Modèles mathématiques - schémas équivalents

Les développements des paragraphes précédents peuvent être synthétisés sous la forme d'un modèle de la machine à courant continu. Nous utiliserons les conventions "moteurs". Le modèle magnétique est supposé linéaire et les pertes tant magnétiques que mécaniques, sont incorporées dans le couple résistant.

Le schéma électrique équivalent de la machine est donné à la Figure 4.3!1.

Les éléments de ce schéma sont :

R_e : Résistance du circuit inducteur L_e : Inductance du circuit inducteur R_a : Résistance du circuit d'induit

∆V sign(i ) : Chute de tension du contact balais-collecteur_{b a}

L_a : Inductance du circuit d'induit

e : La force électromotrice engendrée = G i Ω_{e r} Ω : La vitesse de rotation

v_x '''' R_e %%%% R_exc i_e %%%% L_e di_e Si on envisage l'étude en moteur, on peut ajouter à ce schéma les éléments extérieurs suivants

R_exc : Rhéostat d'excitation servant à régler le courant d'excitation i_e pour une tension d'excitation v_x donnée

R_d : Rhéostat de démarrage servant à limiter le courant à la mise sous tension v_al : à vitesse nulle, e = 0 et le courant est seulement limité par R_a et L_a qui sont de faible valeur

Les circuits d'induit et d'excitation sont alimentés respectivement par les tensions v_al et v_x qui sont des tensions continues éventuellement variables, ce sont alors des variables de commande.

Les équations régissant ce modèle ont été vues précédemment.

Il y a lieu d'ajouter l'équation du mouvement :

où J est le moment d'inertie de l'ensemble moteur + charge.

C_em est le couple électromécanique appliqué par le moteur à l'arbre.

C_r est le couple résistant y compris les pertes mécaniques et magnétiques appliqué par la charge à l'arbre. Il a donc normalement en fonctionnement moteur une valeur négative.

C est le couple mécanique net appliqué par la charge à l'arbre. Il a également normalement une valeur négative.

-C = -C + C_{r p méca} + C_{p magn.}

Cette dernière relation est mise sous cette forme pour rappeler les signes usuels de C et C_r. Nous supposerons que C_r est une fonction non-linéaire de la vitesse Ω_r. En réalité, les pertes magnétiques dépendent également de l'induction mais cet effet sera négligé.

Sous la forme d'un système canonique d'équations différentielles, le modèle mathématique s'écrit en utilisant les trois variables d'état i , i_{e a} et Ω_r :

Di_e '''' 1

L_e v_x &&&& R_e %%%% R_exc i_e Di_a '''' 1

L_a v_al &&&& ∆V_b sign(i_a) &&&& G i_e Ω_r &&&& R_a %%%% R_d i_a DΩ_r '''' 1

J G i_e i_a &&&& C_r(Ω_r)

e •••• v_al à R_ai_a%%%%∆V_b près

(4.3!₃₎

Figure 4.3!2

(4.3!₄₎ On arrive aisément au schéma-bloc de la Figure 4.3!2. Malgré l'hypothèse de linéarité magnétique, le modèle est non-linéaire par suite de la présence des multiplieurs, de la chute de tension balais-collecteur et de l'expression de C_r en fonction de Ω_r.

Ce schéma-bloc fait clairement apparaître les deux possibilités de réglage de la vitesse : par action sur v_al ou sur v_x ( ou sur R_exc ). Dans ce modèle, on les considérera comme les entrées du système.

Il faut remarquer la boucle de rétroaction (interne) par la vitesse qui s'ajuste pour que en régime

I_e(p) '''' 1

Ce schéma est applicable en utilisation en dynamo en considérant v = 0_al

R_d éventuellement remplacé par une impédance de charge constituée d'une résistance R_u et d'une inductance L_u en série

i = i_{u charge} = - i_a

Par hypothèse, la vitesse est supposée maintenue constante par un moteur d'entraînement (ce qui correspond à l'utilisation habituelle et présente l'avantage mathématique de linéariser complètement le système)

Toutes les variables considérées sont supposées nulles avant l'instant t=0.

a. enclenchement de l'excitation d'une génératrice à vide

Comme v (t) est un échelon d'amplitude V_{e e} à l'instant t=0, il vient :

donc

avec T = L /R = constante de temps du circuit d'excitation (• _{1 s)}

e e e

e(t) a la même allure que i (t) puisque e(t) = G Ω_{e r e} i (t)

b. Enclenchement de l'excitation d'une génératrice en charge Les expressions de I (p) et de i (t) sont identiques aux précédentes._{e e} Le courant dans la charge vaut (en négligeant ∆V_b ) :

I_u(p) '''' &&&& I_a(p) '''' E(p) valeur est en général inférieure à celle de T_e

La transformation inverse donne :

La Figure 4.3!3 indique la variation du courant dans la charge pour T =0 et T_{u u}…0. Elle est tracée pour T = 1 s et T = 0,1 s._{e u}

V_al(p) '''' E(p) %%%% ∆V_b %%%% (R_a %%%% R_d) i_a %%%% L_a p I_a(p)

- le courant d'excitation est constant

- le couple résistant peut se mettre sous la forme : -C = A + B Ω_{r r} Grâce à ces hypothèses, le système complet est linéaire.

Toutes les variables considérées sont supposées nulles avant l'instant t=0.

Il vient (en supposant que I_a reste positif) :

donc :

en posant T = L /(R +R ) _{a a a d} et E(p) = G I Ω_{e r}(p) Comme

il vient :

en posant T _m = J/B

= constante de temps mécanique ( fonction du coefficient B du moteur mais aussi de la charge)

V_al^/ '''' V_al &&&& ∆V_b

Ω_r(p) ''''

G I_e V_al^/(p) %%%% A

p (R_a %%%% R_d) (1 %%%% p T_a) G I_e %%%% (R_a %%%% R_d) B (1 %%%% p T_a) (1 %%%% p T_m)

Ω_r(p) ''''

G I_e V_al^/(p) %%%% A

p (R_a %%%% R_d) (1 %%%% p T_a) G I_e %%%% (R_a %%%% R_d) B (1 %%%% p T₁) (1 %%%% p T₂)

(T₁ %%%% T₂) G I_e %%%% (R_a %%%% R_d) B '''' B (R_a %%%% R_d) (T_a %%%% T_b) T₁ (((( T₂ G I_e %%%% (R_a %%%% R_d) B '''' B (R_a %%%% R_d) (T_a (((( T_b) Figure 4.3!4

(4.3!₁₄₎

(4.3!₁₅₎

(4.3!₁₆₎

(4.3!₁₇₎ Le schéma bloc est présenté à la Figure 4.3!4.

La boucle de rétroaction (interne) par la vitesse apparaît clairement. Le moteur prend une vitesse telle que la f.e.m. engendrée soit pratiquement égale à la tension d'alimentation.

On définit la tension d’alimentation effective :

La fonction de transfert s'écrit :

que l’on pose égale à :

avec

Si T << T_a , ce qui est pratiquement toujours le cas, les valeurs de _m T et T sont_{1 2} respectivement égales à :

T₁ •••• T_a '''' L_a toujours supérieure à T_a, de sorte qu'en général, on effectue les calculs en supposant T =0 et_a on corrige ensuite la courbe obtenue pour I_a par une exponentielle décroissante de constante de temps T_a.

La relation (4.3!16) donne la fonction de transfert entre d'une part la vitesse et la tension d'alimentation (qui est une grandeur de commande) et, d'autre part, entre la vitesse et le couple résistant A (qui est une perturbation).

Exemple : Mise sous tension d'un moteur préalablement excité

Il vient

Si nous supposons : T = T = 0, la relation (4.3_{a 1} !20) se simplifie :

et

&

&&

& C_r '''' A₁ %%%% A₂ sign(Ω_r) %%%% B Ω_r %%%% C sign(Ω_r) Ω² (4.3!₂₃₎ Constatations :

- la vitesse augmente exponentiellement (constante de temps T₂) pour atteindre la valeur de régime telle que e = G i Ω • _V

e r al

- à l'instant initial (à l'arrêt), le courant de démarrage est limité par R +R_{a d}. Sans rhéostat de démarrage, les valeurs atteintes seraient très élevées puisque R_a est faible. Il est possible d'utiliser un limiteur électronique de courant (voir plus loin).

- la vitesse augmentant, e augmente et le courant i_a diminue jusqu'à atteindre la valeur imposée par le couple.

- si un rhéostat à plots est utilisé (§ 4.5.3.), les résistances entre plots sont court-circuitées successivement. Elles sont calculées de manière à limiter le courant maximal à une valeur admissible (par exemple : 2 I_N).

b. Simulation

Lorsque le système n'est pas linéaire, la méthode de calcul analytique développée ci-dessus ne s'applique plus, il faut recourir à la simulation directement inspirée du schéma-bloc de la Figure 4.3!2 ou du modèle mathématique des équations (4.3!3). Quelques exemples sont traités par la suite. Leur étude attentive permet de mieux saisir la plupart des particularités de la dynamique des machines à courant continu.

Le couple résistant est supposé donné par l'expression suivante qui représente un bon nombre des cas rencontrés dans la pratique :

avec : A₁ = constant

A₂ = terme constant dont le signe dépend du sens de rotation (frottements secs) B = coefficient du terme proportionnel à la vitesse (frottements visqueux) C = coefficient du terme proportionnel au carré de la vitesse dont le signe

dépend du sens de rotation

A titre d'illustration, les figures suivantes présentent la simulation de l'inversion simultanée des tensions d'alimentation et d'excitation d'une machine fonctionnant initialement aux conditions nominales de couple et de vitesse. La simulation est réalisée à l’aide du programme SIMULINK (Figure 4.3!5). Elle suppose que les caractéristiques magnétiques sont linéaires. Pour faciliter la lecture des diagrammes, les données de la machine GRAM01 sont exprimées en valeurs réduites dans la base :

V = 250 V_B I = 400 A_B V = 250 V_eB

I = 4,167 A _eB (produit V_eB à la vitesse nominale en linéaire)

Figure 4.3!5

Ω_rB = 1200 tr/min = 125,67 rad/s

Le raisonnement sur l'état final de régime conduirait aux considérations suivantes. Puisqu'il se produit une inversion de la tension d'excitation, il en résulte une inversion du courant i_e et, si la vitesse est supposée constante, de la f.e.m. e. Comme la tension d'alimentation s'est inversée, le courant i_a change de signe tout en gardant la même valeur absolue. Le couple C_em

= G i i_{e a} ne change pas de valeur. La machine devrait donc continuer à tourner aux mêmes conditions nominales.

L'examen des figures 4.3-6 à -9 fait apparaître un très important transitoire de couple et de courant. La sollicitation de l'arbre pourrait amener sa rupture si le disjoncteur de l'alimentation ne déclenchait pas suffisamment rapidement.

Le transitoire est lié à la différence d'ordre de grandeur entre les constantes de temps T_a

= 0,1 s et T = 1 s._e

Figure 4.3!6

Figure 4.3!7

Figure 4.3!8

Figure 4.3!9

Les figures 4.3-10 à -12 présentent la simulation du même essai mais avec une limitation du courant d'alimentation à 2*I ._N

Figure 4.3!10

Figure 4.3!11

Figure 4.3!12

Figure 4.4!1