Modèle topologique type-B

Nous analysons maintenant le modèle obtenu après le twiste B. Nous supposons que la variété cible X est une Calabi-Yau. Les champs fermioniques et auxiliaires du modèle sigma supersymé- trique changent leur spin comme dans (5.12), et nous obtenons les champs suivants :

ρI_z = 2ψI_+,+, χI¯= ψI_+,−¯ , FI = 2F_−+,++I ,

ρ_zI_¯ = 2ψI_−,+, χI¯= ψ_−,−I¯ , FI¯= 2F_+−,−−I¯ . (5.57) Il est commode d'eectuer la redénition suivante [104] :

ηI¯ = χI¯+ χI¯, θ_I = G_{I ¯J} ³ χJ¯− χJ¯ ´ . _(5.58)

Il découle alors le contenu des champs suivant :

(i) une transformation x : Σg → X, qui est un scalaire, champ commutant, (ii) deux ensembles de champs de Grassmannien

ηI¯, θI¯∈ x∗¡T X¢,

qui sont des scalaires sur Σg, (iii) ρI

α une forme Grassmannienne sur Σg, avec des valeurs dans x∗(T X). Nous avons aussi des champs auxiliaires commutants FI_{, F}I¯_{. Comme dans le cas du modèle type-A, il est commode} de redénir les champs auxiliaires convenablement [101]. Nous présentons ici les résultats obtenus après cette redénition [76]. Les Q-transformations s'écrivent comme suit :

£ Q, xI¤ = 0, n Q, ηI¯ o = 0, h Q, xI¯ i = ηI¯, {Q, θ_I} = G_{I ¯J}FJ¯, © Q, ρI_zª = ∂_zxI, £Q, FI¤= D_zρI_z¯− D_¯zρI_z+ RI_{J ¯LK}ηL¯ρJ_zρK_z¯ , _(5.59) © Q, ρI_z¯ª = ∂z¯xI, h Q, FI¯ i = −ΓI¯_JKηJ¯FK¯, et satisfont Q2 = 0.

Notons que Q agit diéremment sur les coordonnées holomorphe et anti-holomorphe contrairement à ce qui se produit dans le modèle type-A. Autrement dit, elle dépend explicitement du choix de la

DIMENSIONS

structure complexe de X. Si nous interprétons ηI¯_{comme une base pour des formes diérentielles} anti-holomorphe sur X, l'action de Q sur xI_{, x}I¯_{peut être interprétée comme le diérentiel anti-} holomorphe de Dolbeault ¯∂. L'action de la théorie est

S_B = Z Σg d2z[G_{I ¯J} ³ ∂_zxI∂_z¯xJ¯+ ∂_z¯xI∂_zxJ¯ ´ − ρI_z ³ G_{I ¯J}D_z¯ηJ¯+ D_z¯θ_I ´ −ρI_z¯ ³ G_{I ¯J}D_zηJ¯+ D_zθ_I ´ − RI_{J ¯LK}ηL¯ρJ_zρK_z¯θ_I− G_{I ¯J}F˜IF˜J¯]. _(5.60) Nous pouvons explicitement introduire la métrique sur Σg dans cette action et vérier qu'elle est

Q_{-exacte :}

SB= {Q, V } (5.61)

où V est donné par

V = Z Σg d2z√g h G_{I ¯J}gµνρI_µ∂_νxJ¯− FIθ_I i . _(5.62)

Finalement, nous avons également une symétrie de nombre fantôme U (1), dans laquelle x, η, θ et

ρ ont les nombres fantôme 0, 1, 1 et −1, respectivement. Puisque l'action est Q-exacte, la théorie est topologique et l'approximation semi-classique est exacte. Contrairement au modèle type-A, il n'y a aucun instanton non trivial pour cette théorie : les congurations classiques sont juste des transformations constantes x : Σg → X. Il s'ensuit que les intégrales de chemin dans le modèle type-B se réduisent aux intégrales sur X [104].

Fonctions de corrélation : Les opérateurs dans la cohomologie Q ont la forme

Oφ= φJ_I¯₁1_{··· ¯}···J_Ipqη ¯ I1_{· · · η}I¯p_θ J1· · · θJq, (5.63) où φ = φJ1···Jq ¯ I1··· ¯Ipdx ¯ I1_{∧ · · · ∧ dx}I¯p ∂ ∂xJ1 ∧ · · · ∧ ∂ ∂xJq, (5.64) est un élément de H_∂p_¯(X, ∧qT X) .

On peut considérer les fonctions de corrélation de la forme

hQ

a

O_φai. _(5.65)

Cette fonction de corrélation est nulle à moins que la règle de sélection suivante ne soit satisfaite : X a pa= X a qa= d (1 − g) , (5.66)

où g est le genre de la surface Riemann. Cette règle de choix vient du courant global anomal

U (1)_L× U (1)_R.

En raison des arguments présentés ci-dessus, cette fonction de corrélation peut être calculée dans la limite semi-classique, où l'intégrale de chemin se réduit à l'intégration sur la cible X. Le produit d'opérateurs dans (5.65) correspond à une forme dans

H_∂d_¯

³

X, ∧dT X

´

.

Pour intégrer une telle forme sur X on a besoin de la condition de Calabi-Yau. Ceci surgit comme suit. Une des propriétés les plus importantes des variétés de Calabi-Yau est qu'elles ont une section holomorphe Ω non nulle de la bre canonique

KX = Ωd,0(X) .

Puisque Ω est non nulle, la bre en ligne canonique est triviale et on récupère la condition

c1(KX) = c1(X) = 0,

Ce qui conduit à la transformation inversible suivante, Ω0,p ³ ∧dT X ´ → Ωd−q,p(X) φI1···Iq J1···Jp → ΩI1···IqIq+1···Idφ I1···Iq J1···Jp (5.67)

où la (d, 0)-forme Ω est employée pour contracter les indices. Puisque Ω est holomorphe, ceci descend au ¯∂-cohomologie. Il s'ensuit alors qu'un élément dans

H_∂d¯

³

X, ∧dT X

´ se transforme à un élément dans

H_∂0,d_¯ (X) .

Après multiplication par Ω, on peut alors intégrer une (d, d)-forme sur X. C'est la prescription pour calculer des fonctions de corrélation comme (5.65).

Exemple : Un exemple important est le cas d'un CY3. Les opérateurs associés aux formes dans H1

¯

∂(X, T X)ou, en utilisant (5.67), aux formes dans H

2,1 ¯

∂ (X)sont importants puisqu'ils cor- respondent aux déformations innitésimales de la structure complexe de X. La règle de sélection (5.66) indique que nous devons intégrer trois de ces opérateurs. La fonction de corrélation s'écrit alors, hO_φ1O_φ2O_φ3i =R_X(φ₁)I1 J1(φ2) I2 J2(φ1) I3 J3ΩI1I2I3dz J1_dzJ2_dzJ3_{∧ Ω.} (5.68)

Il s'avère que les informations complètes du corrélateur (5.68) pour le genre zéro peuvent être codées par un prépotentiel.

Géométrie spéciale : Nous donnons brièvement ici certains des résultats de base de la géométrie spéciale et la théorie du prépotentiel pour le modèle B topologique [106, 9]. Vu le rôle important de cette géométrie, nous reprendrons cette étude plus loin et avec des détails. Les fonctions de corrélation dans le modèle B, comme par exemple

hO_φ1O_φ2O_φ3i,

DIMENSIONS

dépendent d'un choix de structure complexe, comme nous l'avons déjà souligné. Les diérentes structures complexes forment un espace de modules M de dimension h2,1_{. Une paramétrisation}

de M est la suivante. D'abord on choisit une base symplectique pour H3(x), dénotée par

(Aa, Ba) , a = 0, 1, · · · , h2,1, tel que

A_a∩ Bb = δb_a.

On dénit alors les périodes de la variété de Calabi-Yau comme

za= R

AaΩ, F

a₌R

BaΩ, a = 0, 1, · · · , h2,1. (5.69)

Bien sûr, le groupe symplectique

Sp¡2h2,1+ 2, R¢ agit sur le vecteur (za_{, F}

a). Un résultat de base de la théorie de déformation des structures complexes indique que za _{sont (localement) des coordonnées projectives complexes de M. Les} coordonnées inhomogènes peuvent être présentées dans un ouvert où l'une des coordonnées pro- jectives, z0, est diérente de zéro. On pose alors

ta= z_za

0

, a = 1, · · · , h2,1. _(5.70)

Les coordonnées za sont appelées des coordonnées projectives spéciales, et puisqu'elles paramé- trisent M on déduit que l'autre ensemble de périodes doit dépendre d'eux,

Fa= Fa(z) .

L'utilisation des périodes (5.69) nous permet de dénir une fonction F (z) par l'équation

F = 1

2 h_P2,1

a=0

zaFa. (5.71)

Cette fonction satisfait

Fa(z) = ∂F

∂za (5.72)

et s'avère être homogène de degré deux en za. Donc, On peut faire un changement `rescale' pour obtenir une fonction des coordonnées inhomogènes ta :

F0(ta) = _z1₂

0

F (za) . (5.73)

F0(ta) est appelé le prépotentiel du modèle B, et il dépend des h2,1 modules ta qui paramétrise les modules de la structure complexe de X. Le fait que les coordonnées za sont projectives est lié à la liberté dans la normalisation de la 3-forme Ω. An d'obtenir des expressions en termes des coordonnées inhomogènes ta, on doit faire le changement d'échelle,

Ω → 1

z0Ω,

et les périodes (za, Fa) deviennent à 1, ta, 2F0− h_P2,1 a=1 ta∂F_∂t0 a, ∂F0 ∂ta ! . (5.74)

Un des résultats principaux dans la géométrie spéciale est que les fonctions de corrélation (5.68) peuvent être calculées en termes du prépotentiel F0(ta). Etant donné une déformation de la structure complexe paramétrisée par ta, le vecteur tangent correspondant

∂/∂t_a

est associé à une forme diérentielle de type (2, 1). Cette forme mène à un opérateur Oa, et les fonctions à trois-point impliquant ces opérateurs s'avèrent être données par

hOaObOci = ∂

3_F 0

∂ta∂tb∂tc. (5.75)

Le prépotentiel F0(t) code les informations appropriées du modèle B sur la 3-sphère. Dans la

section suivante, nous introduisons les généralisations de F0(t)pour des genres plus élevés g ≥ 1.

5.2 Cordes topologiques