Modèles indépendants du temps

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0 1 2 3 4 5 6^{x 10} 7 G(d)=G cr*2*d/cf S11 (P a ) e_x11 cf=5e4 m cf=1e3 m cf=1me4

Ce chapitre est dédié aux modèls d’endommagement indépendents du temps. Nous avons

etudié deux lois de fissuration: fragile et quasi-fragile pour des microfissures droites et des

processus de microfissuration en mode mixte (de type wing).

9.3.1 Le comportement fragile

Si dans l’equation d’évolution de l’endommagement,

1

2

dCijkl(d)

dd exkl(u

(0))exij(u(0)) + Gε

ε

˙

d= 0, (137)

nous considérons Gε =Gcr, nous nous trouvons dans le cas d’un endommagement fragile.

Ce cas a été étudié par Dascalu et al. [37].

Dans la première étape, nous calculons les fonctions caractéristiques qui représentent

les modes élémentaires de déformation de la cellule unitaire ([37]). Ces fonctions

car-actéristiques ont été calculées, dans le cas de traction et de compression, en utilisant le

logiciel FEAP ([136]) avec des éléments iso-paramétriques triangulaires á trois noeuds et

une condition de périodicité implémenté par la méthode des Multiplicateurs de Lagrange.

Pour les simulations numériques nous avons utilisé un matériau élastique isotrope:

module de Young E = 2 GPa et Poisson’s ratio ν = 0.3. L’énergie critique pour la

ruptureGcr est considérée égale à 100 mJ

et la longueur de la cellule élémentaireε = 1e-5

m.

Figure 9.4 montre des modes élémentaires de déformation d’une cellule unitaire

con-tenant une microfissure verticale.

Figure 9.4: Modes élémentaires de déformation de la cellule periodique.

9.3.2 Le comportement quasi-fragile

Le modèle antérieur est convenable pour des matériaux fragiles, mais les observations

expérimentales indiquent que les roches présentent un endommagement graduel, i.e. une

réponse quasi-fragile.

Dans cette partie nous décrivons un modèle alterntif dans lequel la résistance du

matériau augmente avec la propagation de la fissure. Ce genre de comportement apparaît

comme une conséquence du développement d’une zone de micro-fissuration aux extrémités

de la fissure.

La courbe qui décrit la variation deGavecd, est définie dans la littérature comme

R-curve (courbe de résistance) qui présente un modèle équivalent pour la description d’une

zone de micro-fissuration de taille cf autour des éxtremitées.

La courbe de résistance qu’on considère dans la loi d’évolution de l’endommagement

est Gε(d) = G

2d

cf . Les paramètres de matériau sont les mêmes: E = 2GP a, ν = 0.3,Gcr

= 100mJ

et la taille de la celluleε = 1e-5 m.

Dans le cas fragile on passe directement d’une phase initiale non endommgée à une

phase complètement endommgée. Dans le cas quasi-fragile on a des valeurs de rigidité

qui décroissent de façon continue dues au développement progressif de la zone de

micro-fissuration, si bien que l’on obtient un d mximum. Pour une zone de micro-fissuration

complètement développée,d, le paramètre d’endommagement, doit être égal à 1. On arrive

à cette valeur dés qu’on utilise une phase charge - décharge complète dans le contròle de

la déformation macroscopique. La conséquence de ce cycle complet de charge - décharge

est un comportement de snap-back. On charge jusqu’un plateu critique ou une valeur

maximale de d est obtenue et après on continue avec la procédure de décharge qui a

pour effet de développer la zone de micro-fissuration jusqu’a ce qu’un niveau maximum

d’endommagement soit atteint. On peut observer ce comportement sur (Fig. 9.5).

Figure 9.5: La courbe contrainte - déformation pour le cas quasi-fragile: l’initiation de

l’endommagement pour différent cf

Dans la Figure 9.5 nous présentons les courbes contrainte - déformation pour 3 valeurs

différentes du paramètre cf. On peut voir que le moment d’initiation de la fissure

aug-mente si cf décroît. Cette situation s’explique par l’augmentation du gradient deGε(d),

qui conduit à une valeur plus grande de Gpour un d plus petit et pour une valeur petite

Dans un processus de rupture, en général on peut identifier trois étapes: (I) initiation;

(II) la propagation stable; (III) la propagation instable vers la rupture complète. Avec

notre modèle, après l’initiation, nous pouvons retrouver les deux phases de la propagation

en utilisant un critère de stabilité (Eq. 72):

On peut voir clairement dans la Figure 9.6 les deux étapes de propagation: bleu quand

la fissure apparaît et commence à se propager de manière satble et sur la partie snap-back

(rouge) on observe la propagation instable jusqu’au niveau maxime de l’endommagement.

e

Figure 9.6: Instabilité pour le cas quasi-fragil avec snap-back (bleu pour propagation

stable, rouge pour instable)

Extensions de ce modèle ont été faites pour le cas 3D (Section 5.6).

9.3.3 Fissures de type wing

Dans cette section nous présentons une procédure alternative qui nous donne un meilleur

modèle pour le cas de fracture en compression dans les roches. Nous considérons un

modèle représentant une fissure inclinée avec des branches ("wings") pour lequel nous

avons construit un modèle équivalent. Le modèle de la micro-fissure inclinée, montré

dans Fig. 9.7, consiste d’un défaut initial de longueur2aet de 2 branches verticales (dans

dC_ijkl(d)

dd ^e^xkl^(u

(0))e_xij(u⁽⁰⁾) + Gε

nous considérons Gε =G_cr, nous nous trouvons dans le cas d’un endommagement fragile.

ruptureG_cr est considérée égale à 100 _m^J

zone de micro-fissuration de taille c_f autour des éxtremitées.

est G^ε(d) = ^G

= 100_m^J

aug-mente si c_f décroît. Cette situation s’explique par l’augmentation du gradient deGε(d),

Sur la base d’un critère de type Mohr-Coulomb, la contrainte de cisaillement τ_s

τ_s= (σ₁₁−σ₂₂)^sin⁽²^φ⁾

2 −µ(σ₁₁cos²(φ) +σ₂₂sin²(φ)). (138)

propagation en Mode I. Pour l’implémentation numérique on a utilisé µ = 0.3, φ = 45^◦

Figure 9.8: ) Effet d’échelle - dépendence de la contrainte critique Σ₂₂ du paramètre ε;