2.4 Incinération par four rotatif
3.1.3 Modèles linéaires
-Entrées manipulées ? Perturbations -Sorties
mesurées (ou non)
Figure 3.1: Représentation d’un système
Remarquons qu’un modèle en régime permanent peut être déduit du modèle dynamique en utilisant le fait que les dérivées des états sont nulles soitx˙ = 0. L’inverse n’est pas vrai, c’est-à-dire qu’un modèle statique ne contient aucune information sur l’aspect dynamique du système.
3.1.3 Modèles linéaires
Modélisation dans l’espace d’état
En considérant un régime permanent xs correspondant à un vecteur d’entrées donnéus, ce régime permanent correspondant donc à un point opératoire du procédé, il est possible de faire une linéarisation autour du régime permanent. Cela suppose que le système ne subit que de petits écarts par rapport au régime permanent et exclut donc en principe les phases de démarrage et d’arrêt des procédés. Le système linéaire résultant s’écrit sous la forme:
( ˙ x =A(x−xs) +B(u−us) y−ys =C(x−xs) (3.3) soit: ( ˙ x =Aδx+Bδu y−ys =Cδx (3.4)
oùδnote une variable d’écart, égale à la différence entre une variable donnée et sa valeur en régime permanent. Les matricesA,Bpeuvent être obtenues par linéarisation du système non linéaire (3.2) ou par identification.
En fait, implicitement, en supposant que l’état d’équilibre estx= 0, le système (3.4) est en général écrit sous la forme générale du système linéaire continu dans l’espace d’état:
(
˙
x =A x+B u
y =C x (3.5)
Le temps discret correspond à l’utilisation d’ordinateurs qui effectuent des mesures à intervalles de temps réguliers (ou non) sur un système. Dans le cas, le système (3.5) s’écrit:
(
xk+1 =A′xk+B′uk
yk =C xk
(3.6) oùkreprésente l’instant d’échantillonnage. La fréquence d’échantillonnage doit être choisie de manière correcte, pas trop petite sous peine de suréchantillonnage, c’est-à-dire que l’information entre deux mesures risque d’être confondue avec le bruit, pas trop grande sous peine de perdre de l’information sur le système. Pour déterminer une période d’échantillonnage adéquate, il est courant de procéder à des échelons des entrées manipulées et d’étudier les sorties. Les matricesA′,B′ sont différentes des matricesA,B, et sont en général obtenues par identification dans l’espace d’état.
Modélisation sous forme de fonctions de transfert continues La transformation de Laplace s’applique à une fonction linéaire et est définie par:
L(f(t)) =
Z +∞
0
f(t) exp(−st)dt (3.7) oùsest une fréquence. Il s’agit donc du passage de l’espace temps à l’espace fréquentiel.
Parmi les propriétés importantes de la transformation de Laplace, citons la transformée de Laplace de la dérivée d’une fonction:
L[df(t)
dt ] =s F(s)−f(0) (3.8)
On note que dans le cas d’une variable d’écart à laquelle on appliquerait la transformation de Laplace, le termef(0)disparaît, soit:
L[df(t)
dt ] =s F(s) (3.9)
Dans le cas d’une dérivée d’ordrenapplqiuée à une variable d’écart:
L[d
nf(t)
dtn ] =snF(s) (3.10) Une autre propriété est:
L[
Z t
0
f(x)dx] = 1
sF(s) (3.11)
Dans le cas d’un système monovariable, considéré au voisinage de son régime permanent, il est courant d’utiliser la fonction de transfertG(s):
G(s) = Y(s)
U(s) (3.12)
oùU(s)etY(s)sont respectivement les transformées de Laplace de l’entrée et de la sortie.
L’intérêt de la fonction de transfert est que pour un système décrit par l’équation différentielle linéaire:
b0u(t) +b1 du(t) dt +. . .+bm dmu(t) dtm =a0y(t) +a1 dy(t) dt +. . .+an dny(t) dtn ; m≤n (3.13) oùu(t)ety(t)sont respectivement l’entrée et la sortie (exprimées en variables d’écart) du système, et en utlisant l’hypothèse classique que les dérivées des entrées et des états sont nulles en l’état initial et pourt≤0, la fonction de transfertG(s)est égale à:
Y(s)
U(s) =G(s) =
b0+b1s+. . .+bmsm
a0+a1s+. . .+ansn (3.14) Il y a donc équivalence entre l’équation différentielle linéaire (équation (3.13)) et la fonction de transfert
G(s)(équation (3.14)).
De ce fait, de nombreux systèmes monovariables peuvent être représentés par une fonction de transfert de premier ordre:
G(s) = K
τ s+ 1 (3.15)
oùτest la constante de temps etKle gain statique ou gain à l’état stationnaire du procédé. On trouve aussi les sytèmes linéaires de second ordre:
G(s) = K
τ2s2+ 2ζ τ s+ 1 (3.16)
avecτ période naturelle d’oscillation du système, qui détermine le temps de stabilisation du système,ζ
facteur d’amortissement,Kp: gain statique.
Lorsqu’un retardtdest présent dans un procédé, il se traduit par un terme non linéaire exp(−tds). Ainsi un procédé de premier ordre avec retard est modélisé par la fonction de transfert:
G(s) = K
Industriellement, l’identification de procédés où des bruits de mesure sont importants ainsi que des erreurs de modélisation liées à la complexité du procédé se fait essentiellement à partir de fonctions de transfert de premier ordre, second ordre, avec ou sans retard, lorsque des représentations continues sont recherchées. La fonction de transfert étant donnée ainsi que le type de l’entrée, il est possible de déterminer soit analytiquement la sortie temporelle par inversion de la transformée de Laplace ou plus facilement par un passage dans l’espace d’état et une résolution numérique par intégration du système d’équations différentielles associé. Plus rarement, il est nécessaire de représenter le procédé comme un système à réponse inverse (Corriou, 2003).
Dans le cas multivariable, le système possèdenuentréesuietny sortiesyj. En général, le nombre d’entrées nu est supérieur au nombre de sortiesny. Du fait des couplages (interactions) internes au système, chaque entrée est susceptible d’influencer chaque sortie si bien que le système est alors représenté par une matrice de fonctions de transfert telle que:
Y(s) = Y1(s) .. . Yny(s) = G1,1(s) . . . G1,nu(s) .. . Gj,i(s) ... Gny,1(s) . . . Gny,nu(s) U1(s) .. . Unu(s) (3.18) Chaque élémentGj,i(s)de cette matrice de fonctions de transfert est donc une fonction de transfert qui relie l’entréeuiet la sortieyj. L’identification se fait en faisant varier successivement les entréesui et en étudiant l’ensemble des sortiesyj.
Modélisation sous forme de fonctions de transfert discrètes
Comme l’acquisition des signaux mesurés se fait sur ordinateur, l’utilisateur dispose de couples entrée-sortie de manière discrète. On suppose que le système se comporte de manière linéaire, par exemple au voisinage d’un point de fonctionnement, et que la période d’échantillonnage est constante pour obtenir la représentation sous forme de fonction de transfert. Dans ce cas, au lieu d’une équation différentielle linéaire continue (3.13), le système peut être représenté par une équation aux différences de la forme:
a0yn+a1yn−1+. . .+anayn−na =b0un+b1un−1+. . .+bnbun−nb (3.19) d’où l’on déduit la fonction de transfert discrète ou fonction de transfert enz:
H(z) =Y(z)
U(z) =
b0+b1z−1+. . .+bnbz−nb
a0+a1z−1+. . .+anaz−na (3.20) En utlisant l’opérateurqtel quey(t+ 1) =qy(t), on obtient:
[a0+a1q−1+. . .+anaq−na]y(t) = [b0+b1q−1+. . .+bnbq−nb]u(t) (3.21) que l’on notera simplement:
A(q)y(t) =B(q)u(t) (3.22) oùA(q)etB(q)sont les polynômes dépendant en fait deq−1de la forme:
A(q) = a0+a1q−1+. . .+anaq−na (3.23)
B(q) = b0+b1q−1+. . .+bnbq−nb (3.24) si bien que l’on représente souvent la fonction de transfert sous la forme:
H(q) = y(t)
u(t) =
b0+b1q−1+. . .+bnbq−nb
a0+a1q−1+. . .+anaq−na (3.25) Cette forme est très souvent utilisée, en particulier en identification.