de confinement

Pa = pression atmosphérique (utilisée comme paramètre de normalisation) [M.L-1.T-2] σ3 = contrainte de confinement [M.L-1.T-2]

j = exposant pour définir l'influence de la pression de confinement sur le module initial

j a a L i P P K E _      



3

Lorsque les propriétés du matériau sont définies comme des paramètres effectifs (selon σ') et que la courbe de rétention d’eau (CRE) du sol est définie dans Sigma/W, la cohésion du sol peut être calculée par l’expression proposée par Vanapalli et al. (1996) :





_                 rés S rés w a u u c c tan (2.53)

Avec θs la teneur en eau volumique à saturation et θr (ou θrés) la teneur en eau résiduelle, le paramètre ϕʹ est l'angle de friction effectif du sol, (ua - uw) = ψ est la succion du sol.

L’expression (2.53) signifie que lorsque la teneur en eau est à saturation (θ = θs), 100% de la succion (pression interstitielle) contribue à la résistance (via la contrainte effective) ; lorsque la teneur en eau est à sa valeur résiduelle (θ = θr), la succion n’a aucune contribution à la résistance. La courbe de rétention d’eau est donc utilisée pour répartir la contribution de la succion à la résistance (Sigma/W - GeoSlope, 2007).

Modèle soft Clay et Cam-Clay Modifié (état critique)

Pour tenir compte des déformations irréversibles, Ducker et al. (1957) ont suggéré de formuler la loi de comportement des sols comme une loi élasto-plastique avec écrouissage (Nova, 2005). Parmi les modèles existants, on retient :

 Le modèle élasto-plastique Cam-Clay (CC) "original" qui est un modèle d'état critique avec écrouissage. Il utilise les paramètres en contraintes effectives. Le modèle Cam-Clay suppose que la contrainte de cisaillement élastique est nulle et que le sol dissipe l'énergie appliquée en subissant des déformations de cisaillement plastiques. La surface de charge a la forme d’une larme (voir figure 2.17) ;

 Le modèle Cam-Clay Modifié (ou CCM) est un modèle élasto-plastique isotrope avec écrouissage, basé aussi sur la mécanique des sols à l’état critique (CSSM). Le modèle Cam- Clay Modifié, développé par Roscoe et Burland (1968), suppose que la dissipation de l'énergie est due à la fois aux déformations de cisaillement élastiques et plastiques. La

surface de charge pour décrire le comportement de contrainte-déformation des sols cohésifs mous a la forme elliptique (voir figure 2.17 plus bas).

Le modèle Cam-Clay Modifié (CCM ou MCC) tient compte de certaines caractéristiques des matériaux poro-plastiques, telles certaines argiles (Fernandez, 2009 ; El Mkadmi, 2012) :

 La forte porosité de ces matériaux provoque des déformations volumiques irréversibles sous chargement hydrostatique, correspondant à une réduction de la porosité ;

 Une phase contractante suivie d'une déformation volumique plastique constante, ou s'il s'agit d'un matériau dense, une dilatance suivie aussi d'une déformation volumique constante lorsque ces matériaux sont soumis à des chargements déviatoriques.

L'intérêt du modèle CCM réside dans sa capacité à décrire les relations contraintes-déformations, volumiques et déviatoriques, avec un minimum d'ingrédients. Il comporte une seule surface de charge et un écrouissage associé à une seule variable scalaire. Ce modèle requiert la spécification des 5 paramètres ci-dessous dont les valeurs peuvent être obtenues à partir des tests standards à l’œdomètre ou de compression triaxiale (Geoslope, 2007) :

- λ : la pente de la ligne de consolidation normale dans le plan e – ln p' liée à CC;

- κ : la pente des lignes de gonflement (de recompression) dans le plan e – ln p' liée à Cr;

- M : la valeur du rapport de contraintes q/p' à l’état critique (paramètre ou pente de la ligne d’état critique), lié à l’angle de friction interne du matériau ϕʹ par :

    sin 3 sin 6 M (2.54)

- G : le module élastique de cisaillement (G = E/2(1 – v)) :

- v : le volume spécifique, lié à l’indice des vides e par la relation :

(2.55)

Les caractéristiques de compression du matériau en fonction de la pression verticale peuvent être obtenues à partir d'un essai de consolidation 1D. On peut aussi déterminer les indices de

e 1

compression CC et de recompression Cr à partir des données reliant l’indice des vides et le

logarithme de p, log(p). Les indices de compression CC et de recompression Cr sont liés aux pentes

λ et κ par les relations suivantes (Sigma/W - Geoslope, 2007) :

303 . 2 C C   (2.56) 303 . 2 r C   (2.57)

Les paramètres λ et κ peuvent aussi être obtenus à partir des valeurs mesurées (tracés) de l’indice des vides en fonction de ln(p).

La figure 2.17((a) à (i)) montre schématiquement les tracés associés au changement de volume en fonction de la pression pour un matériau comprenant une ligne de consolidation normale et une ligne de surconsolidation (ou ligne de gonflement).

Le plan pʹ – q est défini par :

p pu (6.58) Où u = la pression interstitielle

p=

(

σ₁ +σ₂ +σ₃

)

/3=I₁/3 (6.59) Avec I1 le premier invariant

q₁₃ (6.60)

S’il y a une augmentation de la contrainte appliquée sur la ligne de surconsolidation (figure 2.17.a.a), l'état de contrainte va se déplacer le long de la ligne de surconsolidation vers la ligne de consolidation normale. Pour toute augmentation supplémentaire de contrainte (une fois passé l'intersection des deux lignes), l'état de contrainte va se déplacer vers le bas de la ligne de consolidation normale selon le modèle CCM.

Figure 2-17 Différentes relations définies selon le modèle CCM : (a) Contrainte versus volume spécifique en échelle normale et semi-logarithmique (b) Surface de charge CCM et ligne d’état critique (LEC) dans le plan de contraintes principales (c) Trajectoires des états lors des tests conventionnels de consolidation (isotropique et K0) (d) Ligne d’État Critique et ligne normalement

consolidée dans le plan p' – q – e (ou v) (e) Surface de charge dans le plan p' – q des modèles CC et CCM. Paramètre M = pente de la ligne CSL (f) Relations changement de volume vs contrainte et contrainte vs déformation (g) Comparaison entre lieux géométriques du modèle de comportement CCM et des modèles CC et MSDPu.

Lorsque la figure 2.17.a.a est pivotée de 90° dans le sens antihoraire, les lignes de surconsolidation et de consolidation normale montrent respectivement les caractéristiques des courbes illustrées à la figure 2.17.a.b : la ligne de surconsolidation est analogue à la portion linéaire élastique initiale, tandis que la ligne de consolidation normale est considérée analogue à la partie plastique avec écrouissage de la relation contrainte-déformation (Sigma/W, 2007).

Dans le document Évaluation du drainage, de la consolidation et de la dessiccation des résidus miniers fins en présence d'inclusions drainantes (Page 129-136)