Modèle pour la détermination des contraintes

Le modèle utilisé dans le cadre de ce travail repose sur la théorie de l’élasticité et a initialement été présenté par Hutchinson en 1996 [65].

Comme décrit dans le Chapitre I, il y a trois contributions aux déformations dans un matériau : les déformations intrinsèques liées au dépôt, les déformations thermiques dues au budget thermique subi par le matériau, et les déformations élastiques générées par le matériau pour accommoder ces déformations inélastiques et atteindre un état d’équilibre mécanique. Les déformations totales dans un matériau peuvent donc s’écrire :

(III.6) 0 45 90 135 180 225 0 -500 -1000 -1500 -2000 -2500 -3000 -3500 -4000 C o n tr a in te T iN ( M Pa ) Epaisseur couche (nm) FLEXUS DRX DRX corrigé

CHAPITRE III : Détermination des contraintes des couches minces

93 Les déformations thermiques s’expriment en fonction du coefficient de dilatation thermique (CTE)  du matériau (dépendant ou non de la température) et de la variation de température subie par la couche mince, entre sa température de dépôt Tdép et la température T.

∫ , (III.7)

avec I le tenseur identité.

Dans le cas d’un comportement isotrope, les déformations élastiques dépendent des propriétés (module d’Young E et coefficient de Poisson ν) du matériau, et sont liées à la contrainte isotrope 11 = 22 =  par la relation qui s’exprime dans le plan d’une plaque isotrope élastique et linéaire :

(III.8)

Lors du dépôt d’une couche d’épaisseur tf sur un substrat d’épaisseur ts, l’équilibre mécanique conduit à l’apparition de déformations élastiques _él. La déformation totale tot dans le plan peut s’exprimer en fonction de la déformation d’un plan _0 défini par z = 0 (pris par défaut sur la surface inférieure du substrat), et de la courbure  du système bicouche {substrat + couche}, d’après la formule (III.6). La cinématique du problème de courbure de plaque est présentée schématiquement sur la Figure III.5.

(III.9)

Figure III.5. Système bicouche {couche + substrat} et repère associé En combinant les expressions (III.5-6-7-8), on obtient:

∫ (III.10) Substrat Couche z1=0 z2 z3 z tf ts 0 

CHAPITRE III : Détermination des contraintes des couches minces

94 Autrement dit, la contrainte i(z) dans le matériau i (substrat ou couche) peut s’écrire :

_[ ∫

] (III.11)

Il est donc possible de déterminer la répartition des contraintes dans chaque couche et de suivre leur évolution dans leur épaisseur, à la différence de la formule de Stoney qui ne permet de déterminer qu’une contrainte moyenne dans la couche déposée.

L’expression de la contrainte ci-dessus suppose plusieurs hypothèses : - les matériaux sont élastiques isotropes,

- les contraintes sont situées dans le plan (cas des couches minces),

- les dimensions longitudinales sont grandes devant les épaisseurs caractéristiques, - la courbure est uniforme.

Nous pouvons décomposer le dépôt d’une couche sur un substrat en trois étapes de calcul : - la montée de Tamb à Tdép du substrat seul, avant formation de la couche,

- le dépôt de la couche à T_dép sur le substrat,

- le retour à la température ambiante Tamb du système bicouche {couche + substrat}.

Lorsque le substrat est seul et porté à Tdép, il se déforme librement. Aucune contrainte n’est générée durant cette étape. Il apparaît une contrainte dans le substrat, lorsque la couche se forme sur ce dernier à Tdép. Nous verrons par la suite que les deux étapes de dépôt et de retour à Tamb permettent de décorréler les déformations thermiques des déformations intrinsèques dans la couche mince, et donc d’évaluer leur contribution.

III.1.2.2. Equations du système à résoudre

Lorsque le substrat est à température de dépôt Tdép de la couche mince et que celle-ci se forme, un état d’équilibre mécanique s’établit entre la couche et le substrat. L’équilibre implique qu’en l’absence de forces extérieure, les forces F et moments M linéiques sur le système {substrat + couche} s’annulent. Ainsi, le système doit vérifier les égalités suivantes, avec _i(z) la contrainte dans le matériau i et la côte en z associée, comme montré sur la Figure III.5:

∑ ∫ , et (III.12)

∑ ∫ . (III.13)

Lors du dépôt de la couche mince, le système n’est soumis à aucune variation de température. Aucune déformation thermique n’apparaît pendant cette étape. Les déformations inélastiques se limitent à la déformation intrinsèque de la couche, due aux conditions du dépôt.

CHAPITRE III : Détermination des contraintes des couches minces

95 Dorénavant, nous utiliserons le terme E* pour désigner le module réduit d’un matériau, défini par E* = E/(1-. En reprenant l’expression (III.9) pour la couche et le substrat, la contrainte apportée par le dépôt dans le substrat s

dép

et la couche f

dép s’écrivent selon :

( _{) pour le substrat, et (III.14)} [( ₎

] pour la couche, (III.15) où :

- 0 dép

et dép sont respectivement la déformation du plan défini par z=0 et la courbure résultante à l’équilibre,

- Es * _{et E}

f

* _{sont les module réduits du substrat et du film.}

En combinant les expressions précédentes avec les égalités (III.10) et (III.11), nous obtenons le système d’équations suivant :

( ) ( ) , (III.16) avec : - , - , - , et : - , - .

En résolvant ce système d’équations, la répartition de la contrainte dans la couche et le substrat est déterminée une fois la couche déposée à Tdép.

Il en est de même lorsque le système bicouche revient de Tdép à la température T. Dans ce cas, aucune déformation intrinsèque supplémentaire n’apparaît, mais une déformation thermique th est engendrée dans le substrat et la couche. La contrainte i

DT _{apportée par cette étape dans le} matériau i s’exprime alors par :

[

] pour le substrat, et (III.17) et

[

CHAPITRE III : Détermination des contraintes des couches minces

96 avec :

- ∫

, la déformation thermique du substrat (s) et de la couche (f )

dans la plaque, dépendant de la variation de température et des coefficients de dilatation thermique  des deux matériaux,

- 0

DT _et DT _{respectivement la déformation du plan défini par z=0 et la courbure résultante} à l’équilibre.

De la même manière que lors du dépôt, l’équilibre mécanique atteint par le système {substrat+couche} à la température T conduit aux égalités suivantes :

( ) ( )