Le concept de force
La deuxième loi de Newton pourrait paraître comme une définition du concept de force :
d
= dtp F
Ce serait une définition précise, mais complètement inutile, car on aurait définit gratuitement une grandeur physique. Feynman declare :48 " The glory of mathematics is that we do not have to say what we are talking about" ! Prenez l'exemple de la géométrie euclidienne, nous dit-il. On peut l'utiliser pour mesurer les dimensions d'un terrain et ça marche plutôt bien ! La question de savoir si la notion abstraite de ligne droite s'applique ou non dans l'expérience n'est pas une question qui peut être résolue par la pensée pure, elle nécessite le test par l'expérience.
Il s'avère que les forces ont une certaine simplicité, et ainsi la loi de Newton est un bon programme pour analyser la Nature. La force de gravitation donne une indication claire que nous sommes sur une bonne voie ! Toutefois, dans un grand nombre de situations, les forces en présence n’ont pas d’expressions simples. C’est tout particulièrement le cas des forces de frottement. Il faut alors accepter de travailler avec des modèles assez approximatifs. Ce chapitre présente les deux modèles courants de forces de frottement, le modèle dit « de frottement sec » et celui du frottement « visqueux ».
Les frottements secs
Ch. A. Coulomb (1785) traita de l'action d'une surface sur un solide. Depuis ces travaux, on comprend qu’on se doit de distinguer a) la friction statique, b) la friction avec glissement.
Démonstration d’auditoire : Une plaque de bois glisse sur une surface lisse et sèche. Des poids sont posés sur la plaque de bois. On mesure la force maximale de traction sans glissement, puis la force de traction pour maintenir une vitesse constante de glissement, en fonction du lest.
48d'après Feynman 12-1
En supposant que le solide subisse aussi une force de traction tangente à la surface T, la force F s'ajustera pour qu'il n'y ait pas de glissement. Cette situation peut se maintenir jusqu'au point où la force F atteint une valeur maximale Fmax. Au-delà de cette valeur, il y a décrochement et glissement. Cette force maximale est donnée par
max s
F = µ N
µs est appelé le coefficient de frottement statique. On peut imaginer la mesure suivante de µs. L’objet est posé immobile sur un plan incliné. En inclinant le plan de plus en plus, la pesanteur tend de plus en plus à faire glisser l’objet.
Comme il n'y a pas de glissement, + + =0
N F P
L'angle critique αs est celui qui provoque le décrochement, le début de la glissade. A cet angle
max s
F =F = µ N . En projetant le bilan des forces sur la normale et la tangente à la surface on a :
( ) ( )
cos sin
s
s s
N P
N P
α
µ α
=
= d'où on tire µs=tg
( )
αsb) Frottement avec glissement
Pour un solide sur une surface, subissant une force de réaction de la surface N, glissant à une vitesse v mesurée par rapport à la surface, la force de frottement est donnée par
µ ⎛ ⎞
− c ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ F = N v
v µcest appelé coefficient de frottement cinétique.
Pour mesurer µc on peut imaginer une expérience où le solide, soumis à la pesanteur, glisse à vitesse constante sur un plan incliné d'un angle αc. On a encore N+ F + P = 0 et en projetant les forces comme avant :µc=tg
( )
αc . Dans ce modèle, on suppose que µcest indépendant de la vitesse. Pour raffiner ce modèle, on pourrait par exemple consulter des données expérimentales telles que celles de "Tribophysics" de Nam P. Suh, Prentice-Hall.49 Le coefficient de frottement cinétique est toujours plus petit que le coefficient statique. On en fait l'expérience par exemple lorsqu'on fait glisser une armoire sur un sol lisse.Actualités : une équipe de chercheurs en matériaux est parvenue à créer des surfaces avec un coefficient cinétique de frottement extrêmement bas (µc= 0.001)50
Deux expériences illustrent des conséquences statique et dynamique de la différence entre le coefficient statique et dynamique.
Démonstration d'auditoire : un manche de bois est soutenu par deux doigts tendus, placés d'abord aux extrémités du manche. Les doigts sont lentement rapprochés. On observe qu'un seul doigt glisse à la fois. Ce phénomène est une conséquence de la différence des coefficients cinétique et statique de frottement.51
Démonstration d'auditoire : une variante dynamique de l'effet ci-dessus est le mouvement pendulaire d'une barre posée sur deux roues en rotation uniforme de même vitesse angulaire, mais de sens opposés.
49Pour un problème de frottement résolu en détail, voir par exempleW. M. Wehbein, Am J. Phys. 60(1), Jan . 1992, p. 57.
50Physical Review B48, 10583(1993)
51Sommerfeld A., Lectures on Theoretical Physics, Mechanics, vol 1, Academic Press, parag. II.14
la barre.
Comme la barre reste horizontale à une hauteur fixe, la somme des forces extérieures exercées sur la barre doit être nulle (théorème de la quantité de mouvement) :
A + B = G ⇒ B = G - A
Comme la barre ne tourne pas, son moment cinétique est nul, donc sa dérivée est nulle aussi.
Alors, le théorème du moment cinétique impose que la somme des moments extérieurs doit s’annuler.52
A a⋅ − B b⋅ = 0
En appliquant alors le résultat du théorème de la quantité de mouvement, il vient : A a⋅ − (G −A) b = 0, soit , A b G
= a b+ ⋅ . Alors : B a G
= a b+ ⋅ .
On considère maintenant les forces de frottement exercées sur la barre. Partons avec A > B . Le point B glisse vers A jusqu’à ce que FB,c = FA,s , ou µ ⋅c B= µs A. A ce point, le
- de nos jours, les frottements sont étudiés à l’échelle quasi atomique, c’est ce qu’on appelle la « nanotribologie ». 53
52nous verrons en dynamique du solide que le théorème du moment cinétique s’applique en prenant le centre de masse comme point de référence pour définir le moment cinétique et les moments de force.
53Physics Today Sept 1998, p. 22
- des recherches récentes tentent de mettre en évidence la possibilité d’états d’interactions entre deux surfaces telles que les surfaces se déplacent l’une par rapport à l’autre sans frottement. Le terme « supralubrification » est construit pour suggérer une analogie avec la supraconductivité (le transport de charges sans dissipation). 54
Les frottements visqueux
Dans les fluides à très basses vitesses, la force de frottement subie par un solide se déplaçant à la vitesse v par rapport au fluide peut être approximée par :
kη
= −
F v
où le coefficient η est la viscosité, k est un facteur géométrique (k= 6πR pour une sphère de rayon R). A plus grande vitesse, le frottement devient proportionnel au carré de la vitesse :
1 2
2
x fl
C v S
ρ ⎛ ⎞v
= − ⎜ ⎟⎝ ⎠ F v
ρflest la densité du fluide, S l’aire de la projection du solide sur le plan normal à la vitesse.
Cxest appelé le coefficient de traînée. Cx vaut 1.3 pour un disque dont l’axe est dans la direction du mouvement. Cx vaut 0.45 pour une sphère, 0.03 pour une demi-sphère prolongée par un cône, et typiquement 0.03 pour une aile d’avion.55
Actualités:
Par une méthode appelée analyse dimensionnelle, on peut estimer la dissipation dans un flux turbulent. Des physiciens ont pu récemment apporter une amélioration à cette estimation de principe par des considérations sur les propriétés analytiques du champ de vitesse.56
54Phys. Rev. Letter, 78(1997) 1448 ou Physics World May 1997
55Gruber, Mécanique générale, PPUR
56 « Upper bound on friction in turbulent flow », Physics World, Dec. 1992, et Phys. Rev. Lett. 69, 1648 (1992)
glissement (frottement sec de coefficient µd).
Plot sur plan incliné
Un plot de masse M sur un plan incliné d’un angle α est relié par un câble sans masse à une masse m, suspendue dans le vide. Les frottements sont secs.
a) Quelle masse m faut-il pour vaincre le frottement statique de coefficient µs ?
En mouvement, le plot subit une force de frottement sec de coefficient µd. Etablir les équations du mouvement.