4-2-1 Les modèles Européens - ETUDE THEORIQUE DES MODELES DE PREDICTION DE

CHAPITRE I-4: ETUDE THEORIQUE DES MODELES DE PREDICTION DE

I- 4-2-1 Les modèles Européens

Le modèle ACI 209 est de loin le plus ancien de ces modèles, mais il est toujours utilisé actuellement aux Etats-Unis.

L’objet de ce travail est de faire une comparaison entre ces modèles réglementaires,ensuite comparer les résultats expérimentaux aux ces modèles prédictifs.

Cependant, les modèles restent valables pour bétons spéciaux si les paramètres du modèle sont calibrés par des essais.

I-4-2 Les modèles de prédiction:

L'objectif de ce paragraphe n'est pas de présenter les équations constitutives de chacun de ces modèles en détail, mais de se focaliser sur le principe de chaque modèle et sur les paramètres matériaux, géométriques et environnementaux requis par leur utilisation.

I-4-2-1 Les modèles Européens : a) CEB MC-90 :

Ce modèle a été mis en point conjointement par le Comité Euro-International du Béton (CEB) et la Fédération Internationale de la Précontrainte (FIP). Il est basé sur les recherches de "Muller et Hildorf " et publié en 1990. il possède un vaste domaine d'application pour la prédiction du retrait et fluage, il utilise une fonction hyperbolique et une valeur ultime de retrait corrigée qui dépend du dosage de ciment et des conditions d'environnement (même principe que le modèle ACI209R-92).

Ce modèle ne prend pas en compte l'effet de la cure (durée et méthode), mais tient en compte de l'humidité relative et la taille de l'élément.

i) Limites d'application du modèle :

Tableau I-4-1 : Limites d'application du modèle CEB-MC 90

La résistance caractéristique 20 ≤ fc ≤ 90 MPa

L'humidité relative 40% ≤ RH ≤ 100%

La température moyenne 5 ≤ T° ≤ 30 C°

Le rapport (E/C) 0,35 ≤ E/C ≤ 0,85

Type de ciment I,II,III

ii) Les paramètres requis :

En calculant le retrait suivant le modèle CEB MC90-99, les paramètres suivants sont exigés :

CHAPITRE I-4 : ETUDE THEORIQUE DES MODELES DE PREDICTION DE RETRAIT

58  Age du béton au début du séchage (jours),

 Résistance moyenne à la compression du Béton à 28 jours (MPa),  Humidité relative (hygrométrie) exprimée en décimale,

 Le rapport (Volume / surface) (mm),  Type de ciment,

 Température (T°).

iii) Calcul du retrait :

La déformation totale du retrait de béton 𝜀_𝑠ℎ(𝑡, 𝑡_𝑐) est calculée à partir de l'équation : 𝜺_𝒔𝒉(𝒕, 𝒕_𝒄) = 𝜺_𝒄𝒔𝒐 𝜷_𝒔(𝒕 − 𝒕_𝒄) … … … . (𝟓)

Où :

 𝜺_𝒔𝒉(𝒕, 𝒕_𝒄): Retrait total ;

 t : Age du béton (jours) à l'instant considéré ;

 tc : Age du béton au début de séchage (jours) ;

 (𝑡 − 𝑡_𝑐) : Durée de séchage (jours).

 𝛽_𝑠(𝑡 − 𝑡_𝑐): Coefficient qui décrit le développement du retrait en fonction du temps de séchage ;

 𝜀_𝑐𝑠𝑜 : Coefficient fictif de retrait.

𝜺_𝒄𝒔𝒐 coefficient fictif de retrait : peut être obtenu par l'équation (6) : 𝜺_𝑪𝑺𝑶 = 𝜺_𝒔(𝒇_{𝒄𝒎𝟐𝟖}) . 𝜷_𝑹𝑯(𝒉)...(6)

 𝛆_𝐬 (𝐟_{𝐜𝐦𝟐𝟖}): facteur tenant compte de la résistance du béton sur le retrait ultime;

𝜺_𝒔(𝒇_{𝒄𝒎𝟐𝟖}) = [𝟏𝟔𝟎 + 𝟏𝟎𝜷_𝑺𝑪(𝟗 −^𝒇𝒄𝒎𝟐𝟖

𝒇_𝒄𝒎𝟎)] × 𝟏𝟎−𝟔 ...(7)

 𝜷_𝑺𝑪 ∶ Coefficient tenant compte du type de ciment sur le retrait ultime, (tableau I-4-2)

 𝒇_{𝒄𝒎𝟐𝟖} : Résistance caractéristique du béton à 28 jours,

 𝒇_𝒄𝒎𝟎 : Résistance moyenne du béton à 28 jours (𝒇_𝒄𝒎𝟎=10)

(MPa),

Tableau I-4-2: 𝜷_𝑺𝑪en fonction du type de ciment, selon le modèle CEB MC90.

Type de ciment selon EC2 𝜷_𝑺𝑪

SL (Durcissement Lent) = type II 4

N et R (Normale ou durcissement Rapide) = type II 5

CHAPITRE I-4 : ETUDE THEORIQUE DES MODELES DE PREDICTION DE RETRAIT

 𝜷_𝑹𝑯(𝒉): Coefficient prenant en compte les conditions de

conservations du retrait ultime;

{ 𝛽𝑅𝐻(ℎ) = −1,55 [1 − (_ℎ^ℎ 0)³] 𝑝𝑜𝑢𝑟 0,4 ≤ ℎ < 0,99 𝛽_𝑅𝐻(ℎ) = 0,25 𝑝𝑜𝑢𝑟 ℎ ≥ 0,99 … … … …(8)

 h : Taux d'humidité relative ambiante en décimale ;

 h0 : Est égal à 1.

𝜷_𝑺(𝐭 − 𝐭_𝐜) Coefficient décrivant le développement du retrait dans le

temps:

𝜷

_𝑺

(𝒕 − 𝒕

_𝒄

) = [

^(𝒕−𝒕𝒄)/𝒕_𝟏

𝟑𝟓𝟎[(𝑽 𝑺⁄ )/(𝑽 𝑺⁄ )_𝟎]𝟐+(𝒕−𝒕_𝒄)/𝒕_𝟏

]

^𝟎,𝟓...(9)

 (𝑡 − 𝑡𝑐) : Durée de séchage (jours) ;

 t1 : est égal à 1 jour ;

 V/S : Est le rapport (volume/surface) (mm) ;

 (V/S)0 : Est égal à 50 mm.

NOTE :

Si le béton est mis a une température supérieure à 30 °C, CEB MC90 recommande une correction pour 𝛽_𝑅𝐻(ℎ) et 𝛽_𝑆(𝑡 − 𝑡_𝑐), représentée comme suit.

-L'effet de la température sur le coefficient fictif de retrait est pris en compte par : 𝜷_{𝑹𝑯.𝑻}= 𝜷_𝑹𝑯(𝒉) [𝟏 + (_{𝟏,𝟎𝟑−𝒉 𝒉}^{𝟎,𝟎𝟖}

𝟎

⁄ ) (^{𝑻 𝑻}⁄ −𝟐𝟎𝟎

𝟒𝟎 )] ...(10)

- L'effet de la température sur l'évolution temporelle de retrait est pris en compte Par : 𝜷_𝑺.𝑻(𝒕 − 𝒕_𝒄) = [ ^(𝒕−𝒕𝒄)/𝒕_𝟏 𝟑𝟓𝟎[(𝑽 𝑺⁄ )/(𝑽 𝑺⁄ )𝟎]𝟐𝐞𝐱𝐩 [−𝟎,𝟎𝟔(^𝑻 𝑻𝟎^{−𝟐𝟎)]+(𝒕−𝒕}^𝒄^)/𝒕^𝟏 ] 𝟎,𝟓 ...(11) Où:

 𝛽_{𝑅𝐻.𝑇} : Est un facteur d'humidité relative corrigée par la température qui remplace 𝛽_𝑅𝐻 dans l’équation (6) ;

 𝛽_𝑠.𝑇(𝑡 − 𝑡_𝑐) : Est un coefficient dépendant de la température remplaçant 𝛽_𝑠(𝑡 − 𝑡_𝑐) dans l’équation (9);

 h : Est le taux d'humidité relative ambiante en décimale ;

CHAPITRE I-4 : ETUDE THEORIQUE DES MODELES DE PREDICTION DE RETRAIT

 V/S : Est le rapport volume/surface ;

 (V/S)0 : Est égal à 50mm ;

 T: Est la température ambiante (°C) ;

 T0 : Est égale à 1 C°.

Figure I-4-1 : Organigramme du calcul du retrait selon le modèle CEB MC 90.

b) CEB MC 90-99:

Le modèle CEB MC 90-99 (CEB 1999) inclut les dernières améliorations apportées au modèle CEB MC90. Il a été développé pour le béton ordinaire et à haute résistance, et pris en considération la séparation du retrait total en retrait endogène et retrait de dessiccation, la composante du retrait de dessiccation est liée à l'approche donnée au CEB MC90 (CEB1993), pour le retrait endogène, certains ajustements sont rajoutés.

Paramètre:

L'âge du béton au début du séchage "tc" (jours), Types de ciment, 𝑓_𝑐28 (MPa), HR (humidité relative en décimale), T°, la taille de l'élément

Calcul du retrait:

𝜺

_𝒔𝒉

(𝒕, 𝒕

_𝒄

) = 𝜺

_𝒄𝒔𝒐

. 𝜷

_𝒔

(𝒕 − 𝒕

_𝒄

) … … … . (𝟓)

𝜺

_𝒄𝒔𝒐Equation( 6) 𝜷_𝒔(𝒕 − 𝒕_𝒄) -tirer la valeur de "𝛽_𝑠𝑐" du tableau, (4-2). -calculer𝜀𝑠 (𝑓𝑐𝑚28), équation (7). -calculer 𝛽𝑅𝐻,équation (8) -calculer 𝛽𝑠(𝑡 − 𝑡_𝑐) équation (9) -tirer la valeur de "𝛽𝑠𝑐" du tableau, (4-2). -calculer𝜺_𝒔 (𝒇_{𝒄𝒎𝟐𝟖}), équation (7). -calculer 𝛽_𝑅𝐻,équation (10) 𝜺_{𝒄𝒔𝒐 Equation( 6)} 𝜷_𝒕𝒔(𝒕 − 𝒕_𝒄) -calculer 𝛽_𝑠𝑡(𝑡 − 𝑡_𝑐) équation (11) Si (T ≤ 30 C°) ^{Si (T ≥ 30 C°)}

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i) Limites d'application du modèle :

Tableau I-4-3 : Limites d'application du modèle CEB-MC 99

La résistance caractéristique 15 ≤ fc ≤ 120 MPa

L'humidité relative 40% ≤ RH ≤ 100%

La température moyenne 5 ≤ T ≤ 30 C°

Le rapport (E/C) 0,35 ≤ E/C ≤ 0,85

Type de ciment I,II,III

ii) Les paramètres requis :

En calculant le retrait suivant le modèle CEB-MC 99, les paramètres suivants sont exigés :

 Age du béton au début du séchage (jours);

 Résistance moyenne à la compression du Béton à 28 jours (MPa);  Humidité relative (hygrométrie) exprimée en décimale;

 Le rapport (Volume / surface) (mm) ;  Type de ciment;

 Température (T°).

iii) Le calcul du retrait:

Le retrait total de béton 𝜀_𝑠ℎ(𝑡, 𝑡_𝑐) peut être calculé à partir de l'Equation (12) : 𝜺_𝒔𝒉(𝒕, 𝒕_𝒄) = 𝜺_𝒄𝒂𝒔(𝒕) + 𝜺_𝒄𝒅𝒔(𝒕, 𝒕_𝒄) … … … . (𝟏𝟐)

 𝜀_𝑠ℎ(𝑡, 𝑡_𝑐): Le retrait total ;

 𝜀_𝑐𝑎𝑠(𝑡): Le retrait endogène ;

 𝜀_𝑐𝑑𝑠(𝑡, 𝑡_𝑐):Le retrait de dessiccation.

calcul détaillé du retrait endogène 𝜺_𝒄𝒂𝒔(𝒕) : Le composant du retrait endogène est indépendant de l'humidité ambiante et de la taille de l’élément, et se développe plus rapidement que retrait de dessiccation, il est calculée à partir de l'Equation (13):

𝜺_𝒄𝒂𝒔(𝒕) = 𝜺_{𝒄𝒂𝒔𝟎}(𝒇_{𝒄𝒎𝟐𝟖})𝜷_𝒂𝒔(𝒕) … … … (𝟏𝟑)

Où :

 𝜀_{𝑐𝑎𝑠0}(𝑓_𝑐𝑚28): Coefficient fictif de retrait endogène qui est en fonction de l’équation (14) :

𝜺_{𝒄𝒂𝒔𝟎}(𝒇_{𝒄𝒎𝟐𝟖}) = −𝜶_𝒂𝒔( ^𝒇𝒄𝒎𝟐𝟖⁄𝒇_𝒄𝒎𝟎

𝟔+𝒇_{𝒄𝒎𝟐𝟖}⁄𝒇_𝒄𝒎𝟎)^𝟐,𝟓× 𝟏𝟎−𝟔 … ..(14)

 𝛼_𝑎𝑠: Coefficient qui dépend du type de ciment (Tableau 4-4),

 𝑓_𝑐𝑚28: Résistance moyenne à la compression du béton à l'âge de 28

CHAPITRE I-4 : ETUDE THEORIQUE DES MODELES DE PREDICTION DE RETRAIT

 𝑓_𝑐𝑚0 : Résistance moyenne du béton à 28 jours (𝒇_𝒄𝒎𝟎=10) (MPa),

Tableau I-4-4: Les valeurs du coefficient "𝛼_𝑎𝑠"en fonction du type de ciment selon CEB-MC99.

Type de ciment selon EC2 𝜶_𝒂𝒔

SL (Durcissant Lent) 800

N et R (Normale ou durcissement Rapide) 700

RS (durcissement rapide, de haute résistance) 600

 𝛽_𝑎𝑠(𝑡): Coefficient qui décrit le développement du retrait endogène

avec le temps, équation (15):

𝜷_𝒂𝒔(𝒕) = 𝟏 − 𝒆^{[−𝟎,𝟐(} 𝒕 𝒕𝟏⁾ 𝟎.𝟓 ] ...(15) Où :  t1=1 jour;

calcul détaillé du retrait de dessiccation 𝜺_𝒄𝒅𝒔(𝒕, 𝒕_𝒄): est calculé à par l'équation (16)

𝜺_𝒄𝒅𝒔(𝒕, 𝒕_𝒄) = 𝜺_{𝒄𝒅𝒔𝟎} (𝒇_{𝒄𝒎𝟐𝟖}) 𝜷_𝑹𝑯(𝒉) 𝜷_𝒅𝒔(𝒕 − 𝒕_𝒄) ...(16) Où:

 𝜀_{𝑐𝑑𝑠0}(𝑓_𝑐𝑚28): Coefficient fictif de retrait de dessiccation équation (17),

𝜺_{𝒄𝒅𝒔𝟎}(𝒇_{𝒄𝒎𝟐𝟖}) = [(𝟐𝟐𝟎 + 𝟏𝟏𝟎𝜶_𝒅𝒔𝟏) 𝐞𝐱𝐩 (−^𝜶𝒅𝒔𝟐𝒇𝒄𝒎𝟐𝟖

𝒇_𝒄𝒎𝟎 )] × 𝟏𝟎−𝟔 ...(17)

 𝛼_𝑑𝑠1 et 𝛼_𝑑𝑠2 : Coefficients qui dépendent du type de ciment (Tableau I-4-5).

 𝑓_𝑐𝑚28: Résistance moyenne à la compression du béton à l'âge de 28 jours (MPa) ;

 𝑓_𝑐𝑚0 : Résistance moyenne du béton à 28 jours (𝒇_𝒄𝒎𝟎=10) (MPa),

Tableau I-4-5: Les valeurs des Coefficients " 𝛂_𝐝𝐬𝟏 𝛂_𝐝𝐬𝟐" en fonction du type de ciment, selon le model CEB MC90-99.

Type de ciment selon EC2 𝛂_𝐝𝐬𝟏 𝛂_𝐝𝐬𝟐

SL (Durcissant Lent) 3 0,13

N et R (Normale ou durcissement Rapide) 4 0,12

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 𝜷_𝑹𝑯(𝒉): Coefficient qui prend en compte l'effet d’humidité relative

de retrait de dessiccation, équation (18).

{^𝜷𝑹𝑯(𝒉) = −𝟏, 𝟓𝟓 [𝟏 − (_𝒉^𝒉

𝟎)^𝟑] 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝟎, 𝟒 ≤ 𝒉 < 0,99𝜷_𝒔𝒍

𝜷_𝑹𝑯(𝒉) = 𝟎, 𝟐𝟓 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒉 ≥ 𝟎, 𝟗𝟗𝜷_𝒔𝒍^...(18)

Où :

𝛽_𝑠𝑙 : Coefficient qui prend en compte l’auto-dessiccation au béton à haute performance.

 𝜷_𝒅𝒔(𝒕 − 𝒕_𝒄): Fonction qui décrit le développement du retrait de dessiccation avec le temps, équation (20).

𝜷_𝒅𝒔(𝒕 − 𝒕_𝒄) = [ ^(𝒕−𝒕𝒄)/𝒕_𝟏

𝟑𝟓𝟎[(𝑽 𝑺⁄ )/(𝑽 𝑺⁄ )𝟎]𝟐+(𝒕−𝒕_𝒄)/𝒕_𝟏]^𝟎.𝟓 ... (20) Où :

 h: Taux d'humidité relative ambiante en décimale ;

 h0 : Egal à 1 ;

 (V /S ): Est le rapport volume-surface ;

 (V/S)0 : Est égal à 50 mm ;

 𝑓_𝑐𝑚0 = 10 𝑀𝑃𝑎;

 tc: Age du béton au début de séchage (jours) ;

 (𝑡 − 𝑡_𝑐): Durée de séchage (jours).

Nous proposons l’organigramme (Figure I-4-2) qui calcul le retrait selon le modèle CEB MC 90-99 :

𝜷_𝒔𝒍 = (^{𝟑,𝟓𝒇}𝒄𝒎𝟎

CHAPITRE I-4 : ETUDE THEORIQUE DES MODELES DE PREDICTION DE RETRAIT

64 Figure I-4-2: Organigramme du calcul du retrait selon le modèle CEB MC 90- 99.

c) Le modèle de l’Eurocode 2

:

Les déformations de retrait peuvent être calculées à l'aide de l’Eurocode 2, publié en 2005 par le Bureau de normalisation et qui reprend, dans les grandes lignes, le modèle déjà introduit dans la norme NBN B 15-002. Cependant, ce dernier modèle ne faisait pas de distinction entre les deux composantes du retrait et les intégrait dans une seule valeur. La version actuelle de l’Eurocode 2 formule de manière plus détaillée le calcul du retrait endogène. Cette formulation permet de prendre en compte ce phénomène plus correctement, surtout pour les bétons à haute résistance. [B. Parmentier, V. Pollet , G.

Zarmati, 2009]

Paramètres:

l'âge du béton au début de séchage "tc" (jours) , Type de ciment , 𝑓_𝑐28 (MPa), HR (humidité relative en décimale), la taille de l'élément

Calcul du retrait:

𝜺_𝒔𝒉(𝒕, 𝒕_𝒄) = 𝜺_𝒄𝒂𝒔(𝒕) + 𝜺_𝒄𝒅𝒔(𝒕, 𝒕_𝒄) … … … . (𝟏𝟐)

Retrait endogène Retrait de séchage

Retrait endogéne:

𝜺_𝒄𝒂𝒔(𝒕)= 𝜺_{𝒄𝒂𝒔𝟎}(𝒇_{𝒄𝒎𝟐𝟖}) . 𝜷_𝒂𝒔(𝒕)… . . (𝟏𝟑)

Retrait de séchage:

𝜺_𝒄𝒅𝒔(𝒕, 𝒕_𝒄) = 𝜺_{𝒄𝒅𝒔𝟎} (𝒇_{𝒄𝒎𝟐𝟖}) 𝜷_𝑹𝑯(𝒉) 𝜷_𝒅𝒔(𝒕 − 𝒕_𝒄) ....(16)

-Tirer les valeurs de 𝛼𝑎𝑠 (tab 4-4). -Calculer 𝜀𝑐𝑎𝑠0 , équation (14). 𝜺𝒄𝒂𝒔𝟎(𝒇𝒄𝒎𝟐𝟖) 𝜷_𝒂𝒔(𝒕) -Calculer 𝛽_𝑎𝑠(𝑡) équation (15) 𝜷_𝒂𝒔(𝒕) 𝜷_𝑹𝑯(𝒉) 𝜷_𝒅𝒔(𝒕 − 𝒕𝒄) -Tirer les valeurs de 𝛼𝑑𝑠1 et 𝛼𝑑𝑠2 (tab 4-5). -Calculer𝜀𝑐𝑑𝑠0, équation (17). -Calculer 𝜷_𝑹𝑯(𝒉) équation (18) -Calculer 𝜷_𝒅𝒔(𝒕 − 𝒕_𝒄), équation (20)

CHAPITRE I-4 : ETUDE THEORIQUE DES MODELES DE PREDICTION DE RETRAIT

i) Limites d'application du modèle :

Tableau I-4-6: Les limites d'application du modèle Eurocode 2.

La résistance caractéristique (12 /15) ≤ fc ≤(50/60) MPa

L'humidité relative 40% ≤ RH ≤ 100%

Durée minimale de cure du béton t =0.5 jour

Températures moyennes : T = 10 à 20°C

ii) Les paramètres requis:

 Âge du béton lors du séchage commence, généralement considérée comme l'âge à la fin de la cure humide, (jours);

 type de ciment;  la classe de ciment;

 résistance moyenne à la compression du Béton à 28 jours (MPa);  Humidité relative (hygrométrie) exprimée en décimal;

 la taille de l'élément ;

iii) Calcul du retrait:

La déformation de retrait totale (εcs) se compose de deux parties. La première est liée au retrait de séchage (εcd) et la deuxième au retrait endogène (εca). Le retrait de séchage évolue lentement car il est fonction de la migration de l’eau au travers du béton durci. La déformation du retrait endogène se développe au cours du durcissement du béton : elle se produit dès lors en majeure partie durant les premiers jours qui suivent le coulage. La déformation totale de retrait peut être calculée par la relation suivante :

𝜺_𝒄𝒔 = 𝜺_𝒄𝒅+ 𝜺_𝒄𝒂...(21) Où :

 εcs : La déformation totale de retrait

 εcd : La déformation due au retrait de séchage

 εca : La déformation due au retrait endogène.

Les valeurs de l’expression (21) dépendent de nombreux paramètres, parmi lesquels, bien entendu, le temps. Notons par ailleurs que le retrait s’exprime en μm/m (10^-6m/m).

Prédiction du retrait endogène: La déformation due au retrait endogène peut être calculé par l’expression suivante :

𝜺_𝒄𝒂 (𝒕) = 𝜷_𝒂𝒔 (𝒕) . 𝜺_𝒄𝒂(∞)...(22) Où :

 𝜀_𝑐𝑎(∞) = 2,5 . (fck – 10) .10-6 ...(23)

 𝛽_𝑎𝑠(t) = 1 – exp (-0,2 . t ^0,5) ...(24) Avec t : Est l'âge du béton (jours).

CHAPITRE I-4 : ETUDE THEORIQUE DES MODELES DE PREDICTION DE RETRAIT

66 Prédiction du retrait de séchage: L’évolution du retrait de séchage est donnée par l’expression suivante :

𝜺_𝒄𝒅 (𝒕) = 𝜷_𝒅𝒔 (𝒕 , 𝒕_𝒔) .𝒌_𝒉. 𝜺_{𝒄𝒅,𝟎}...(25)

Où :

βds (t, ts) : Une fonction qui traduit l’évolution dans le temps du retrait de séchage (βds vaut 1 pour le calcul de la valeur finale du retrait).

 Cette fonction dépend de h0 (en mm), (h0 =2 Ac/u). Ac est la section de la pièce de béton considérée et u son périmètre exposé au séchage tandis que ts représente la durée de la cure

 kh : Un coefficient dépendant du rayon moyen h0, conformément à la figure (I-4-4).



ε

cd,0 : La valeur nominale du retrait de séchage.

 t : L'âge du béton à l'instant considéré, en jours

 ts : L’âge du béton (jours) au début du retrait (en général à la fin de la cure).

 (t-ts) : Le temps de séchage,

 h0 : Le rayon moyen (mm) de la section transversale = (2Ac/u). Avec:

 Ac : Aire de la section du béton,

 u : Périmètre de la partie de la section exposée à la dessiccation.

Figure I-4-3 : Représentation du rayon moyen h0.

 Kh :

CHAPITRE I-4 : ETUDE THEORIQUE DES MODELES DE PREDICTION DE RETRAIT

67 Figure I-4-4 :Valeurs de kh en fonction du rayon moyen h0. [B. Parmentier, V.

Pollet , G. Zarmati, 2009]

 Calcul détaillé de εcd,0 et βds:

Le calcul détaillé de 𝜺_{𝒄𝒅,𝟎}est le suivant :

𝜺_{𝒄𝒅,𝟎} = 𝟎, 𝟖𝟓 [(𝟐𝟐𝟎 + 𝟏𝟏𝟎. 𝜶_𝒅𝒔𝟏). 𝒆^(−𝜶𝒅𝒔𝟐 .^𝒇𝒄𝒎_𝟏𝟎)] . 𝟏𝟎−𝟔 . 𝜷_𝑹𝑯....(26) Dans cette équation :

𝛽_𝑅𝐻 = 1,55 . [ 1 − (_𝑅𝐻^𝑅𝐻

0)³],...(27)

 RH : L’humidité relative ambiante (%),

 RH0 : L’humiditérelative ambiante de référence (100 %),

 fcm : La résistance moyenne en compression du béton (MPa),

α_ds1 et α_ds2 : Coefficients qui tiennent en compte du type de ciment, tableau (I-4-7) et tableau (I-4-8).

Tableau I-4-7 : Les valeurs de 𝜶_𝒅𝒔𝟏 en fonction de type de ciment.

Types de ciment 𝜶_𝒅𝒔𝟏

ciments lents (classe S : 32,5 N) 3

ciments normaux (classe N : 32,5 R – 42,5 N) 4

ciments rapides (classe R : 42,5 R – 52,5 N – 52,5 R)

CHAPITRE I-4 : ETUDE THEORIQUE DES MODELES DE PREDICTION DE RETRAIT 68 Type de ciment 𝜶_𝒅𝒔𝟐 ciments de classe S 0.13 Ciments de classe N 0.12 ciments de classe R 0.11

 Le calcul détaillé de βds ( t ,ts) est le suivant : L'évolution dans le temps

du retrait de séchage se traduit par la formule suivante:

𝜷

_𝒅𝒔

(𝒕, 𝒕

_𝒔

) =

^(𝒕−𝒕𝒔)

(𝒕−𝒕𝒔)+ 𝟎,𝟎𝟒√𝒉_𝟎^𝟑^...(28)

Où :

 t : L’âge du béton à l’instant considéré (jours)

 ts : L’âge du béton (jours) au début du retrait de séchage (ou gonflement). Normalement, ceci correspond à la fin de la cure.

 h0 : Le rayon moyen de la section. Celui-ci est égal à (2Ac/u), Où :

 Ac : Représente l’aire de la section de béton,

 u : Le périmètre de la partie de la section exposée au séchage.

[B. Parmentier, V. Pollet, G. Zarmati, 2009]

NOTE:

ε

cd,0 et βds peuvent être calculés par les formules cités précédemment ou donnés sous forme d'abaques à deux entrées.



ε

cd,0 en fonction de la classe de ciment et de la résistance du béton et l’humidité relative.

CHAPITRE I-4 : ETUDE THEORIQUE DES MODELES DE PREDICTION DE RETRAIT

69 Figure I-4-5 : Valeurs de [

ε

cd,0/βRH] en fonction de la résistance à la compression "fc28" et

la classe de ciment. [B. Parmentier, V. Pollet , G. Zarmati, 2009]

 βds en fonction de la résistance en du rayon moyen h0 et la durée de séchage.

Figure I-4-6 : coefficient βds en fonction du rayon moyen h0. La durée d’exposition (t-ts) représente la durée de séchage. [B. Parmentier, V. Pollet , G.

CHAPITRE I-4 : ETUDE THEORIQUE DES MODELES DE PREDICTION DE RETRAIT

70 Figure I-4-7: Organigramme du calcul du retrait selon le modèle Eurocode 2.

Paramètres:

l'âge du béton au début de séchage "tc" (jours) , Type de ciment , la classe de ciment , 𝑓_𝑐28 (MPa), HR (humidité relative (%), la taille de l'élément

"h0" (h0= 2Au/Ac) en (mm)

Calcul du retrait:

𝜺

_𝒄𝒔

= 𝜺

_𝒄𝒅

+ 𝜺

_𝒄𝒂...(21)

Retrait de séchage Retrait endogène

Retrait de séchage: 𝛆𝐜𝐝 (𝐭) = 𝛃𝐝𝐬 (𝐭 , 𝐭𝐬) .𝐤𝐡. 𝛆𝐜𝐝,𝟎 équation (23) Retrait endogéne: 𝜺𝒄𝒂 (𝒕) = 𝜷𝒂𝒔 (𝒕). 𝜺𝒄𝒂(∞) équation (22) 𝛃𝐝𝐬 (𝐭 , 𝐭𝐬) 𝐤𝐡 𝛆𝐜𝐝,𝟎 -Calculer 𝛃_𝐝𝐬 (𝐭 , 𝐭_𝐬) équation (28) ou -Tirer 𝛃_𝐝𝐬 (𝐭 , 𝐭_𝐬) de la figure (4-6) en fonction de h0 et (t-ts). -Les valeurs de "kh" sont tirés de la figure (4-4) en fonction de h0.

-Tirer les valeurs de𝛼_𝑑𝑠1et 𝛼_𝑑𝑠2du tab (4-7) et tab (4-8.) -Calculer 𝛽𝑅𝐻 par équation (27). -calculer 𝛆_{𝐜𝐝,𝟎} par équation (26). ou tirer 𝜀𝑐𝑑0 de la figure (4-5) en fonction de fc28 et HR. 𝜷𝒂𝒔 (𝒕) 𝜺𝒄𝒂(∞) -Calculer 𝜷_𝒂𝒔 (𝒕), équation (24). -Calculer 𝜺𝒄𝒂 (∞), équation (23).

CHAPITRE I-4 : ETUDE THEORIQUE DES MODELES DE PREDICTION DE RETRAIT

I-4-2-2 Les modèle Américains:

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