3.1
Modèles ARCH(q)
Le modèle ARCH (Autoregressive Conditional Heteroscedasticity) a été présenté pour la 1ère fois par Engel en 1982. Il constitue une grande classe de modèle non linéaire qu’on retrouve surtout dans les modélisations des séries financières. L’approche ARCH propose une représen- tation auto-régressive de la variance conditionnelle à son information passée tout en permettant de tenir compte des phénomènes de volatilité. En bref l’idée générale est à la remise en cause de l’hypothèse d’homoscédasticité que l’on accepte le plus souvent dans le cas des modèles linéaires.
3.1.1 Présentation du processus ARCH
Selon l’analyse traditionnelle, de Box et Jenkins( 1970), la prévision est fondée sur la moyenne conditionnelle de la série à étudier. Par exemple si une variable Zt suit un processus AR(1) stationnaire :
Zt= θZt−1+ t
avec t i.i.d (0, σ2), alors la moyenne conditionnelle de Zt+1 est θZt tandis que sa moyenne
inconditionnelle est nulle. Par ailleurs, Engle (1982) souligne que l’amélioration des prévisions issues des séries chronologiques provient tout à fait de l’exploitation de l’information contenue dans la moyenne conditionnelle du processus. La variance conditionnelle du processus AR(1) ( σ2) et la variance inconditionnelle σ2/(1 − θ) sont constantes quelque soit la période de prévision. Alors que se passerait-il s’il y a des changements dans les variances des erreurs de prévisions ? L’économétrie classique présentera certainement des faiblesses pour modéliser ce genre de phénomène car il va sans doute se poser un problème d’hétéroscédasticité, pour la simple raison que la matrice de variance-covariance des erreurs Ωu ne sera pas définie à un scalaire près par la matrice identité I. C’est à dire Ωu 6= σ2I. C’est pour apporter une réponse
trique, tenant compte de variances conditionnelles qui varient dans le temps. Plus précisément, les modèles ARCH sont des modèles auto-régressifs conditionnellement hétéroscédastiques et sont basés sur une paramétrisation endogène de la variance conditionnelle.
Il faut souligner que dans la famille des modèles ARCH, différents types de processus ont été développés par d’autres chercheurs. Dès lors on peut distinguer les modèles ARCH linéaires et les modèles ARCH non linéaires. Les modèles ARCH linéaires reposent sur une spécification quadratique de la variance conditionnelle ; on y trouve les modèles : ARCH(q), GARCH(p, q) et IGARCH(p, q) ; tant dis que les modèles ARCH non linéaires sont présentés par des spécifications asymétriques. Ce sont les modèles EGARCH(p, q), TARCH(q) et TGARCH(p, q)1.
Pour bien comprendre le processus ARCH, nous allons présenter ce processus tel qu’il a été introduit par Engel (1982).
3.1.2 Description du processus ARCH
On dit qu’une variable Xt suit un processus ARCH(q) si
Xt= zt p ht (3.1) avec ht= α0+ q X i=1 αi· Xt−i2
zt désigne un bruit blanc gaussien c’est à dire E(zt) = 0 et E(zt02)= σ2z = 1.
Plus précisément zt désigne un ensemble de variables aléatoires indépendantes, identique-
ment distribuées, centrées, réduites, tant dis que ht désigne une variable déterministe et
positive qui est conditionnelle à l’information des valeurs passées de Xt. C’est à dire que Xt= {Xt−1, Xt−2, ..., Xt−j, ..}.
L’équation (3.1) peut aussi s’écrire sous la forme de :
Xt2= zt2 " α0+ q X i=1 αi· Xt−i2 #
On s’aperçoit ici que ce n’est pas le processus Xt qu’on cherche à modéliser mais plutôt le
processus de Xt2. Rappelons que les variables Xt ne sont pas indépendantes et ne sont pas autocorrélées, ainsi les espérances conditionnelle et non conditionnelle sont nulles. C’est à dire que E[Xt] = E zt· v u u tα0+ q X i=1 αi· Xt−i2 = 0 (3.2)
1. Bresson G, Pirotte A. Économétrie des séries temporelles. Théorie et applications 1st ed. Paris : PUF, 1995.
et E[Xt| Xt−i] = E zt· v u u tα0+ q X i=1 αi· Xt−i2 | Xt−i = 0 (3.3)
Comme on l’avait souligné plus haut l’idée de base du processus ARCH est que la variance conditionnelle varie dans le temps. Dès lors on vérifie que la variance conditionnelle de Xtest définie par : V [Xt| Xt−i] = α0+ q X i=1 αi· Xt−i2 ∀i ≥ 1 (3.4)
Tant dis que la variance inconditionnelle est exprimée par :
V [Xt] = α0+ q X i=1 αi· V [Xt−i] = α0 1 − α1− α2− · · · − αq (3.5)
Il y a lieu de noter que si i tend vers l’infini, la variance conditionnelle converge vers la variance inconditionnelle. De façon explicite nous avons :
lim
i→+∞V [Xt| Xt−i] = limi→+∞α0+ αiX 2 t−i =
α0
1 − α1− · · · − αq
= V [Xt]
Cependant il conviendrait d’imposer certaines restrictions sur les coefficients α0 et αi pour que les variances soient définies positives. Cela nécessite que α0 > 0 et 0 ≤ α1+ · · · + αq< 1.
Le dernier aspect à signaler est que les auto-covariances conditionnelles du processus Xt sont
nulles. C’est à dire que
Cov(Xt, Xt+k | Xt−i) = 0 ∀k ≥ 1 et ∀i ≥ 1
En d’autres termes, cela signifie que conditionnellement à Xt−i, le processus de Xt est sans mémoire.
Après avoir décrit le processus ARCH et ses différentes propriétés, nous allons passer en revue le processus GARCH.
3.2
Modèles GARCH (p,q)
3.2.1 Présentation du processus GARCH
Le processus GARCH( Generalized Auto Regressive Conditional Hetermskedasticity) a été introduit en 1986 par Bollerslev. Le processus GARCH est une extension du processus ARCH, il présente les mêmes propriétés et les mêmes fondements que le processus ARCH. Disons que la seule différence se situe au niveau de la définition. Le modèle GARCH a deux dimensions (p,q) alors que le modèle ARCH en a une(q).
3.2.2 Description du processus GARCH
Ceci dit une variable Xt suit un processus GARCH(p,q) si :
Xt= zt p ht (3.6) avec ht= α0+ q X i=1 αiXt−i2 + p X j=1 βjht−j (3.7)
et zt, un bruit blanc faible. α0> 0, αi≥ 0 et βi ≥ 0
Tout comme le processus ARCH(q), le modèle GARCH (p,q) présente aussi une moyenne conditionnelle et une moyenne non conditionnelle nulle. c’est à dire que
E [Xt] = 0 (3.8)
E [Xt| Xt−i] = 0 (3.9)
Comme précédemment, le modèle GARCH(p,q) est également stationnaire au second ordre. Cela nécessite alors que l’inégalité suivante soit respectée :
q X i=1 αi+ p X j=1 βj < 1
Cette condition nécessaire et suffisante permet de valider la définition des moments d’ordre deux. Ainsi La variance non conditionnelle est constante dans le temps et se définie par :
V [Xt] =
α0
1 − (Pq
i=1αi+Ppj=1βj)
(3.10)
Tandis que la variance conditionnelle se présente de la façon suivante
V [Xt| Xt−i] = α0+ q X i=1 αiXt−i2 + p X j=1 βjht−j (3.11)
Enfin, on remarque tout comme pour le modèle ARCH(q), les es auto-covariances condition- nelles du processus GARCH(p,q) sont nulles.